专题03 正弦函数和余弦函数的概念及其性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题03 正弦函数和余弦函数的概念及其性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 利用定义求某角的三角函数值 题型二 由终边或终边上的点求三角函数值 题型三 由三角函数值求终边上的点或参数 题型四 由单位圆求三角函数值 题型五 三角函数定义的其他应用 题型六 特殊角的三角函数值 题型七 各象限角三角函数值的符号 题型八 三角函数线 题型九 已知三角函数值求角 题型十 诱导公式一 题型十一 诱导公式二、三、四 题型十二 诱导公式五、六 题型十三 三角函数的化简、求值--诱导公式 知识点1 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 知识点二 诱导公式 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2) (n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 【经典例题一 利用定义求某角的三角函数值】 【例1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）任意角的三角函数的定义： 条件 如图，设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆交于点 定义 正弦 点P的 叫做的正弦函数，记作，即 余弦 点P的 叫做的余弦函数，记作，即 ． 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角函数 正弦函数，； 余弦函数，； 正切函数，， 3．（24-25高一上·上海·课后作业）分别求出图中A、B的正弦值、余弦值和正切值. (1)   (2)   【经典例题二 由终边或终边上的点求三角函数值】 【例2】（2023·四川资阳·模拟预测）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边经过点，则 . 3．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（1）已知角的终边经过，且，求三角函数的值； （2）计算：． 【经典例题三 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 1．（24-25高一上·江苏·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 【经典例题四 由单位圆求三角函数值】 【例4】（2023高一·全国·专题练习）请你借助画图和计算来判断的取值范围（为锐角）（　　） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为 . 3．（22-23高一下·全国·课后作业）求与的值. 【经典例题五 三角函数定义的其他应用】 【例5】（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2023·山西晋中·三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 3．（22-23高一·全国·课后作业）在锐角中，、对边分别为、，求证：． 【经典例题六 特殊角的三角函数值】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25高一上·上海·课后作业）方程的解集是 . 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）. 【经典例题七 各象限角三角函数值的符号】 【例7】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 1．（2024高三·全国·专题练习）坐标平面内点的坐标为，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·江苏常州·期中）已知角，则的值为 ． 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【经典例题八 三角函数线】 【例8】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）三角函数线 （1）正弦线与余弦线 如图所示，如果过角终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为，则称为角的 .类似地，称为角的 . （2）正切线 如图所示，设角的终边或终边的反向延长线与直线交于点，则可以直观地表示，因此称为角的 . 3．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 【经典例题九 已知三角函数值求角】 【例9】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在区间内的解是 . 3．（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【经典例题十 诱导公式一】 【例10】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求和的值． 【经典例题十一 诱导公式二、三、四】 【例11】（24-25高一上·天津河北·期末）化简的值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川绵阳·期末） . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【经典例题十二 诱导公式五、六】 【例12】（2023高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）求解下列各式的值 (1)已知，求的值. (2)已知，求的值. 【经典例题十三 三角函数的化简、求值--诱导公式】 【例13】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津和平·期末） ． 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）计算（   ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 7．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，存在实数，，使得对任意，，则取最小值时，的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 9．（24-25高一上·天津河东·期末） ． 10．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）若，则 . 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切、余切值. 12．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）若角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值以及正切值. 13．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 15．（24-25高三上·天津·阶段练习）（1）求值：. （2）化简：已知，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正弦函数和余弦函数的概念及其性质重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 利用定义求某角的三角函数值 题型二 由终边或终边上的点求三角函数值 题型三 由三角函数值求终边上的点或参数 题型四 由单位圆求三角函数值 题型五 三角函数定义的其他应用 题型六 特殊角的三角函数值 题型七 各象限角三角函数值的符号 题型八 三角函数线 题型九 已知三角函数值求角 题型十 诱导公式一 题型十一 诱导公式二、三、四 题型十二 诱导公式五、六 题型十三 三角函数的化简、求值--诱导公式 知识点1 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 知识点二 诱导公式 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2) (n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 【经典例题一 利用定义求某角的三角函数值】 【例1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义计算可得结果. 【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为可得. 故选：C. 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 【答案】A 【分析】直接由三角函数的定义以及实际意义即可得解. 【详解】根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义，点A竖立墙面的距离是“常数”； 对于A，的值越大，越大，梯子越陡，正确； 对于B，的值越大，越小，梯子越缓，错误； 对于C，的值越小，越小，梯子越缓，错误； 对于D，根据的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，错误． 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）任意角的三角函数的定义： 条件 如图，设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆交于点 定义 正弦 点P的 叫做的正弦函数，记作，即 余弦 点P的 叫做的余弦函数，记作，即 ． 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角函数 正弦函数，； 余弦函数，； 正切函数，， 【答案】 纵坐标y 横坐标x 【分析】略 【详解】略 【点睛】 3．（24-25高一上·上海·课后作业）分别求出图中A、B的正弦值、余弦值和正切值. (1)   (2)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由勾股定理以及锐角三角函数定义即可求解； （2）由勾股定理以及锐角三角函数定义即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，，； ，，. （2）∵，，， ∴， ∴，，； ，，. 【经典例题二 由终边或终边上的点求三角函数值】 【例2】（2023·四川资阳·模拟预测）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按三角函数的定义计算即可. 【详解】依题意，，且， 解得，则， 故选：C. 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求得答案. 【详解】由角的终边过点，得. 故选：C 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 【分析】由终边上的点和三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以由三角函数的定义可得， 故答案为：. 3．（24-25高一上·江苏淮安·期中）（1）已知角的终边经过，且，求三角函数的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求得，然后求得. （2）根据对数、指数运算来求得正确答案. 【详解】（1），解得（负根舍去），则. 所以. （2） . 【经典例题三 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 1．（24-25高一上·江苏·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由三角函数定义直接计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点， 所以，所以， 解得. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点是角终边上一点，且，求y的值. 【答案】. 【分析】根据终边上一点结合任意角余弦值求参即可. 【详解】由题意得， 所以， 所以. 【经典例题四 由单位圆求三角函数值】 【例4】（2023高一·全国·专题练习）请你借助画图和计算来判断的取值范围（为锐角）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设角的终边为，作轴，可知，通过边界值可确定结果. 【详解】如图，在单位圆中角的终边为，设与单位圆的交点为， 过作轴，垂足点为，则为有向线段的值， 为锐角，方向始终指向轴正半轴，， 当时，与重合，， 当时，与重合，， 当为锐角时，. 故选：A. 1．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果. 【详解】由三角函数的定义可得. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 3．（22-23高一下·全国·课后作业）求与的值. 【答案】， 【分析】利用三角函数的定义，结合单位圆求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角, 角终边与单位圆的交点坐标为， 所以， 【经典例题五 三角函数定义的其他应用】 【例5】（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】在中，由，得为锐角，为锐角， 当为锐角时，，即，则， 当为钝角时，，即，则， 因此命题“若，则”是假命题； 当时，，有，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 1．（2023·山西晋中·三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的定义结合，即可判断. 【详解】设，则. 因为，所以，所以同号，且，则ABD错误. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为 . 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的正弦值的定义可求解. 【详解】在中，斜边的长为m，， 所以，所以.    故答案为：. 3．（22-23高一·全国·课后作业）在锐角中，、对边分别为、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，垂足为点，利用锐角三角函数可得出，，利用等式的性质可证得结论成立. 【详解】证明：过点作，垂足为点，如下图所示： 由锐角三角函数的定义可得，则，同理可得， 所以，，因此，. 【经典例题六 特殊角的三角函数值】 【例6】（23-24高一上·江苏南通·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】C 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由得不到， 如，，满足，但是，故充分性不成立； 由也得不到， 如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：C 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】∵，∴. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）方程的解集是 . 【答案】 【分析】首先方程化简求，再求得到取值集合. 【详解】由方程，得， 得，所以，, 所以取值集合为. 故答案为： 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】(1) ；(2). 【分析】(1)根据特殊角的三角函数，求出每一个三角函数值，再化简求值即可； (2)根据特殊角的三角函数，求出每一个三角函数值，再化简求值即可. 【详解】(1) (2) . 【经典例题七 各象限角三角函数值的符号】 【例7】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 1．（2024高三·全国·专题练习）坐标平面内点的坐标为，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限． 【详解】，，，则点位于第二象限. 故选：B. 2．（22-23高一下·江苏常州·期中）已知角，则的值为 ． 【答案】 【分析】判断角所在象限，确定，从而脱掉绝对值符号，求得答案. 【详解】由题意得：， 故角是第三象限角，则， 故， 故答案为： 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【分析】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 【经典例题八 三角函数线】 【例8】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（　　） A．（，） B．（，]∪（，] C．（，） D．（，） 【答案】A 【分析】 由题意可得，讨论当时，当时，当时，运用同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象，即可得到所求范围． 【详解】 解：由， 可得， 再由，可得， 当时，显然成立； 当时，由，即，可得； 当时，，即有， 则，解得， 综上可得． 故选：A． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）三角函数线 （1）正弦线与余弦线 如图所示，如果过角终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为，则称为角的 .类似地，称为角的 . （2）正切线 如图所示，设角的终边或终边的反向延长线与直线交于点，则可以直观地表示，因此称为角的 . 【答案】 余弦线 正弦线 正切线 【分析】略 【详解】略 3．（2023高一上·江苏·专题练习）已知点在第一象限，在内，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据三角函数符号，结合三角函数线分析可得. 【详解】由题意知，即， 由，可得或， 又，如图，由三角函数线可知，，    综上，或. 即的取值范围为. 【经典例题九 已知三角函数值求角】 【例9】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知且，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据特殊角的函数值和求出的值. 【详解】，故为第三象限角或第四象限角， 又，故或. 故选：C. 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊余弦值的通式表示，结合必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】可得,故充分性不成立， 当可得，故必要性成立 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在区间内的解是 . 【答案】或 【分析】令得，根据的取值可得答案. 【详解】，得， 所以，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在区间内的解是或. 故答案为：或. 3．（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角： (1)已知； (2)已知； (3)已知. 【答案】(1)，. (2)，. (3)，. 【分析】（1）由题意结合特殊解和正弦函数周期性即可得解. （2）由题意结合特殊解和余弦函数周期性即可得解. （3）由题意结合特殊解和正切函数周期性即可得解. 【详解】（1），原式等价于求解，从而其解为，. （2），原式等价于求解， 从而其解为，. （3），原式等价于求解，从而其解为，. 【经典例题十 诱导公式一】 【例10】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值得解. 【详解】， 故选：C 1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】 故选：B. 2．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式直接求解. 【详解】. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）分别求和的值． 【答案】 【分析】分奇数和偶数讨论即可. 【详解】因为角的终边在轴上，所以 当为偶数，即时， 当为奇数，即时， 综上所示. 【经典例题十一 诱导公式二、三、四】 【例11】（24-25高一上·天津河北·期末）化简的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：B. 1．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式将转化为锐角，然后再计算出结果. 【详解】. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川绵阳·期末） . 【答案】 【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，即可化简. 【详解】（1） ； （2） . 【经典例题十二 诱导公式五、六】 【例12】（2023高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果. 【详解】由，得. 故选：D 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求值. 【详解】由，得. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）求解下列各式的值 (1)已知，求的值. (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角函数诱导公式化简从而求解. 【详解】（1）由，所以 （2）由，所以 【经典例题十三 三角函数的化简、求值--诱导公式】 【例13】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】. 故选：C. 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故选：A. 2．（24-25高一上·天津和平·期末） ． 【答案】 【分析】应用诱导公式可得，即可得求值. 【详解】由. 故答案为： 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求得结果. （2）用诱导公式化简完将（1）的结果代入即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值. 【详解】根据三角函数定义得，故， 则． 故选：A 2．（22-23高一上·吉林长春·期末）点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得为终边的一个角为， 设， 根据三角函数的定义可得，，则，， 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作出的正弦线、余弦线，即可判断. 【详解】因为，作出的正弦线，余弦线， 所以，，所以，即． 故选：B 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式化简求解. 【详解】. 故选：D. 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式一一判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 6．（24-25高一上·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出和，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 7．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，存在实数，，使得对任意，，则取最小值时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出单位圆，作，分析可知以及，求出的最小值，可得出，即可求得的取值范围. 【详解】如下图的单位圆，作， 由题意可知的终边要落在图中阴影部分区域， 所以，， 因为对任意的恒成立，所以，， 不妨设，则， 又因为，则，故当时，取最小值， 因此只需，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）的值是 .（填“正数”“负数”或“零”） 【答案】负数 【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：负数. 9．（24-25高一上·天津河东·期末） ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】 故答案为：. 10．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）若，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简得解. 【详解】由，得. 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切、余切值. 【答案】，，， 【分析】在角的终边上取点P，使的长为1，利用定义求三角函数的值. 【详解】解：设角的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过P点作x轴的垂线，其垂足为M.    在中，，由此可得 ，，所以，， 于是，，，. 12．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）若角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值以及正切值. 【答案】. 【分析】利用三角函数的定义可求得结果. 【详解】由三角函数的定义可得，， . 13．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知. (1)当时，求x的值； (2)当时，求x的值； (3)当时，求x的取值集合. 【答案】(1). (2)或. (3)或 【分析】根据特殊角的三角函数值，根据不同的定义域，得到不同的自变量. 【详解】（1），，所以； （2），，所以或； （3），，得或， 所以取值集合为或. 15．（24-25高三上·天津·阶段练习）（1）求值：. （2）化简：已知，求. 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）运用对数运算性质计算即可；（2）运用诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）原式. （2）解析：由，得， 即，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$