精品解析：甘肃金昌市永昌县第一高级中学2026届高三高考考前自测数学试题

甘肃金昌市永昌县第一高级中学2026届高三高考考前自测数学试题 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，又，所以. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算求得以及其共轭复数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以，则的虚部为. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可直接求得答案. 【详解】由，则 ，解得. 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为点是椭圆上的一点，所以，所以9. 当且仅当时等号成立，所以的最大值为9. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦、正弦公式、同角三角函数的基本关系，充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，又，得， 则， 所以“”是“”的充分条件； 若，且，则，所以， 若，则，可得， 若，则，可得. 故“”不是“”的必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 6. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为 ， 所以两圆的公共弦长为. 7. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由模型，可得，即， 因为变换后得到经验回归方程为， 所以 ，即，故. 8. 已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，再设，计算可得且，再借助空间向量计算可得点到平面的距离的最大值，最后利用体积公式计算即可得. 【详解】设球的半径为，所以，解得，故， 又，所以，所以， 设的中点为，则是外接圆的圆心， 则平面， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设点，因为 ， 所以，即， 两式相减解得，代回上式可得，所以，即， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的分位数是18 B. 数据的平均数为2，那么数据的平均数为7 C. 已知分别为随机事件的对立事件，，则 D. 已知分别为随机事件的对立事件，，若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，故样本数据的分位数是，故A正确； 因为的平均数为2，所以的平均数为：，故B正确； ，故C错误； 由，得，即， 所以，故D正确 10. 已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（ ） A. 的实轴长为2 B. 的离心率为2 C. 点到的两条渐近线的距离之积为3 D. 点可能是线段的中点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、性质、直线与双曲线的关系逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，所以的实轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，所以，所以点到的两条渐近线的距离之积为，故C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，， 由得，即， 则，若点是线段的中点，则，则， 解得，此时，矛盾. 所以点不可能是线段的中点，故D错误. 11. 已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助赋值法，令即可得；对B：借助赋值法，令，结合A中所得计算即可得；对C：任取，结合函数单调性定义可得在上是增函数，则可得在上单调递增；对D：借助赋值法，令，可得，由时，，可得，则，累乘即可得解. 【详解】对A：令，得，故A错误； 对B：令，则，即有， 故，故B正确； 对C：任取，则，依题意，， 而，则，即， 即在上是增函数， 于是对于，任取， 因，则，即， 即函数在上单调递增，故C正确； 对D：令，可得， 整理得，当时，且， 故，即， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列，且，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量，转化已知条件，即可求得结果. 【详解】设数列的公差为， 则，所以. 13. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应函数为， 所以. 14. 已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式化成，构造函数，由其单调性得到，再构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【详解】不等式对任意的恒成立， 即， 即. 设，由解析式可知该函数单调递增， 则对任意的恒成立， 所以， 所以， 令， 所以， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出 即可求出. （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求出，即可得出结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，所以，整理可得 且，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得， 又，由余弦定理得，所以 所以 ， 所以的周长为. 16. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，结合二次函数单调性，即可求得参数范围； （2）根据题意，在区间上，，先利用导数分析的单调性，从而求得其最大值；再对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最大值，进而求得参数的范围. 【小问1详解】 由题意知， 又函数在区间上单调递增，所以， 也即恒成立， 在上单调递增，所以， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 若对，使得，所以， 又，则， 当单调递增，当，单调递减， 所以； 因为，又在上单调递增， 又，，故， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以，又，所以； 当时，， 当，所以单调递减，当，，所以单调递增， 又，所以在上的最大值是中较大的， 则只需且，解得：； 当时，，所以在单调递增，故， 所以6，又，故此时无解. 综上，的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，. （1）求证：平面平面； （2）点满足，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质得对角线边长,结合证，算出长度,由勾股定理推，结合线面垂直判定得底面，进而证得两平面互相垂直. （2）由（1）得三条线段两两垂直，以为原点建系，写出各点坐标,求出相关向量，分别列出两平面法向量的方程组并求解，利用向量夹角公式计算余弦值,结合图形判定二面角为锐角，得到最终结果。 【小问1详解】 连接交于点，连接，如图所示： 因为底面是菱形，，易得 . 又，所以， 所以，所以， 又平面，所以平面 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示: 所以. 因为 . 所以， 又. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以； 设平面的一个法向量为. 则，解得，令，则. 所以，可得， 由图可知，二面角所对应的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点. （1）求的方程； （2）若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率； （3）若，求点到直线的距离的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义列方程求参数，即可得； （2）根据已知得，设直线为，联立抛物线并应用韦达定理，结合求参数，即可得； （3）由（2），结合得，进而确定直线所过的定点，即可得点线距离的最大值. 【小问1详解】 由题意知，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 因为是上的一点，所以，解得，故. 设直线的方程为， 由，得， 所以 . 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即 ，解得，则直线的斜率为. 【小问3详解】 由（2）， ， 因为，所以，即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为. 19. 已知一个袋子中有个红球，个黑球，这些球除颜色外完全相同. （1）若，甲､乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. （i）求第2次摸球后比赛结束的概率； （ii）若规定甲､乙摸球次数的总和达到时也比赛结束，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求的分布列和数学期望； （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子中，记随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证：. 【答案】（1）（i）； （ii） 2 4 6 期望 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式、互斥事件的和事件概率公式计算即可； ②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可； （2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后结合放缩法和组合数的运算性质即可求证. 【小问1详解】 （i）记“第2次摸球后比赛结束”为事件， 所以. （ii）由题意知的可能取值为， 则 ， . 其概率分布如下： 2 4 6 所以. 设， ， 所以， 所以. 所以 【小问2详解】 由题意知的可能取值为， 则，， 则其概率分布如下： 所以， 因为， 所以 . . 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃金昌市永昌县第一高级中学2026届高三高考考前自测数学试题 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的分位数是18 B. 数据的平均数为2，那么数据的平均数为7 C. 已知分别为随机事件的对立事件，，则 D. 已知分别为随机事件的对立事件，，若，则 10. 已知双曲线，过点的直线与.交于两点，则（ ） A. 的实轴长为2 B. 的离心率为2 C. 点到的两条渐近线的距离之积为3 D. 点可能是线段的中点 11. 已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列，且，则__________. 13. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 14. 已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使得，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，. （1）求证：平面平面； （2）点满足，求二面角的余弦值. 18. 已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点. （1）求的方程； （2）若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率； （3）若，求点到直线的距离的最大值. 19. 已知一个袋子中有个红球，个黑球，这些球除颜色外完全相同. （1）若，甲､乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. （i）求第2次摸球后比赛结束的概率； （ii）若规定甲､乙摸球次数的总和达到时也比赛结束，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求的分布列和数学期望； （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子中，记随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $