精品解析：2025届湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学高三一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 已知复数和，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可. 【详解】因为复数和，满足， 则， 所以，所以. 故选：C 2. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C, 3. 有下列四个命题: ①; ②命题“若，则”的逆否命题为真命题． ③是函数的极值点; ④对于命题，使得，则，均有. 其中真命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①通过去绝对值即可；②通过原命题真假即可判断，③通过函数为增函数即可判断； ④由特称命题的否定为全称命题判断 【详解】①且，故错； ②命题“若，则”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确 ③为单调增函数，没有极值点，故错 ④，均有，正确 故选：B 4. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期公式求出，即可得到函数解析式，再检验是否满足在上单调递减，最后求出函数的零点. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 解得或， 当时，由，可得， 显然在上单调递增，则在上单调递增，不符合题意， 当时，由，可得， 显然在上单调递减，则在上单调递减，符合题意， 所以， 令，解得， 即的零点为，当时为. 故选：D 5. 已知函数．若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件判断函数的对称性和单调性，再根据自变量的大小，比较函数值的大小. 【详解】若函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 函数关于直线对称，所以，即， ，函数和在区间单调递减，在区间单调递增， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 因，所以，即. 故选：A 6. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 7. 已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与圆O相切于点D，由切线长定理可得的周长为，可得，设，由题意得，可得，计算可得，结合已知可得，可求. 【详解】设与圆O相切于点D，由题图及切线长相等可得：，，， ∴的周长为， ∴， 设，由题意得， ∵，∴， ∴， 由，则，解得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理与三角形的面积得到，进而计算求解. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、多选题（共18分） 9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，成等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误； 对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误； 对于C，由题意，，则，则， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确； 对于D，由题意，，则，， 因为呈指数增长，呈线性增长， 因此当足够大时，必有，故D正确. 故选：CD. 10. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围. 【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动， 又平面，所以平面， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， 同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A正确； 对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动， 三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点， 则，其大小随着的变化而变化，C错误； 对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线， 因为且,所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角是直线与所成角， 在正中，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（ ） A. 的面积的最大值为2 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，设直线，联立抛物线方程可得，根据结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得，再代入韦达定理求解即可. 【详解】设直线，由得：， 则； 选项A： 应是最小值为2，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，，则，故C正确； 选项D：由，， 得：,， ∴，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（共15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论、并利用导数研究函数的区间单调性，结合已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】当时，在区间上单调递增，满足题设； 当时，在上，令，可得， 所以时，时，则， 对于且，则， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 此时，要使在区间上单调递增，则，得， 对于且，则，即函数在上单调递增， 此时，要使在区间上单调递增，则，得，即， 综上，. 故答案为： 13. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则__________. 【答案】14 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义，得，又根据中点坐标公式，可得，代入即可得到的值． 【详解】由题意可得， 设，抛物线的准线：， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 根据抛物线的定义，得， 故， 因为的中点为， 所以，可得， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合对数的运算性质可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以； 故，即. 当时，则， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对的边分别是，满足. （1）求角； （2）若，边上的中线，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦展开式可得，再两边平方化简可得答案； （2）由两边平方可得，由余弦定理得可得，联立方程组，可得，再利用完全平方公式可得答案.. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 又因为， 则， 因为，可得，所以， 即，化简得， 因为，可得，解得， 所以； 【小问2详解】 由边的中线，可得， 可得， 即，即， 在中，由余弦定理， 可得， 联立方程组，可得，所以， 所以， 所以的周长为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. 【小问2详解】 定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递减，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递减，上单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递增, 又，不等式等价于，解得, 又，综上的取值范围是． 17. 设数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由得，相减可得递推公式，进而判断为等比数列，从而可得等比数列的通项公式； （2）根据题意计算可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法可得前n项和. 【小问1详解】 由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，得，满足． 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，． 【小问2详解】 因为， 所以． 所以. 故数列的前n项和为，. 18. 已知椭圆（其中）离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的值，由离心率可得的值，进而可求出的值，可得椭圆方程； （2）联立，由题意可得为中位线，进而可得，在直角三角形中，可得为上顶点或下顶点，可得直线的斜率. 小问1详解】 由题意可得，又，可得， 所以， 所以椭圆C的方程为：. 【小问2详解】 连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即， 即，设，可得， 在中，，所以， 整理可得，可得， 所以可得A为上顶点或下顶点， 所以直线AB斜率为或，即或． 所以k的值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即可； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可； （3）求出平面法向量，假设通过空间向量的线性运算求得，利用已知条件列出等式求解即可得到的值，进而可求的值. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，, , ，且平面平面 【小问2详解】 由（1）得，， 异面直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由（1）得，,． 设平面的法向量， 由得，， 令，则， 设， ． 整理得，，解得或存在点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 已知复数和，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 2. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 有下列四个命题: ①; ②命题“若，则”的逆否命题为真命题． ③是函数的极值点; ④对于命题，使得，则，均有. 其中真命题个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，成等比数列 C. 若，则数列的前n项和为 D. 若，则存在正整数M，使得当时， 10. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 11. 已知抛物线焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（ ） A. 的面积的最大值为2 B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为_________． 13. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则__________. 14. 设函数，若，且，则最小值为___________. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角所对边分别是，满足. （1）求角； （2）若，边上中线，求的周长. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17. 设数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$