2025年苏科版数学九年级中考专题复习专题十一讲义：新定义题型

编号： 11 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题十一：新定义题型 教学内容 【题型分类】 考向一 线段问题 1.[知识再现] 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）“是判定直角三角形全等的特有方法. [简单应用] 如图① ，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D,E分别在边AC,AB上.若CE＝BD,则线段 AE和线段AD的数量关系是_____; [拓展延伸] 在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝ AC＝m,点D在边AC上; （1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图② 所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明;如果不相等，请说明理由; （2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD，试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α，m的式子表示），并说明理由. 2.问题提出 如图① ,在△ABC中,AB＝AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE＝DB,延长ED交AB于点F，探究的值.问题探究 （1）先将问题特殊化，如图② ，当∠BAC＝60°时，直接写出的值; （2）再探究一般情形，如图① ，证明（1）中的结论仍然成立. 问题拓展 如图③ ,在△ABC中,AB＝AC,D是AC的中点，G是边BC上一点，（n＜2），延长BC至点E,使DE＝DG,延长ED交AB于点F,直接写出的值（用含n的式子表示）. 3.[感知] 如图① ，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上,∠AEB＝90°. 求证:; [探究] 如图② ，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝ 90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且，连接BG交CD于点H. 求证:BH＝GH; [拓展] 如图③ ,点E在四边形ABCD内,∠AEB+ ∠DEC＝180°,且,过E作EF交AD于点F,若∠EFA＝∠AEB,延长FE交BC于点G.求证:BG＝CG. 图② 4.[思维探究] （1）如图① ，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°， ∠BCD＝120°,AB＝AD,连接AC. 求证:BC+CD＝AC. 小明的思路是:延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE，根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B +∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC,从而可证BC+CD＝AC,请你帮助小明写出完整的证明过程: [思维延伸] （2）如图② ,四边形ABCD中,∠BAD＝∠BCD ＝90°,AB＝AD,连接AC,猜想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由: [思维拓广] （3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ，AC与BD相交于点O，若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长. 图① 考向二面积问题 1.[阅读理解] 如图① ，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？ 解:相等，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥ l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F. ∴∠AEF＝∠DFC＝90°,∴AE∥DF. ∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE＝DF. 又S△·AE，S△·DF， ∴S△ABC＝S△DBC [类比探究] 如图② ，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE,CE＝DE,AD＝4,连接AE,求△ADE的面积. 解:过点E作EF⊥CD于点F,连接AF.请将余下的求解步骤补充完整. [拓展应用] 如图③ ，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD,BF,DF,直接写出△BDF的面积. 2.[经典回顾] 梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法. 图① 是其中一种方法的示意图及部分辅助线. 在△ABC中,∠ACB＝90°,四边形ADEB,ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形.延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M. （1）证明:AD＝LC; （2）证明:正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积; （3）请利用（2）中的结论证明勾股定理; [迁移拓展] （4）如图② ，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI， BFGC的面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）;若不存在，请说明理由. 3.（1）如图① ，点P为矩形ABCD对角线BD上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F.若BE＝2,PF＝6, △AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2.则S1 +S2＝_____; （2）如图② ，点P为@ABCD内一点（点P不在BD上），点E，F，G，H分别为各边的中点.设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1，S2的代数式表示）; （3）如图③ ，P为@ABCD内一点（点P不在BD上）,过点P作EF∥AD,HG∥AB,与各边分别相交于点E，F，G，H.设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞ S1）.求△PBD的面积（用含S1，S2的代数式表示）; （4） 如图④ ，点A，B，C，D把⊙O四等分.请你在圆内选一点P（点P不在AC，BD上），设PB，PC，BC围成的封闭图形的面积为S1， PA，PD，AD围成的封闭图形的面积为S2， △PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4.根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1， S2，S3，S4的等式（写出一种情况即可）. 4.定义:一组邻边相等且对角互补的四边形为等邻对补四边形.特例感知 （1）如图① ，四边形ABCD是等邻对补四边形，AB＝AD，∠A＝90°，若点A到BC的距离为2，求四边形ABCD的面积;简单应用 （2）如图② ，正方形ABCD的对角线相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,且OE⊥OF,若AB＝4，求四边形OEBF的面积;性质拓展 （3）如图③ ，四边形ABCD是等邻对补四边形,AD＝CD,连接BD,求证:BD平分∠ABC;实际应用 （4）某环保部门计划开辟一片环境保护区，保护区的规划区域如图④ 所示，∠MCN＝120°，保护区为等邻对补四边形ABCD，其中点A在∠MCN内部,点B在CM上,点D在CN上,AB ＝BC，BC+CD＝60m，因地形原因，要求20m≤ CD≤30m，求该环境保护区ABCD的最大面积并在图中用圆规画出该四边形ABCD（保留适当的作图痕迹）. 考向三角度问题 1.阅读理解: 如图① ,如果四边形ABCD满足AB＝AD,CB＝ CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”. 将一张如图① 所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图② 所示形状，再展开得到图③ ，其中CE,CF为折痕,∠BCE＝∠ECF＝ ∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O. 简单应用: （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是_____; （2）当图③ 中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝ °; （3）当图② 中的四边形AECF为菱形时，对应图③ 中的“完美筝形”有_____个（包含四边形ABCD）; 拓展提升: 当图③ 中的∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由. 2.问题情境 数学活动课上，老师出示了一个问题:已知， △ABC为等边三角形，点B在点C左侧，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边在AD左侧作菱形ADEF，使∠ADE＝120°,连接CF,探究∠AFC与∠CAD之间的等量关系. 初步感知 （1） 希望小组突发奇想，将点D限定在边BC上，如图① ，求证:∠AFC-∠CAD＝60°; 问题探究 （2）奋进小组受到希望小组的启发，将点D限定在线段BC的延长线上，如图② ，请判断 （1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明; 若不成立，请说明理由;类比分析 （3）智慧小组发现，点D还可以在线段CB的延长线上，请你在图③ 中帮助他们补全图形，并求∠AFC和∠CAD之间的等量关系. 图① 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$