精品解析：广东省佛山市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

佛山市第三中学2024级高一下学期第一次阶段检测 高一数学试题 2025.3 本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡清洁、完整，不得折叠.严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带. 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值，得到答案. 【详解】 故选：B. 【点睛】本题考查两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题. 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角和的正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：A 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论. 【详解】因为，所以三点共线， 故选：A． 4. 已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 转化，再由 即得解 【详解】因为， ， 所以 .故选：A 【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题 5. 在△ABC中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式和二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， ， 故选：A． 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 7. 已知的重心为点P，若，则角B为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的重心，可得，代入题中等式，结合不共线，可得，进而可求得，，求得角B即可. 【详解】取的中点，由的重心为点P，可得，又，所以， 所以， 即， 因为不共线，所以， 故， 所以，故， 又，所以， 因为，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量在平面几何中的应用，考查三角函数恒等变换，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示：   因为  ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以   . 当且仅当 M 、O 、C 共线且  、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误 故选：ACD 10. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 右移个单位 B. 左移个单位 C. 右移个单位 D. 左移个单位 【答案】AB 【解析】 【分析】将目标函数解析式化为，利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】 ， 所以，为了得到函数的图象， 可以将函数的图象右移个单位或左移个单位. 故选：AB. 11. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( ) A. B. 若，则函数的最小正周期为； C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：在上单调，，，故； B：求出区间右端点关于对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期； C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解； D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围. 【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确； B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确. C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误. D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案. 【详解】由､均为单位向量，， 得：，即， 所以， 故答案为： 13. 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，，， ，∴， ，. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后代值计算可得的值； （2）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得函数的单调递增区间. 【详解】（1）， ； （2）函数的最小正周期为， 解不等式，得， 因此，函数的单调递增区间为. 【点睛】本题考查三角函数求值，同时也考查了正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于基础题. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，函数， 所以 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 将图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将向下平移1个单位得到， 最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到， 即， 由，即，所以，， 解得，， 令可得，令可得， 又，所以， 即在时不等式的解集为. 18. 如图，扇形钢板的半径为，圆心角为，现要从中截取一块四边形钢板，其中顶点在扇形的弧上，分别在半径上，且 ． （1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围； （2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）详见解析； （2）时四边形钢板的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用割补法和三角函数即可求得四边形钢板的面积的解析式，进而得到的取值范围； （2）先化简的解析式，利用三角函数的性质即可求得最大值及对应的值. 【小问1详解】 扇形钢板的半径为，圆心角为，， 则，， 则四边形钢板的面积 其中的取值范围为； 【小问2详解】 又，则，则， 则， 则当，即时四边形钢板的面积最大，最大值为． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量. （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 依题意， 由得， ，所以， 所以. 【小问3详解】 的函数解析式， 所以 区间的长度为，函数的周期为， 若的对称轴在区间内， 不妨设对称轴在内，最大值为1， 当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为； 其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于， 若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为： ， 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 佛山市第三中学2024级高一下学期第一次阶段检测 高一数学试题 2025.3 本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚. 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡清洁、完整，不得折叠.严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带. 第I卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知，则的值为 A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的重心为点P，若，则角B为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与共线向量，则四点共线 D. 若，则 10. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 右移个单位 B. 左移个单位 C. 右移个单位 D. 左移个单位 11. 已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( ) A B. 若，则函数的最小正周期为； C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若函数在区间上恰有5个零点，则取值范围为 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________. 13. 值为______. 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线两个交点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递增区间. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 18. 如图，扇形钢板的半径为，圆心角为，现要从中截取一块四边形钢板，其中顶点在扇形的弧上，分别在半径上，且 ． （1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围； （2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大，并求出最大值． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值； （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$