专题2.1 二元一次方程和二元一次方程组（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

专题2.1 二元一次方程和二元一次方程组 教学目标 (1)理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，会识别、会判断。 (2)了解解的意义，会检验一组数是否是方程（组）的解。 教学重难点 1.重点 （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 2.难点 （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点01 二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【即学即练】 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、方程中，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．下列四组数值中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将每个选项的x和y的值代入方程，计算是否等于3即可． 【详解】解：A．，不是二元一次方程的解； B．，不是二元一次方程的解； C．，不是二元一次方程的解； D．，是二元一次方程的解； 故选：D． 3．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知解代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：B． 知识点02 二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【即学即练】 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据含有2个未知数，次数是1次的整式方程是二元一次方程组，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、有2个未知数，方程的次数都是1次，是二元一次方程组，故A符合题意； B、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故B不符合题意； C、有3个未知数，不是二元一次方程组，故C不符合题意； D、有2个未知数，第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故D不符合题意． 故选：A． 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 3.已知是方程组的解，则（   ） A．2 B．0 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题解题思路是将已知的方程组解代入方程组，得到关于、的方程组，求解出、的值后，再计算的值，最后与选项进行对比得出答案． 本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握方程组的解能使方程组中每个方程都成立是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程组的解 ∴ 即 解第一个方程： 解第二个方程：， ∴ 故选：B． 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一分析选项进行判断． 【详解】解：A、只含一个未知数，不是二元一次方程； B、只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程； C、含有两个未知数、，含未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； D、中的次数为2，不是二元一次方程． 故选：C． 【变式1】若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 【变式2】方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件： ①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次； 根据二元一次方程的概念列出方程，求解字母的值即可． 【详解】方程 是二元一次方程， ，， 解得，， 故选：C． 【变式3】若方程是二元一次方程，则“◆”可能是（    ） A．y B．x C．xy D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，方程需含有两个不同的未知数，且每个未知数的次数均为1．据此进行解答即可． 【详解】解：原方程为，若方程为二元一次方程，则“◆”需引入第二个未知数且次数为1，只有A选项符合题意， 故选：A 题型02 二元一次方程的解 【典例2】李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】本题考查求二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程，因为两种笔都买，则求都为正整数的解即可． 【详解】解∶ 设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程∶ ， ∵两种笔都买， ∴都为正整数， 则， ， ， ， ， ， 共6种方案． 故选：B． 【变式1】是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把代入各个选项的方程，验证即可． 【详解】解：A、把代入方程，得左边右边， ∴是方程的解； B、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； C、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； D、把代入方程，得左边右边， ∴不是方程的解． 故选：A． 【变式2】把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设的钢管a根，的钢管b根，由题意可列二元一次方程，根据a、b均为整数，求解即可． 【详解】解：设的钢管a根，的钢管b根， 根据题意得：， ∵a、b均为整数， ∴，． 即截法有两种， 故选：A． 【变式3】若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 把代入二元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入二元一次方程得 ， ， 故选：A． 题型03 判断是否是二元一次方程组 【典例3】下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程，据此对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 【变式1】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：A、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． C一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． D、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【变式3】若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解． 【详解】解：“”可以是：， 故答案为：．（答案不唯一，符合即可） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 【典例4】是下列哪个方程组的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入四个选项中的方程组进行验证即可． 【详解】解：A.当时，则有，故不是该方程的解，不符合题意； B.当时，则有，故不是该方程的解，不符合题意； C.当时，则有，故不是该方程的解，不符合题意； D.当时，则有，故是该方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 【变式1】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解． 【详解】 A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意． B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意． C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意． D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键． 【变式2】若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故不符合题意； B、将代入，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意； C、将代入，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意； D、将代入，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计算是解题的关键． 【变式3】如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D． 【答案】B 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，左边≠右边，所以该选项不符合题意； B、把代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以该选项符合题意； C、把代入方程得：左边＝2+3＝5，右边＝8，左边≠右边，所以该选项不符合题意； D、把代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，左边≠右边，所以该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 【典例5】已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义．把代入②可得▲，把代入①得：■，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴▲， 把代入①得：■， 故选：C． 【变式1】若关于x、y的二元一次方程组的解为，则m，n分别为（   ） A．7， B．9，1 C．5，1 D．9， 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组里的每个方程，解关于m、n的方程即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将，代入方程中，得：， 解得； 将，代入方程中，得， 解得； 因此，，， 故选：A． 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解∶∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶0． 【变式3】如果二元一次方程组的解为，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的解适合每个方程． 把代入求出y，然后把x，y的值代入求解． 【详解】解：把代入得， 解得，即 再把代入得：， ∴， 故答案为：5． 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程， 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断． 【详解】解：A：，含，次数为2，不符合题意； B：，含x和y两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合题意； C：，分母含x，不是整式方程，不符合题意； D：，只含一个未知数，不符合题意． 故选：B． 2．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程的特点：一个方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1，这样的方程组叫做二元一次方程组，逐一判断即可． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组；故错误； B．不是整式方程，故错误； C． 是二元一次方程组，故正确； D． ，是二元二次方程，故错误； 故选：C． 4．若关于的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、代数式求值，先将方程组的解代入方程组中得到，进而求得a、b值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， ∴，解得， ∴， 故选：C． 5．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买若干足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解的实际应用，根据总费用列出方程，化简后找出所有满足条件的非负整数解的组数即可． 【详解】解：设购买足球个，篮球个，、为非负整数， ∵总费用为1200元，足球单价80元/个，篮球单价120元/个， ∴， 化简得，即， ∵为非负整数， ∴为非负偶数，即是不大于30的偶数， ∴可取0、2、4、6、8、10，对应分别为15、12、9、6、3、0， 共6种购买方案． 故选：C． 6．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） 6 0 A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程．根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：C 7．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 8．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把x与y的值代入方程组求出，即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 9.已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解的定义得到满足方程，于是把代入得到，可解出y的值，再将代入，求得●为6，即可求解．使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 【详解】解：把代入得，解得， ∴▲为． 再把代入，得， ∴●为6， ∴ 故答案为：4． 10．一个二元一次方程组的解是试写出一个符合要求的方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据未知数的解写方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组解的定义．求和的值，即可组成方程组． 【详解】解： ，， ，， 可得方程组， 故答案为：（答案不唯一）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 二元一次方程和二元一次方程组 教学目标 (1)理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，会识别、会判断。 (2)了解解的意义，会检验一组数是否是方程（组）的解。 教学重难点 1.重点 （1）判断是不是二元一次方程/组 （2）二元一次方程（组）解的理解 2.难点 （1）二元一次方程（组）解的理解 （2）根据二元一次方程的定义求参数 知识点01 二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【即学即练】 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列四组数值中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（） A．1 B．2 C． D．3 知识点02 二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 【即学即练】 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 3.已知是方程组的解，则（   ） A．2 B．0 C．4 D． 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 【变式3】若方程是二元一次方程，则“◆”可能是（    ） A．y B．x C．xy D． 题型02 二元一次方程的解 【典例2】李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【变式1】是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【变式2】把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式3】若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 题型03 判断是否是二元一次方程组 【典例3】下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【变式3】若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 【典例4】是下列哪个方程组的解（    ） A． B． C． D． 【变式1】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D． 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 【典例5】已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 【变式1】若关于x、y的二元一次方程组的解为，则m，n分别为（   ） A．7， B．9，1 C．5，1 D．9， 【变式2】已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【变式3】如果二元一次方程组的解为，则___________． 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 5．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买若干足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） 6 0 A．5 B．4 C．6 D．8 7．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 8．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则______． 9.已知方程组的解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和▲，则________． 10．一个二元一次方程组的解是试写出一个符合要求的方程组：_______． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $