精品解析：广东省揭阳市揭东区第三中学2024-2025学年高一下学期第1次阶段考试（3月）数学试题

2024-2025学年度第二学期高一级第1次阶段考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量的长度相等 B. 两个有共同起点，且长度相等向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 3. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 8. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则复数在复平面内对应的点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 下面命题中是假命题的有（ ） A 中，若，则 B. 若，则是第一象限角或第二象限角 C. 若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为12 D. 函数的最小值为4 11. 已知向量，则下列结论正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________. 13. 已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则__________． 14. 在边长为2的正方形中，点E为线段的三等分点，，，则___________；F为线段上的动点，G为中点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是虚数，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求实数m的值． 16. 设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18 已知函数 （1）求单调递增区间： （2）求在上的值域； （3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围. 19. 已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 （1）当λ为何值时，点P在函数的图象上？ （2）若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. （3）若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高一级第1次阶段考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列说法正确是（ ） A. 向量与向量的长度相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模的性质判断A，利用向量的终点性质判断B，举反例判断C，D即可. 【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 2. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得. 【详解】函数， 因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象. 故选：C 3. 已知复数的虚部是实部的3倍，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 5. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角. 【详解】由，得，而，则， ，而， 所以与的夹角. 故选：C 7. 在四边形中，已知，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，可得四边形是菱形． 【详解】因为，即，所以四边形是平行四边形． 因为，，所以是等边三角形， 则，所以四边形是菱形． 故选：D. 8. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则复数在复平面内对应的点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 10. 下面命题中是假命题的有（ ） A. 中，若，则 B. 若，则是第一象限角或第二象限角 C. 若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为12 D. 函数的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理和大边对大角得；BD选项，举出反例；C选项，利用弧长公式求出扇形的弧长，进而得到周长. 【详解】A选项，由正弦定理得， 因为，所以，由大边对大角得，A为真命题； B选项，若，则不是第一象限角，也不是第二象限角，B为假命题； C选项，若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为， 故扇形的周长为，C为真命题； D选项，当时，，D为假命题. 故选：BD 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 13. 已知是平面内的一个基底，若向量与共线，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 利用向量共线的条件得到关于的方程即可得到. 【详解】 因为与共线，所以存在实数t，使， 即， 所以，解得． 故答案为：1. 14. 在边长为2的正方形中，点E为线段的三等分点，，，则___________；F为线段上的动点，G为中点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求得最小值； 【详解】因为为线段的三等分点，所以， 又因，所以， 所以； 由题意知， 因为F为线段上的动点，设， 则， 又因G为中点，则， ， 又因为，可知：当时，取到最小值. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是虚数，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【小问1详解】 若z是实数，则，解得或． 【小问2详解】 若z是虚数，则，解得且． 【小问3详解】 若z是纯虚数，则解得． 16. 设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）12 【解析】 详解】（1）证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2. 因为＝2e1－8e2，所以. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． （2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 已知函数 （1）求的单调递增区间： （2）求在上的值域； （3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用整体法及正弦函数性质求单调增区间； （2）由题设有，结合正弦函数性质求值域即可； （3）由，根据正弦函数的性质确定区间单调性及对应值域，结合零点个数确定参数范围. 【小问1详解】 由正弦函数的性质知，则， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意，令，由正弦函数性质有，所以； 【小问3详解】 在上，且在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上对应，在上对应， 要使函数在上的零点个数为2，则. 19. 已知三点A（2，3），B（5，4），，点P满足 （1）当λ为何值时，点P在函数的图象上？ （2）若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. （3）若Q在直线BC上且，求点Q的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P在函数的图象上可设，然后表示出的坐标，代入列方程求解即可； （2）设，表示出的坐标，代入，根据列不等式组求解即可； （3）设，由Q在直线BC上可得，先利用坐标表示平行关系，再利用坐标表示，解方程组可得点Q的坐标. 【小问1详解】 点P在函数的图象上，可设， 则， ， 解得； 【小问2详解】 设，则， 点P在第三象限， ； 【小问3详解】 设，由Q在直线BC上可得， 又，， ①， ， ②， 由①②可得或， 点Q的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$