精品解析：上海市同济中学2024-2025高一下学期阶段测试（3月）数学试卷

2024学年第二学期高一阶段测试 数学试卷 2025年03月 一、填空题（共12小题） 1. 函数的最小正周期为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论． 【详解】函数的最小正周期为：， 故答案为. 2. 是第____________象限角. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 3. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为某扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为. 故答案为：. 4. 在中，，其面积为，则边______. 【答案】10 【解析】 【分析】由三角形的面积公式求解． 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 5. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 6. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用反三角函数求出结果即可. 【详解】由，得. 故答案为： 7. 将化成（其中，）的形式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为： 8. 在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可. 【详解】由正弦定理得， 不妨设，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角， 则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为. 故答案为：. 9. 函数的定义域为___． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得． 【详解】由题意，，又， 所以， 故答案为：． 10. 已知顶点在原点的锐角，始边在轴的非负半轴，，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，由三角函数的定义，利用两角和的余弦公式计算即可. 【详解】对于锐角，，则， 由三角函数的定义可知，. 故答案为：. 11. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案. 【详解】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 二、选择题（共4小题） 13. 若，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置. 【详解】因为，所以，， 所以点第四象限． 故选：D． 14. 既是区间上的减函数，又是以为周期的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的最小正周期为，不符合题意； 对于B中，函数的最小正周期为，不符合题意； 对于C中，函数的最小正周期为， 当时，函数，此时上单调递增，不符合题意； 对于D中，函数的最小正周期为， 当时，函数，此时在上单调递减，符合题意. 故选：D. 15. 函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象求出，然后结合周期公式求出的值，进而根据函数图象过点以及求出的值，即可求出结果. 【详解】由图象可知，所以，又因为，所以，所以，因为函数图象过点，所以，又因为，所以，因此， 故选：C. 16. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可． 【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心， 半径为2的圆与BA有两个交点， 所以只需满足，即，解得. 故选：C 三、解答题（共5小题） 17. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 分析】（1）利用倍角公式直接进行求值； （2）利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值． 【详解】（1），，， . （2）由题意，， 由（1）知，， 则． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，考查基本的运算求解能力． 18. 若，是关于x的方程，的两根，求： （1）a的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【小问1详解】 ，或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． 【小问2详解】 由（1）， ． 19. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）求函数在的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； 【小问2详解】 令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 20. 在中， （1）若与是方程的两个实根，求角的值； （2）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）等腰三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【小问1详解】 在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或, 所以为等腰三角形或直角三角形． 21. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可． （2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可． 【详解】解：（1）由题意，，， 所以 所以，不符合要求 （2），， 所以， ， 所以，的最小值为. 【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一阶段测试 数学试卷 2025年03月 一、填空题（共12小题） 1. 函数的最小正周期为_____________． 2. 是第____________象限角. 3. 已知某扇形圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______. 4. 在中，，其面积为，则边______. 5. 若，则______. 6. 已知，则_____ 7. 将化成（其中，）的形式为___________. 8. 在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为______. 9. 函数的定义域为___． 10. 已知顶点在原点锐角，始边在轴的非负半轴，，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为________． 11. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 12. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______. 二、选择题（共4小题） 13. 若，则点在第（ ）象限． A 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 既是区间上的减函数，又是以为周期的偶函数是（ ） A B. C. D. 15. 函数（其中，，）部分图像如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 16. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 三、解答题（共5小题） 17. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 18. 若，是关于x的方程，的两根，求： （1）a的值； （2）的值． 19. 已知函数. （1）求的单调增区间； （2）求函数在的值域. 20. 在中， （1）若与是方程的两个实根，求角的值； （2）若，判断的形状． 21. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$