精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高二下学期月考1教学质量监测数学试卷

汉沽一中高二年级2024-2025学年度第二学期 数学学科月考1教学质量监测试卷 一、选择题：本题共12小题，共60分． 1 已知函数，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 3. 函数的单调增区间为（ ） A B. C. D. 4. 书架上有20本内容互不相同的书，其中6本数学书，4本语文书，10本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为（ ） A 144种 B. 124种 C. 100种 D. 84种 5. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的极小值点是（ ） A. 0 B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 8. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 9. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 14. 已知函数在处的导数，则a的值为________． 15. 用数字0，1，2，3，5组成_____个没有重复数字的五位偶数． 16. 已知，则_______． 17. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 18. 已知曲线上有一点，则在点P处切线的斜率为______，在点P处切线的方程为______． 19. 已知函数若，则函数的极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______． 20. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 三、解答题：本题共4小题，共50分． 21. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 22. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 23. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性． 24. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉沽一中高二年级2024-2025学年度第二学期 数学学科月考1教学质量监测试卷 一、选择题：本题共12小题，共60分． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式即可得出答案. 【详解】由幂函数的求导法则可知，，令，则. 故选：C. 2. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 【答案】D 【解析】 【分析】先取本历史书，再取本地理书，根据分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】本不同的历史书任取本历史书有种取法， 本不同的地理书任取本地理书有种取法， 从这些书中任取本历史书和本地理书， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种. 故选：D. 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域为, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 4. 书架上有20本内容互不相同的书，其中6本数学书，4本语文书，10本英语书，从书架上任取两本书，则取出的两本书不同学科的方案数为（ ） A. 144种 B. 124种 C. 100种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】分类考虑，可能是数学和语文学科，可能是数学和英语学科也可能是语文和英语学科，根据分类加法原理求得答案. 【详解】由题意可得，若是数学和语文学科，则有种不同方案， 若数学和英语学科，则有种不同方案， 若是英语和语文学科，则有种不同方案， 故根据分类加法原理可得共有种不同学科的方案数， 故选：B 5. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 6. 函数在区间上的极小值点是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究的区间单调性，进而确定极小值点. 【详解】由题设， 所以在上，递减， 在上，递增， 所以极小值点为. 故选：B 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象. 【详解】，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上是增函数，在上是减函数，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等． 8. 如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析： (1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； (2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； (3)对于C 、D块，分2种情况： 若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， 若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况， 则C 、D共有种情况； 综合可得：一共有种不同的种法. 故选：B 9. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在区间上单调递减，则导函数在区间上恒成立,分离参数，即可求解. 【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故， 所以，当时，导数不恒为0， 故选：D. 10. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，其中，根据的奇偶性得出为偶函数和，根据时，得出在定义域内的单调性，由得出和的值，画出简图，分类讨论即可得出的解集． 【详解】设函数，其中，则， 因为是上的奇函数， 所以，且， 所以是上偶函数，， 因为当时，， 所以，即上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以， 所以，， 画出的简图，如图所示， 当，时，，则， 当，时，，则， 当，，不合题意， 综上所述，时，， 故选：D 11. 已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数在上单调递增，所以函数， 因为函数，，使得成立， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 12. 已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意，原问题等价于，令 ，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解. 【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立， 等价于，即， 令，则，所以在上为减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 又，，且， 所以， 所以，解得， 故选：A. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 【答案】6 【解析】 【分析】 根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果. 【详解】要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光． 因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光， 所以接通电源使灯泡发光的方法有种． 故答案为：. 14. 已知函数在处的导数，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，再代入求值即得. 【详解】由，得 ， ，得 故答案为：1 15. 用数字0，1，2，3，5组成_____个没有重复数字的五位偶数． 【答案】42 【解析】 【分析】应用分类计数原理，当个位数字为0时五位数共有个，当个位数字为2时五位数共有个，进而得到答案． 【详解】当个位数字为0时，这样的五位数共有：个， 当个位数字为2时，这样的五位数共有：个， 所以组成没有重复数字的五位偶数共有个． 故答案为：42 16. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式两边求导得导函数，注意为一常数，再令，解出即得导函数表达式，再令，即可得到. 【详解】对求导得导函数，令，得， 解得，所以，令，得， 故答案为：. 17. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 【答案】192 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，第一步将数学排在前节中，方法种数为： ， 第二步：体育排在后节，方法种数为： ； 第三步，排剩余四个课程，方法种数为：. 根据分步计数原理，共有的方法种数为： 种. 故答案为：192 考点：1.分布计数原理；2.排列的方法种数. 18. 已知曲线上有一点，则在点P处切线的斜率为______，在点P处切线的方程为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】先求导，再代值即可得在点处的斜率，有点斜式即可得在点处的切线方程. 【详解】由有，当时，有，所以在点处的斜率为6， 由点斜式有：， 故答案为：6；. 19. 已知函数若，则函数的极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，结合为的对称轴可以更具体地得到，解不等式组即可得出答案. 【详解】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 20. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，问题转化为直线与函数图象有两个交点，求导分析单调性，画出图象，数形结合即可得到的取值范围. 【详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是分离参数，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，在画函数图象的过程中常借助导数分析单调性. 三、解答题：本题共4小题，共50分． 21. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 22. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由联立解方程组可得的值； （2）由（1）可得的表达式，求出的零点，判断在导函数零点左右的正负即可确定的单调区间和极值. 【小问1详解】 对函数求导得，故，解得， 由题意可知，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可知函数，定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 23. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）有极大值，无极小值 （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）时直接求出及其零点，判断在零点左右的正负即可求出极值； （2）先考虑特殊情况，当时再分类讨论和的情况， 始终要注意的定义域为，最后综合一下即可得结果. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ， 令，得或（舍去）. 当时，；当时，， 所以有极大值，无极小值. 【小问2详解】 当时，在上恒成立， 所以当时，在上单调递增； 当时，， 令，得或（舍去）. 当时，，所以在上恒成立， 故当时，在上单调递增； 当时，，当时，；当时，， 故当时，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 24. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求得； （2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间； （3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论． 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 【点睛】方法点睛：求单调区间的方法，求出导函数，然后解不等式得增区间，得减区间，题中不等式的证明可以在利用导数的基础上求得函数的最小值，由于此最小值中含有参数，以此参数为自变量得一新函数，再利用导数求得其极值、最值，从而可证明结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$