精品解析：天津市新华中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

数学学科 2025－03 第Ⅰ卷 一、单选题（每题5分） 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 函数在处（ ） A. 有极大值 B. 无极值 C. 有极小值 D. 无法确定极值情况 3. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 4. 若，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 6. 若是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，定义域为，且对任意，当时都有成立.则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有三个极值点，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 对于函数　f(x)＝x3＋ax2－x＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程　f(x)＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是(　　) A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（每题6分） 10. 函数的单调减区间为______. 11. 函数在上的最小值为_______． 12. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__________. 13. 已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则______． 14. 已知函数在处取得极小值，则值为______． 15. 已知函数，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则的取值范围是__________． 三、解答题（本题19分，第一问5分，第二问6分，第三问8分） 16. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论单调性； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 2025－03 第Ⅰ卷 一、单选题（每题5分） 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 2. 函数在处（ ） A. 有极大值 B. 无极值 C. 有极小值 D. 无法确定极值情况 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，利用导数与极值的关系即可求解. 【详解】， 则， 令，解得， 令，解得， 令，或， 所以函数在单调递增；在单调递减， 所以在处无极值. 故选：B 3. 已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 有3个极大值点 B. 有3个极小值点 C. 有1个极大值点和2个极小值点 D. 有2个极大值点和1个极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中；结合题中函数图像，判定函数的单调性，进而可得极值点. 【详解】由题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中， 由图像可得，当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 当时，，即，则函数单调递增； 当时，，即，则函数单调递减； 所以有两个极大值点和；有一个极小值点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型. 4. 若，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】根据导数的公式即可得到结论． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象. 【详解】，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上增函数，在上是减函数，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等． 6. 若是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数可判断其单调性，又可判断该函数为奇函数，从而可求不等式的解. 【详解】设，则的定义域为 而，故为上的奇函数， 且， 当时，因为，故， 故在上为减函数，故为上的减函数， 而，故，所以 又即为，故或， 故或， 故或， 故选：C. 7. 已知函数，定义域为，且对任意，当时都有成立.则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化条件为可得在上为减函数，对，，都有恒成立，对，，都有恒成立，只需，即可得出答案． 【详解】对，，当时都有恒成立， 等价于， 令， 可得在上时为减函数， 所以对，，都有恒成立， 即对，，都有恒成立， 所以对，，都有恒成立， 令，， ， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得，即， 故选：． 8. 若函数有三个极值点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把题意转化为函数有三个极值点，即必有两个不等于1的正实数根.利用导数求出，再验证其符合题意. 【详解】的定义域为.. 令，显然x=1是方程的一个根. 由函数有三个极值点，可知必有两个不等于1的正实数根. 令，则. 令，有；令，有； 所以，因此有. 此时有两个根a、b，其中， 所以在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减；在上，，单调递增. 所以有三个极值点，符合题意. 故. 故选：A 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围； （4）利用导数研究函数的零点问题. 9. 对于函数　f(x)＝x3＋ax2－x＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程　f(x)＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：, 因为,所以,必有2个不等实根． 分别设为．因为,所以． 当或时, ,当时, ． 所以在和上单调递增,在上单调递减． 所以时取的极大值,当时取得极小值． 因为,所以,即,所以甲,乙,丙三人说都正确． 因为的符号不确定,所以丁的说法就不正确． 综上可得,正确的个数是3．故C正确． 考点：用导数研究函数的单调性,极值． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题6分） 10. 函数的单调减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后，令导数小于0，求解即可. 【详解】的定义域为， ， 令，可得，可得， 又，则或， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 11. 函数在上的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上最小值为. 故答案为：. 12. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出给定函数的导数，根据已知由小于0在有解，求出a的范围. 【详解】函数，求导得， 函数在上存在单调递减区间，得，即在有解， 当时，，，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 13. 已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设与的图象交点为，再根据导数的几何意义列方程化简求解即可. 【详解】设与的图象交点为，则，即，故. 又则，解得，则. 故答案为： 14. 已知函数在处取得极小值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 15. 已知函数，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数零点的定义转化为直线与函数的图象共有3个交点求解. 【详解】由， 令函数，一次函数在上单调递增，值域为R， 因此直线与函数的图象有且只有一个交点， 即函数有1个零点； 由，得， 令函数，依题意，函数有不同于的两个零点， 即直线与函数的图象有两个交点，且交点横坐标不能是， 由，求导得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，而， 当时，恒成立， 则当时，直线与函数的图象有两个交点， 当，即时，或， 则当或，与的零点相同， 由，得， 由，得， 因此且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题（本题19分，第一问5分，第二问6分，第三问8分） 16. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. 小问2详解】 ，. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，得上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $