精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

2025届重庆八中高三3月月考数学 数学试卷 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 锐角中的角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线可能垂直 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ） A. B. ， C. 函数在定义域内是减函数 D. 函数的值域为 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 11. 已知数列满足，，前项和为，则下列选项中正确的是(参考数据:) （ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 是单调递增数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 若，则_____. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______ 14. 设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为_____ 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 17. 已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点. (i)求证:直线和的斜率之积为定值; (ii)当最大时，求直线方程. 18. 信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. （1）记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； （2）一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 19. 已知函数. （1）当，，时，求证:; （2）当时，若有三个零点. (i)求实数的取值范围; (ii)若，求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届重庆八中高三3月月考数学 数学试卷 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先化简集合，再解对数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，所以或或或， 解得或或或， 所以， 由，即，所以， 所以. 故选：B 2. 设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的基本概念结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为“是纯虚数”“且”， 故“是纯虚数”成立的一个必要不充分条件是“”， 故选：A． 3. 已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A 4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式写出数列的前项的值，可知数列是周期为的周期数列，结合数列的周期性可求得的值. 【详解】在数列中，，，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 因为，所以，. 故选：C. 5. 如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出辅助线，利用三角函数值求出各边长，考虑当点在上运动时，求出的最大值，当点在上运动时，当与重合时，取得最小值，求出最小值为，得到答案. 【详解】点为正八边形的中心，，故， 取的中点，连接，则⊥，， 其中， 故，， 故， 其中，⊥， 当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点， 则，， 则 ， 由图象可知，此时为最大值， 当点在上运动时，， 显然当与重合时，取得最小值， 最小值为， 所以的范围是 故选：D 6. 锐角中的角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再由和差角公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 即， 即， 所以， 所以，又， 所以，解得（负值已舍去），所以， 又为锐角，所以，则. 故选：C 7. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 8. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线可能垂直 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断A选项；解法一：建系，利用空间向量法可判断BCD选项；解法二：利用空间向量垂直的关系可判断BD选项；证明出平面，可判断C选项. 【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形， 且， 点分别为棱的中点，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 四点不共面，直线与始终异面，故A正确； 法一：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， 对于B，，， 若，则，，， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，，， 若，则，，， 故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，，， 若，则，，或， 故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确； 法二：对于B，设， 则，， 若直线与直线垂直，则，， ，，解得， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，连接、， 如图3，，为的中点，， 平面，平面，， ，、平面，平面， 又平面，， 当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，， ， ，解得或， 故当在点的位置或为中点时，，故D正确. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ） A. B. ， C. 函数在定义域内是减函数 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值法求出的值，再结合题意进行检验，可判断A选项；直接代入验证可判断B选项；利用反比例型函数的单调性可判断C选项；利用指数函数的值域以及不等式的性质可求出函数的值域，可判断D选项. 【详解】对于A，令，，故点在函数的图象上， 由的图象关于直线对称，则也在函数的图象上，故，得，故， 由可得，故函数的图象关于对称，A正确； 对于B，函数中，，，B正确； 对于C，函数在、上单调递减，在定义域上不单调，C错误； 对于D，， 因为，则，可得，故，D正确， 故选：ABD． 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】AB 【解析】 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：AB． 11. 已知数列满足，，前项和为，则下列选项中正确的是(参考数据:) （ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 是单调递增数列 【答案】AC 【解析】 【分析】令，有，，由，可得，由此可判断A；由，得，由此可判断B；令，则有与异号，与同号，继而得，，再得，得出，，由此可判断C、D. 【详解】对于A：因为，令， 即，则， 又，所以，又在上单调递减， 所以，，， 所以，故A正确； 对于B：因为，，故B不正确； 对于C、D：因为，， 令，所以与异号，与同号， 又，所以，，即，， 又， 所以， 所以，， 所以是单调递增数列，是单调递减数列， 所以是单调递增数列，是单调递减数列，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项求出展开式中的系数，即为的值. 【详解】的展开式通项是为， 依题意得，，即，所以． 故答案为：. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 14. 设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】首先判断直线与抛物线无交点，过点作轴交于点，过点作交于点，即可得到，再设，，求出的最小值，即可得解. 【详解】由，消去整理得，则， 所以直线与抛物线无交点， 如图过点作轴交于点，过点作交于点， 则（当、重合时取等号）， 设，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）法一：取的中点，连接， 在三棱柱，且，四边形为平行四边形， 且， 分别为的中点， 且，且，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，平面． 法二：证明：如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：取的中点，连接，证明出四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； 证法二：取中点，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，， 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， ，则，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，可得，不妨取，则， 令平面的一个法向量为， 则，不妨取，则， ， 令二面角的平面角为， 则． 因此，二面角的正弦值为. 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）在中，利用正弦定理求出的大小，进而可求得的大小，然后中，利用正弦定理可求出的长，进而可得出的长，然后利用角平分线定理可求得的值. 【小问1详解】 由， 故， 所以，所以， 由余弦定理， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且， 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以． 17. 已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点. (i)求证:直线和的斜率之积为定值; (ii)当最大时，求直线方程. 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律得到，从而得到，再由离心率，即可求出、，从而得解； （2）(i) 设，表示出和的斜率，即可得证；(ii) 由（ⅰ）知，设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，则，再由两角差的正切公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，， 则 （当且仅当为短轴顶点时取等号）， 又的最小值为， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，则，， 则． 又因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）知，设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 18. 信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. （1）记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； （2）一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意求得，，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，求其最大孩子，可得出、的大小关系，即可得出结论； （2）记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，根据全概率公式可得出，利用构造法求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可得出结论. 【小问1详解】 由题意：， 设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为， 则， 设，，， 由得，此时函数单调递减， 由得，此时函数单调递增， 故，则． 当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大． 【小问2详解】 记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为， 由全概率公式得，，即， 所以， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． 此时， 当增加时，单减，且， 由（1）知，当时，函数单调递减， 故当增加时，增加． 19. 已知函数. （1）当，，时，求证:; （2）当时，若有三个零点. (i)求实数的取值范围; (ii)若，求证:. 【答案】（1）证明见解析 （2）(i) ； (ii)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得证； （2）(i) 依题意可得在恰有一个零点，且，，只需分析在的零点问题，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理说明即可；(ii)依题意可得，且，则关于的方程有两根，由于，知，根据及韦达定理计算可得. 【小问1详解】 当，时，， 则 ， （或者 ）； 所以在上为增函数， 所以当时，即当时，，得证． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，由于，， 所以在恰有一个零点，且，． 以下只研究当时的零点问题， 由， 当时，所以在上单调递增， 则，所以在不存在零点，不符合题意； 当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，则，所以在不存在零点，不符合题意； 当时，令，令，则可化为， 显然，则方程有两个不相等实数根、且，， 不妨设，则，则， 所以方程在上有两个不相等实数根，， 不妨设，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，即，又当时， 所以在上存在唯一一个零点，符合题意； 综上可得． （ⅱ）由（1）知当时，，即； 当时，，即． 所以，据题意， 所以，即， 所以，同理对也有． 关于的方程有两根，由于，知， 且， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $