精品解析：湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2025届高三一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合集合相等条件及集合元素的互异性即可求解. 【详解】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 2. 复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出，，，由复数的运算求解即可. 【详解】设，，， ， ， 所以的实部为， 故选：C. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，从而求得. 【详解】， 由于， 所以. 故选：C 4. 已知向量，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果. 【详解】根据向量数量积公式. 先求，. 再求.. 所以. 根据三角函数诱导公式，所以. 故选：C. 5. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式等价于图象为上凸的函数，再结合函数性质判断各选项. 【详解】满足，则函数为上凸函数， 对于A，的图象是上凸的，符合题意； 对于B，的图象是下凸的，不符合题意； 对于C，的图象是下凸的，不符合题意； 对于D，的图象是下凸的，不符合题意； 故选：A. 6. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，标出，，，四个点的坐标，写出向量，的坐标，即可表示出，进而可求得其范围． 【详解】如图，以原点建立平面直角坐标系， 易知，，， 当在线段上运动，设，其中， 所以，， 则， 因为，所以， 当在线段上运动，设，则，且, 则，故，， 则， 因为，所以，综上，的取值范围为. 故选：C. 7. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，再利用直线与圆相交的性质与圆的弦长公式得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为圆，可化为， 则其圆心为，半径为，且，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6， 所以，解得， 综上，，即. 故选：D. 8. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算即可判断A，由线段的比值结合三角形的面积公式即可判断B，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可判断C，由平面向量三点共线定理结合基本不等式代入计算，即可判断D 【详解】 由几何图形关系可得， 因为，所以．因为， 所以， 所以，故A正确； 因为，所以，因为，所以， 所以，故B错误； 因为，所以在上的投影向量为为定值，故C正确； 因为，且三点共线， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D错误． 故选：AC． 10. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间出发，4次移动后到达房间移动路径有6种 D. 小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项列举法求出房间相邻的情况，由古典概型与对立事件的概率公式求解；B项给出取6个房间且两两不邻的例子，由房间均与个房间相邻，分析取个房间必有相邻情况；C项列举可得；D项先列举从到达的情况求出相应条件概率，再利用全概率公式写出递推关系，构造数列求通项进而求具体概率即可. 【详解】A项，任取两个房间，相邻有种情况：， 所以任取两个房间不相邻的概率为，故选项A正确； B项，当时， 可将小球放在，此时房间两两不相邻； 当时，房间均与个房间相邻， 则从个房间任意抽走个房间后，总有相邻的房间，所以，故选项B正确； C项，小球从房间出发，次移动后到达房间有种路径： ；；； ；；； ，故选项C错误； D项，设小球从房间经过次移动到达房间的概率为，由题意可知为偶数， 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 所以，小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一， 且当小球经过次移动到达房间时，第次移动后必在房间之一， 小球从房间或经过次移动到达房间的概率均为； 小球从房间经过次移动到达房间的概率均为； ， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则， 所以. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是通过列举分析得出小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一，进而分类分析应用全概率公式得到概率递推关系. 11. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 点D到平面BCM的距离为 D. 三棱锥与的外接球体积相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特征及已知有判断A；利用、及棱锥的体积公式判断B、C；求出三棱锥与的外接球半径判断D. 【详解】由题设，则，故， 所以，故，则，A对； 由且， 所以，B错； 由且，， 若点D到平面BCM的距离，则，可得，C对； 对于，其外接球球心在直线上，若其半径为，则， 所以，可得， 对于，其外接球球心在直线上，若其半径为，则， 所以，可得， 所以，即三棱锥与的外接球体积相等，D对. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示． 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，求出，，利用全概率公式得到答案. 【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”， 则，，， 事件包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6"，“3次投掷的点数之和为12”，“3次投掷的点数之和为18”， ①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“”、“”、“”三种情形，故共有种； ②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“”、“”、“”、“”、“”、“”六种情形， 故共有种； ③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“”一种情形， 则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 14. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得； （2）分别讨论当为顶角和为底角时的底边长即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： ，∵ ， ∵， 【小问2详解】 当为顶角，则底边， ， 当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为 故的底边长为或. 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【小问1详解】 根据题意，，则， 解得， . 【小问2详解】 由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 17. 在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出，得椭圆的方程； （2）设直线，的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和求出和的方程，再求出O到直线的距离，可求的面积. 【小问1详解】 由题意知，，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为0，不满足， 直线的斜率为0，则三点共线，不合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 同理可得， 由，得，解得，则， ∴直线的方程为， ∴坐标原点O到直线的距离为， 即的面积的面积为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 18. 如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，. （1）求证：平面平面； （2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助圆锥的性质及面面垂直的判定定理计算即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得 【小问1详解】 如图，设交于点，连接， 在圆锥中，底面圆，所以， 又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以， 所以，所以， 可知，即是的中点， 又是母线的中点，所以，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）平面，以点为坐标原点， 所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在等腰三角形中， 又，所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成的角为， 则. 19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 【答案】（1），，，， （2）（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【小问1详解】 由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． 【小问3详解】 在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，若，则（ ） A B. 2 C. D. 6 2. 复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知向量，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数对于任意，都有成立是（ ） A. B. C. D. 6. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 10. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（ ） A. 将2个小球放至不同房间，则房间不相邻的概率为 B. 将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D. 小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 11. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 点D到平面BCM的距离为 D. 三棱锥与的外接球体积相等 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 13. 为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示． 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______． 14. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 记内角，，对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数的极值. 17. 在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 18. 如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，. （1）求证：平面平面； （2）设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$