精品解析：安徽省合肥市庐阳区2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 以下是四个新能源汽车标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 5. 如图，点在线段上，且，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 从年月日起，合肥燃气价格上调．调整后，居民用气费用（元）与年用气量（立方米）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 第一档单价是元/立方米 B. 第二档单价是元/立方米 C. 当年用气量为立方米时，费用为元 D. 值是 10. 如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 三角形的外角大于该三角形的任一内角是________（填“真”或“假”）命题． 12. 如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 _______． 13. 在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ______． 14. 新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在中，，，点E在延长线上，平分交延长线于点D，求的度数． 16. 如图，平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）先画出关于y轴对称的，再画出关于x轴对称的； （2）点是内一点，经过上述两次变换后，得到的对应点坐标为 ． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式． 18. 如图，在中，为边上的高． （1）实践与操作：仅用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，并交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，求点F到边的距离． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与直线交于点，、分别与x轴交于点B、C，且的面积等于9． （1）求k，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是 ． 20. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 在中，，点D、E分别是边、上一点，连接、交于点G． （1）如图1，点F是上一点，连接，若，求证：； （2）如图2，若，于点G，交延长线于点F，若，求证：． 七、（本题满分12分） 22. 为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ； （2）当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ （3）当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． （1）如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． （2）如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省合肥市庐阳区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：∵点，横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查各象限内点的坐标特征，掌握第一象限内的点为(+，+)，第二象限内的点为(-，+)，第三象限内的点为(-，-)，第四象限内的点为(+，-)是解题关键． 2. 以下是四个新能源汽车标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，熟知一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：选项A中的图形能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，是轴对称图形； 选项B、C、D中的图形不能找到一条直线，能够使折叠之后的两部分互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 4. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，点在线段上，且，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，由已知可得，进而根据三角形全等的判定方法逐项判断即可求解，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， 即， ∵， 若添加，两边及一边的对角相等，不能判定，故选项符合题意； 若添加，两边及其夹角相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 若添加，两角及一角的对边相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 若添加，两角及其夹边相等，符合判定方法“”，能判定，故选项不合题意； 故选：． 6. 如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 7. 如图，在中，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 设，则，根据三角形的内角和定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 设， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是解题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解： 当时，正比例函数的图象经过一三象限，一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意； 当时，正比例函数的图象经过二四象限，一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不平行，故D不符合题意； 故选：C． 9. 从年月日起，合肥燃气价格上调．调整后，居民用气费用（元）与年用气量（立方米）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 第一档单价是元/立方米 B. 第二档单价是元/立方米 C. 当年用气量为立方米时，费用为元 D. 值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，能从所给函数图象中识别出正确的信息是解题的关键． 根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，（元/立方米）， 即第一档单价是元/立方米，故A选项不符合题意； （元/立方米）， 即第二档的单价是元/立方米，故B选项不符合题意； 当年用气量为立方米时，（元）， 即费用为元，故C选项不符合题意； （立方米）， （立方米）， 所以的值为，故D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数，进而可对结论①进行判断； ②证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③根据含有角的直角三角形的性质得当时，则AFEF，此时，则，但是根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断； ④过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，，进而再证明是等边三角形得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ；故结论①正确； ②连接，如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②成立； ③连接，如图2所示： ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故结论③不正确； ④过点A作于点M，于点N，如图3所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分，故结论④正确； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，如图4所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 三角形的外角大于该三角形的任一内角是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的真假、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角成为解题的关键． 直接根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角， ∴“三角形的一个外角大于任何一个内角”是假命题． 故答案为：假． 12. 如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：10． 13. 在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 14. 新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在中，，，点E在延长线上，平分交延长线于点D，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质； 在中，根据三角形内角和定理及已知条件求出的度数，然后求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16. 如图，平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． （1）先画出关于y轴对称的，再画出关于x轴对称的； （2）点是内一点，经过上述两次变换后，得到的对应点坐标为 ． 【答案】（1） 如图，，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，则第一次对称后，第二次对称， ∴． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 根据正比例函数的定义可设，然后时，，代入求出k即可 得到y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意设， 则， 解得， 则， 所以y与x之间的函数关系式为． 18. 如图，在中，为边上的高． （1）实践与操作：仅用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，并交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，求点F到边的距离． 【答案】（1） 如图：为所求； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）过点作于点，如图，则利用角平分线的性质得到，，再证明得到，所以，从而得到点到边的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ∵是的平分线，， 即点到边的距离为2． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，直线与直线交于点，、分别与x轴交于点B、C，且的面积等于9． （1）求k，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1）k，b，m的值分别为1，4， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）把点代入中，求得m的值，利用解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式求得B点的坐标，再将A，B两点坐标代入到中，求得k和b的值； （2）根据图象即可求得． 【小问1详解】 ∵直线交于点 ∴， ∴， ∴直线， 令，则，解得， ∴， ∵的面积等于9， ∴，即， ∴， ∴， 将A，B两点坐标代入到直线得， 解得， ∴k，b，m的值分别为1，4，； 【小问2详解】 观察图象，当时，x的取值范围是． 20. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据定理证得，得到，即可证得结论； （2）证明得到，证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 在中，，点D、E分别是边、上一点，连接、交于点G． （1）如图1，点F是上一点，连接，若，求证：； （2）如图2，若，于点G，交延长线于点F，若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：过点C作交的延长线于点F，如图所示： 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再证明，即可得证； （2）过点C作交的延长线于点F，由等腰直角三角形的性质可得，先证明，得出，再证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 为进一步推动绿色生态文明建设，走可持续发展之路，某工厂在生产过程中同步进行污水处理，有两种处理方案： 方案1：污水纳入污水处理厂统一处理，每生产1件产品需付7元的排污费； 方案2：积极响应“无废城市”号召，使用专业设备，通过有效方法，对污水进行循环利用．每生产1件产品需付1元的设备原料费，并且设备损耗费为每月b元． 若工厂每月生产x件产品，产品的成本价为25元/件，出厂价为50元/件，方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系如图所示．结合图象回答问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ； （2）当工厂每月生产300件产品时，两种方案的月利润相差多少元？ （3）当两种方案的月利润相差1500元时，求x的值． 【答案】（1）500，3000 （2）两种方案的月利润相差1200元 （3）x的值为250或750 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、列函数关系式、求函数值等知识点，掌握二元一次方程组和绝对值方程的解法是解题的关键． （1）分别写出方案1、方案2的月利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，将坐标分别代入这两个函数，建立关于a和b的二元一次方程组求解即可； （2）将分别代入方案1、方案2的函数关系式，求出和的值并求差即可． （3）将方案1、方案2的函数关系式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 方案1的月利润（元）与x（件）之间的函数关系为， 将坐标分别代入和， 得，解得：， ∴． 故答案为：500，3000． 【小问2详解】 解：当时，， （元）． 答：两种方案的月利润相差1200元． 【小问3详解】 解：根据题意得，即， 解得或750． 答：x的值为250或750． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． （1）如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． （2）如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 证明：如图， 延长，交的延长线于点， 由得，，， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，从而； 延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，从而，从而； （2）当时，最小，延长，交于，可证得，从而，可证得，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 略 【小问2详解】 解：如图， 当时，最小， ， 延长，交于， 由（1）知，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $