精品解析：安徽省安庆市2025届高三下学期模拟考试(二模)数学试题

安庆市2025年高三模拟考试（二模） 数学试题 命题：安庆市高考命题研究课题组 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（ 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模的定义即可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案. 【详解】， 又，所以，得. 故选：C. 3. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得图象变换后的函数解析式，根据对称性求得正确答案. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 4. 已知等比数列的前 项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得出的值，结合已知条件求出的值，可求出、的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为等比数列的前 项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 5. 已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义，写出在方向上的投影向量为，然后结合条件即可判定. 【详解】由于在方向上的投影向量， 若，则，故， 若，则， 故选：C. 6. 函数的图象经过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交，则（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和指数函数的性质得出 ，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线 但又不与该直线相交，故 ，且，故 ，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 故选：D. 7. 设事件 为两个随机事件，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 8. 已知曲线，直线 ，若 与 有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线与曲线联立，得出方程，然后韦达定理得出，分类讨论即可得出答案. 【详解】显然 与 交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时 ，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B. 按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C. 水费支出的中位数的估计值为45 D. 若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据抽样比即可求解B,根据中位数的计算即可求解C,根据二项分布的期望公式即可求解D. 【详解】因，所以样本中支出在的频率为A错误； ，B正确： 因，中位数的估计值为，C错误； 记抽出的5户中一季度水费支出位于区间的用户数为，根据题意可知，D正确. 故选:BD. 10. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面 所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面 所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点 ，使，在棱 上取点 使 ， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 11. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设函数，利用其为增函数，有一个零点得到，即可判断A；由已知可得，可得，即可判断B；由及，可得，即可判断C；由B选项可得，进而得，即可判断D. 【详解】设函数，显然为增函数， ，由已知，故，故A正确； 由，有，故， 则，故，故B正确； 由，得，故，故C错误； 由得，则， 由于，得，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相交于两点 ，则四边形的面积等于__________. 【答案】9 【解析】 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦 所在直线的方程为： 到 距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 13. 数列满足，则使得的最小正整数 的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】将条件变形，然后取对数，得出为以为首项，2为公比的等比数列，然后得出，即可得出答案. 【详解】因为，所以，则， 又，所以为以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，则使得， 计算得 最小正整数值为6， 故答案为：6. 14. 将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】古典概型求概率，先求所有情况共有种，而每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可. 【详解】将3个1，3个2，3个3共9个数填入一共有种方法. 每行，每列的和为3的倍数有两种可能： ①每行或每列的数字相同，有种方法， ②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法. 所以每行，每列的和都是3的倍数的概率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. Deepseek席卷全球引发了AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 场景分析 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知，. （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 【答案】（1） （2）2.3 【解析】 【分析】（1）由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“”是对立的，通过对立事件概率公式求解即可； （2）根据，，列出关于 和 的方程，求出 和 ，然后求出的分布列或者事件间的关系直接求解. 【小问1详解】 由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“”是对立的， 所以甲同学至多获得三个社团招莫的概率是 【小问2详解】 解法1：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招䓪依次记作事件.由题意可知， ， ， 又，解得，则 , ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 解法2：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招募依次记作事件.由题意可知， ， ， 又，解得. 设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析3个社团，最终被招募的社团个数，由于其被招募的概率均为，所以服从二项分布，故；甲同学被迁移学习社团招募的概率为，最终被迁移学习社团招募的个数为 ，则 也服从二项分布，，从而， 故. 16. 在中，角 所对的边分别为 ，且 . （1）证明： ； （2）若角 为锐角，且 的面积为，求边长的大小. 【答案】（1）证明：证法1：由正弦定理得， . ∵ ， ∴ ，即 ， ∵，∴ ，故 ， ∵，∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 （舍），故 . 证法2：由正弦定理得， ， 由余弦定理得， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ . ∵，∴ ，即 ， ∵，∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 （舍），故 . （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角转化可得 ，由此可得 . （2）根据条件结合边角转化可得 ，分析可得为等腰直角三角形，根据 可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，即， ∴ ， ∵，∴ ，故 ， ∵，∴ ，即 ，故， ∴ ，即，故，， ∴为等腰直角三角形， ∵ ，∴. 17. 如图，在矩形 中，为 中点， 在边上，且，将 沿 翻折至 ，得到五棱锥为 中点. （1）求证： 平面： （2）若平面平面，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：如图，取中点，连接， 因为在矩形 中， ， 所以 且， 所以四边形为平行四边形， 所以 ，又 ，所以 ， 因为平面，所以 平面， 在 中， 分别为的中点， 所以 ， 因为 平面，所以 平面， 因为平面平面， 所以平面 平面，又平面， 所以 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）如图，取中点，连接，然后通过证明平面 平面，进而证明 平面； （2）取 中点 ，连接 ，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点 ，连接 ，如图所示， 因为在矩形 中，， 所以在中，，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 以 为坐标原点， 所在直线为 轴，并过 点分别作与平行的直线为 轴，与 平行的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得： ， 所以， 设平面的法向量为，有 ，所以， 取 ，得平面的一个法向量为 又，设直线 与平面所成角的 ， 则 ， 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线的焦点 也是椭圆 的一个焦点，过 的直线交 于 两点. （1）求抛物线 的方程： （2）求证：抛物线 在 两点处的切线互相垂直； （3）设 为线段 的中点，以线段 为直径的圆交抛物线 在 处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）证明：因为直线 与抛物线有两个交点，所以其斜率必存在， 设直线 的方程为 由，则 对求导得， 设抛物线 在 两点处的切线斜率分别为， 则 ， 即抛物线 在 两点处的切线互相垂直. （3） 为定值，证明如下： 解法1：由（2）可知即， 则 与 轴的交点坐标为， 于是 于是， 所以为定值. 解法2：设抛物线在 两点的切线，切线交点为 ， 故， 联立解得 点坐标为， 由（2）知 点坐标为，且，所以 ， 故，即， 因为，所以 ， 即 ，故在中， ， 所以，即， 所以 为定值. 解法3：因为， 故 ， 又，所以， ， 即， 由（2）知，所以 ， 故，即， 所以 为定值. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线和椭圆焦点坐标的求法列出方程求解； （2）设直线 的方程和，然与抛物线联立，韦达定理，得出 .然后求二次函数的导数，把切线的斜率表示出来即可得出答案； （3）得出两条切线方程，然后结合题意和几何性质将需要求解的代数式表达出来，即可得出结论. 【小问1详解】 易知，抛物线开口向上，且焦点坐标为， 所以椭圆 的焦点也在 轴上，则 由 ，解得： ， 所以抛物线 的方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 定义在同一数集 上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集 上的函数列，记为的导函数为. （1）若满足，证明：为等比数列： （2）定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 【答案】（1） 由，得，显然， 又，故为首项为1，公比为2的等比数列. （2）① 设，则， 因为时，所以在恒成立， 故在上单调递增， 当， 得，故， 令， 则， 故，由于， 得； ②当时，左边右边都等于0，显然成立； 当时，由于在上单调递增， 若，则，即， 此时，由①得，所以， 若，则，即， 此时，所以，故， 下证：当，且时，，令， 即证明：. 令，故在上单调递减， 故时，，即， 时，，即， 从而， 故. 【解析】 【分析】（1）求导，然后利用等比数列的定义证明即可； （2）①构造函数，求导，结合条件判断其单调性，得出，然后错位相减法即可完成证明； ②利用①构造的函数得出，然后证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市2025年高三模拟考试（二模） 数学试题 命题：安庆市高考命题研究课题组 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（ 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前 项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象经过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交，则（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 7. 设事件 为两个随机事件，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，直线 ，若 与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B. 按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C. 水费支出的中位数的估计值为45 D. 若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 10. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面 所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 11. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相交于两点 ，则四边形的面积等于__________. 13. 数列满足，则使得的最小正整数 的值为__________. 14. 将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. Deepseek席卷全球引发了AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 场景分析 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知，. （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 16. 在中，角所对的边分别为 ，且 . （1）证明： ； （2）若角为锐角，且 的面积为，求边长的大小. 17. 如图，在矩形 中，为 中点，在边上，且，将 沿 翻折至 ，得到五棱锥为 中点. （1）求证： 平面： （2）若平面平面，求直线 与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线的焦点也是椭圆 的一个焦点，过的直线交于 两点. （1）求抛物线的方程： （2）求证：抛物线在 两点处的切线互相垂直； （3）设 为线段的中点，以线段 为直径的圆交抛物线在 处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论. 19. 定义在同一数集 上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集 上的函数列，记为的导函数为. （1）若满足，证明：为等比数列： （2）定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $