精品解析：河南省许昌高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

许昌高中27届高一年级3月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：D 2. 已知向量，，若向量，则（　　） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件及平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 3. 正三角形中是线段上的点，，则（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本运算，结合数量积公式求解即可. 【详解】由题意， . 故选：C 4. 已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合数量积可得，再结合投影向量定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 5. 在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知边长条件利用余弦定理得到，再由为最大边，求角的范围即可； 【详解】因为，所以，所以， 又因为为最大边且三角形是不等边三角形，所以，所以， 即，所以. 故选：C. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 7. 定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再根据对数函数的性质得到，结合函数的单调性判断即可. 【详解】因为在上的函数满足，所以. 因为，又，，所以. 因为在上单调递增，所以，即，即. 故选：D 8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 10. 函数满足，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：赋值令即可得结果；对于C：赋值令，整理可得，即可得结果；对于D：分析可知函数的的一个周期为12，结合周期性运算求解. 【详解】因为，， 对于选项AB：令，可得， 即，故A错误，B正确； 对于选项C：令，可得， 即， 可得，两式相加可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：由选项C可得：， 可知函数的的一个周期为12， 所以，故D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 11. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又， 所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可； 【详解】， 所以， 故答案为： 13. 已知是方程的两根，并且，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再由两角和的正切公式可得答案. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 因为. 故答案为：. 14. 两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则=____________.  【答案】9 【解析】 【分析】取的中点，连接，由向量投影求解即可； 【详解】 取的中点，连接，由圆的性质，得. 为两个圆的公共弦，从而圆心在弦的投影为的中点，进而在上的投影向量的模能够确定，所以由向量的投影定义. 可得：所以， , 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 16. 在中，内角的对边分别为为钝角，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦公式结合正弦定理计算求解； （2）选择①应用正弦定理计算得出矛盾；选择②应用同角三角函数关系结合诱导公式及两角和正弦公式求出，最后应用面积公式计算即可；选择③应用正弦定理得出，，再应用两角和正弦公式及面积公式计算求解. 【小问1详解】 由题意得， 因为A为钝角， 则．则， 则， 解得， 因为A为钝角，则， 【小问2详解】 选择①，则， 因为，则B为锐角，则，此时，不合题意，舍弃； 选择②，因B为三角形内角，则， 则代入得，解得， ， 则． 选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得， 因为C为三角形内角，则， 则 ， 则． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解； （2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解； （3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 ， 由于在上单调递增， 所以的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， ，即， ∴，∴，∴， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【小问3详解】 有四个不等实根，即有四个不等实根， 设，得， 只需方程有两个不等正实根， ，解得， ∴的取值范围为． 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若函数的定义域为. ①存在使得不等式有解，求实数的取值范围； ②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）或； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由为奇函数有，可得的值； （2）由（1）得到的解析式，判断的单调性，①由题意，由参数分离和二次函数的最值，可得的范围；②由条件求得，运用换元法和基本不等式，计算可得的最大值. 【小问1详解】 因为奇函数，所以，所以， 化简并变形得对任意的成立， 则且，解得或， 【小问2详解】 因为的定义域是，所以舍去， 所以，所以； ①.对任意， 有， 因为，所以，即， 所以，因此在上递增. 因为，所以，即在时有解. 当时，的最大值为2，所以； ②因为，所以， 所以，不等式恒成立， 即， 令，则在时恒成立. 因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立. 所以，则实数的最大值为. 19. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. 【小问3详解】 ， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 许昌高中27届高一年级3月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知向量，，若向量，则（　　） A B. C. 8 D. 3. 正三角形中是线段上的点，，则（ ） A. B. 6 C. D. 12 4. 已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 7. 定义在上函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上单调，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 10. 函数满足，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为，初相为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________． 13. 已知是方程的两根，并且，则的值是_______． 14. 两个半径分别为☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则=____________.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 16. 在中，内角的对边分别为为钝角，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③： 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若函数的定义域为. ①存在使得不等式有解，求实数的取值范围； ②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值. 19. 已知 （1）化简函数并计算值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$