专题15 综合实践-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题15 综合实践（26题） 课标要求 考点 考向 1.会在真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标等内容，探索数学关系、性质与规律； 2.会用数学的思维方法，综合地、有逻辑地分析问题，经历建立模型、计算反思、解决问题的过程； 3.会用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，会用数学方法分析和解决问题。 圆的综合实践 考向一 辅助圆 考向二 最短距离 考向三 等积变形 四边形的综合实践 转化思想与面积变形 利用二次函数求面积最值 数学方法点拨1. 找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 四等分面积 适合图形：正方形、圆 过其对称中心的任意互相垂直的两条直线，可将面积和周长分成相等的四部分 ①确定对称中心； ②过对称中心作互相垂直的两条直线 过点M将正方形ABCD的面积分成相等的四部分：①连接MO作直线m ②过对称中心O作m的垂线n *四等分平行四边形的面积图例 EF、GH四等均分平行四边形的面积满足条件AE:DH=AD:CD （也适用于矩形） 原理：两个三角形的底之比为高之比的倒数→面积相等 EF、GH四等均分菱形的面积满足条件：AE=DH（BE=AH） 原理：①对称中心点O到四条边的距离相等 ②等底等高的两个三角形的面积相等 考点一 圆的综合实践 数学方法点拨2. 辅助圆（动点轨迹为圆的作图方法） 类型 条件和结论 图例 定点定长定圆 出现“定点、定长” 原理——圆的定义： 动点到定点(圆)）距离等于定长(半径) ①作辅助圆；②分析动点的运动轨迹：圆或圆中的一段弧； ③一般会结合点圆求最值. 翻折、对称、旋转变换中： 求FB’的最值 定角定边定圆 条件：C为动点，∠C为定角，AB为定边 结论：点C在的外接圆上 当CA=CB时，点C到AB距离最大， 此时，的面积最大。 ∠AOB=2∠ACB ∠AOB=2(180°-∠AOB) 定角定高不定圆 条件:D为动点，E，F为直线AB上的动点，∠EDF为定角，DC⊥EF，DC为定高 结论：点D在的外接圆上 当圆心在DC上，弦长EF取最小值， 此时△DEF面积、周长最小 → 此时DE＝DF，即△DEF为等腰三角形， 四点共圆 适用条件：出现两个三角形共用一条边且边所对的两个角相等或出现四边形对角互补 90°圆周角所对弦为直径： 共用边为直径   C、D为动点，A，B，C，D四点共圆，圆心是AB的中点 等圆周角所对的弦相等： ∠ACB＝∠ADB， C、D为动点， A，B，C，D四点共圆 圆内接四边形对角互补，或一个外角等于内对角 C、A为动点， A，B，C，D四点共圆 ►考向一 辅助圆 考查角度：定角定边作辅助圆+面积等分问题 1．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） ►考向二 最短距离 2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    解题技巧： ·定点与圆上动点的距离最值问题 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明： 解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 ·根据垂线段最短求圆上一点到圆外直线的距离最值 →最大：PH+r，最小：PH-r ►考向三 等积变形 3．（2020·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 考点二 四边形的综合实践 4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 考点三 利用二次函数求面积最值 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 7．【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接． ①的长度 ； ②计算的长度． 【问题解决】 （2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计） 4．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 5．（2025·陕西榆林·一模）问题提出 （1）如图，已知，请作出一条过点的直线，使其平分的面积．（保留作图痕迹，不写作法） 问题探究 （2）如图，为的弦，点是上一动点，连接，．已知，，求面积的最大值． 问题解决 （3）如图，某区管委会现计划在一片足够大的空地上规划一个形状不规则的四边形公园，供市民休闲娱乐，其中，，．根据实际情况，需四边形公园的面积尽可能大，且计划过点修建一条笔直的小路，把四边形公园分成面积相等的两部分，是否存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路？若存在，请求出四边形公园面积的最大值及小路的长；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 6．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．若是的中点，连接，交于点，求线段的长； （2）某市规划一块四边形的休闲旅游观光区，如图所示，，米，点，是观光区预计规划的两个车库出入口，具体位置满足，已知，点，分别是，上的一点，为了方便游客，需建，，三条人行走道，已知走道造价每米元，请求出走道的最低造价为多少元？ 7．（2025·陕西西安·一模）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，点是的内心，则点到边的距离为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，，平分．求的长度； 【问题解决】 （3）如图③，五边形为某公园的平面图，市政府计划在四边形的外部修建一个三角形广场即，，在的内心处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水．已知，，，．求处到边的最大距离． 8．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】（1）如图1，在中，，，，将绕点O逆时针旋转一定角度，得到（点A与点C对应），则线段的长为__________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，连接，点P为矩形内一点，连接、，，，且，于点H，求线段的长； 【问题解决】（3）如图3，菱形是某小区地下车库的局部平面示意图，对角线是一条出入口通道，米，，在点D处有一个旋转摄像头，其照射的最大角度为，当摄像头旋转到某一位置时，照射区域的边界线、分别交于点P、Q（，点M、N分别在边、上，），若此时的长恰好为40米，求此时的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 综合实践（26题） 课标要求 考点 考向 1.会在真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标等内容，探索数学关系、性质与规律； 2.会用数学的思维方法，综合地、有逻辑地分析问题，经历建立模型、计算反思、解决问题的过程； 3.会用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，会用数学方法分析和解决问题。 圆的综合实践 考向一 辅助圆 考向二 最短距离 考向三 等积变形 四边形的综合实践 转化思想与面积变形 利用二次函数求面积最值 数学方法点拨1. 找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 四等分面积 适合图形：正方形、圆 过其对称中心的任意互相垂直的两条直线，可将面积和周长分成相等的四部分 ①确定对称中心； ②过对称中心作互相垂直的两条直线 过点M将正方形ABCD的面积分成相等的四部分：①连接MO作直线m ②过对称中心O作m的垂线n *四等分平行四边形的面积图例 EF、GH四等均分平行四边形的面积满足条件AE:DH=AD:CD （也适用于矩形） 原理：两个三角形的底之比为高之比的倒数→面积相等 EF、GH四等均分菱形的面积满足条件：AE=DH（BE=AH） 原理：①对称中心点O到四条边的距离相等 ②等底等高的两个三角形的面积相等 考点一 圆的综合实践 数学方法点拨2. 辅助圆（动点轨迹为圆的作图方法） 类型 条件和结论 图例 定点定长定圆 出现“定点、定长” 原理——圆的定义： 动点到定点(圆)）距离等于定长(半径) ①作辅助圆；②分析动点的运动轨迹：圆或圆中的一段弧； ③一般会结合点圆求最值. 翻折、对称、旋转变换中： 求FB’的最值 定角定边定圆 条件：C为动点，∠C为定角，AB为定边 结论：点C在的外接圆上 当CA=CB时，点C到AB距离最大， 此时，的面积最大。 ∠AOB=2∠ACB ∠AOB=2(180°-∠AOB) 定角定高不定圆 条件:D为动点，E，F为直线AB上的动点，∠EDF为定角，DC⊥EF，DC为定高 结论：点D在的外接圆上 当圆心在DC上，弦长EF取最小值， 此时△DEF面积、周长最小 → 此时DE＝DF，即△DEF为等腰三角形， 四点共圆 适用条件：出现两个三角形共用一条边且边所对的两个角相等或出现四边形对角互补 90°圆周角所对弦为直径： 共用边为直径   C、D为动点，A，B，C，D四点共圆，圆心是AB的中点 等圆周角所对的弦相等： ∠ACB＝∠ADB， C、D为动点， A，B，C，D四点共圆 圆内接四边形对角互补，或一个外角等于内对角 C、A为动点， A，B，C，D四点共圆 ►考向一 辅助圆 考查角度：定角定边作辅助圆+面积等分问题 1．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、圆周角定理 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． ►考向二 最短距离 2．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】 （1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案． 【详解】 解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解题技巧： ·定点与圆上动点的距离最值问题 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明： 解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 ·根据垂线段最短求圆上一点到圆外直线的距离最值 →最大：PH+r，最小：PH-r ►考向三 等积变形 3．（2020·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 【答案】（1）CF、DE、DF；（2）CF＝6﹣2；（3）① y＝﹣x2+35x+1225；② 576m2． 【知识点】其他问题(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果； （2）连接OP，由AB是半圆O的直径，，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4 ，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果； （3）① 同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝ PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35 ，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果； ② 当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B＝ ＝＝50，由S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，求PF，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形CEDF是矩形， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接OP，如图2所示： ∵AB是半圆O的直径，， ∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°， 同（1）得：四边形PECF是正方形， ∴PF＝CF， 在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8× ＝4 ， 在Rt△CFB中BF＝＝ ＝ ＝CF， ∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：4＝CF+CF， 解得：CF＝6﹣2； （3）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC， 同（1）得：四边形DEPF是正方形， ∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°， ∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示： 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x）， 在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35， ∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225， ∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝ ＝＝50， ∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P， ∴×50×PF＝×40×30， 解得：PF＝24， ∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2）， ∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2． 【点睛】本题是关于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键． 考点二 四边形的综合实践 4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)符合要求，理由见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可； （2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解； （3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，连接．       图2 ∵， ∴四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：符合要求． 由作法，知． ∵， ∴． 如图3，以为边，作正方形，连接．         图3 ∴． ∵l是的垂直平分线， ∴l是的垂直平分线． ∴． ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∴． ∴裁得的型部件符合要求． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难． 考点三 利用二次函数求面积最值 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为． 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、平行四边形性质和判定的应用、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可； （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可． 【详解】解：（1）在中，设边上的高为h． ∵，，∴ ∵，∴点到的距离为． ∴ ． （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则 ， ， ，． 由题意，易知， ∴ ． ∴当时，． ，． ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为， 这时，点N到点A的距离为． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键． 7．【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值．    在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3）是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，   ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解； （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度． 【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点． ∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．                     ∵点E是中点，， ．                     在中，由勾股定理得，即， ．                     由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值， ， 长的最小值为．                         （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．                     ，由对称可知，， ．                     由题意可得， ．                 在中，由勾股定理得：，即， ， ， 的最小值为．                     【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，的面积为6，，，于点D，分别作，关于的对称图形和，连接． ①的长度 ； ②计算的长度． 【问题解决】 （2）如图2是一块建设规划用地，规划设计者想在的一块绿地边上修建一个直径为的圆形水池（为圆直径），在点A与D处开两个大门，便于参观者行走，点D为边的中点．沿圆的周长铺设圆形的小路，并沿和再铺设两条笔直的小路，铺设小路的费用为每米1000元．已知，，，则铺设小路的最少费用多少元？（门与路的宽度不计） 【答案】（1）①3；② （2）元 【分析】对于（1）①，根据面积公式计算即可；②根据对称图形的性质得，进而得出，，然后作，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据中点得，作点A关于直线的对称点，可得，作，使，连接，当点F在与的交点处时，线段最短可知的长最短，即最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，然后作，交的延长线于点N，接下来根据中位线的性质和判定可求，进而得出，，最后根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：（1）①在中，的面积等于6，，， ∴， 解得． 所以的长度是3； 故答案为：3； ②∵，分别是，的关于的对称图形， ∴， ∴，． 过点A作于点M，如图所示， 则， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 则的长度为； （2），在中，， ∴． ∵点D为边的中点， ∴． 作点A关于直线的对称点，则上任意一点到点A与点的距离相等，即，过点作，使，连接，则点F在与的交点处时，，根据两点之间，线段最短可知的长最短，从而的长最短，最短长度为线段，此时，铺设小路的总长最小，费用最少，过点D作于点H，交的延长线于点N，如图所示， 则四边形是矩形， ∴，． 取的中点I，连接， ∴是的中位线， ∴， ∴点H和点I重合， ∴ ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴铺设小路的总长的最小值为， ∴铺设小路的最少费用为元． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小及轴对称的性质等，作出辅助线得出线段和最小是解题的关键． 4．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题； （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025·陕西榆林·一模）问题提出 （1）如图，已知，请作出一条过点的直线，使其平分的面积．（保留作图痕迹，不写作法） 问题探究 （2）如图，为的弦，点是上一动点，连接，．已知，，求面积的最大值． 问题解决 （3）如图，某区管委会现计划在一片足够大的空地上规划一个形状不规则的四边形公园，供市民休闲娱乐，其中，，．根据实际情况，需四边形公园的面积尽可能大，且计划过点修建一条笔直的小路，把四边形公园分成面积相等的两部分，是否存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路？若存在，请求出四边形公园面积的最大值及小路的长；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）面积的最大值为；（3）存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路，四边形公园面积的最大值为，小路的长为． 【分析】（1）作出的垂直平分线交为于点D，则为中点，那么直线平分的面积； （2）连接，过点O作的垂线交于点，交于点M，设点C到的距离为，则，故当点C与点M重合时，最大且为，此时面积最大，由圆周角定理得，则，，那么，由即可求解； （3）连接，则，由于，故当面积最大时，四边形面积最大，作的外接圆，记为，连接，过点C作于点，过点O作交于F，交于，则，圆周角定理可得，解直角三角形可得，，，则，由于，故当点C与点F重合时，面积最大，则，故四边形面积的最大值为，当点C与F重合时如图，过点E作于点Q，可得为等边三角形，则，当平分四边形面积时，则，求出，再解直角三角形和运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作： （2）连接，过点O作的垂线交于点，交于点M， 设点C到的距离为，则， ∴当点C与点M重合时，最大且为，此时面积最大， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路，理由如下： 连接，则， ∵， ∴当面积最大时，四边形面积最大， 作的外接圆，记为，连接，过点C作于点，过点O作交于F，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点C与点F重合时，面积最大， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 当点C与F重合时如图，过点E作于点Q，    ∵，经过圆心， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当平分四边形面积时，则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，尺规作图，等边三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键在于转化思想的应用． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．若是的中点，连接，交于点，求线段的长； （2）某市规划一块四边形的休闲旅游观光区，如图所示，，米，点，是观光区预计规划的两个车库出入口，具体位置满足，已知，点，分别是，上的一点，为了方便游客，需建，，三条人行走道，已知走道造价每米元，请求出走道的最低造价为多少元？ 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）根据，得到，勾股定理求得，进而求得，证明，得出，即可求解； （2）作于，先求得，连接，交于，根据得出，进而求得，结合可得出点在以为直径的上运动，作 点关于的对称点，作关于的对称点，连接，连接，连接，可推出，，从而得出当、、、共线时，等号成立，，连接，交于，当点在处时，最小，进一步得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，作于， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， ∴， ∴， 如图2，连接，交于， ∵米， ∴米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∵， ∴点在以为直径的上运动， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，连接，连接， ∴， ∴， 当、、、共线时，等号成立，， 连接，交于，当点在处时，最小，作于， ∴米 ∴米， ∴米， ∴米， ∴的最小值为米， ∴走道的最低造价为：元． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 7．（2025·陕西西安·一模）【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，点是的内心，则点到边的距离为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，，平分．求的长度； 【问题解决】 （3）如图③，五边形为某公园的平面图，市政府计划在四边形的外部修建一个三角形广场即，，在的内心处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水．已知，，，．求处到边的最大距离． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）连接，，，过点作于点，作于点，作于点，利用内心的性质得出，利用勾股定理逆定理得出， 再利用，即可求出； （2）过点作延长线于点，过点作于点，于点，利用含角的直角三角形的性质求出，利用角平分线性质得出，，再利用求出，再利用含角的直角三角形的性质求出； （3）连接，，过点作于点，交于点，先利用角平分线和三角形内角和定理求出，再判定四边形是平行四边形，得出，再利用定角定弦模型构造的外接圆，即可得点的轨迹，则可得出到边的最大距离，再进行计算即可． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点作于点，作于点，作于点， ∵点是的内心， ∴点是三条角平分线的交点， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图，过点作延长线于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分．，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴，； （3）如图，连接，，过点作于点，交于点， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 过点作于点，如图， ∴四边形是矩形，， ∴，，， 利用“定角定弦，”，则构造的外接圆，如图，连接，， 取弦所对的优弧上任一点，连接，， ∴， ∴， 过点作于点，延长交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴点是固定点，为固定长， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径长的圆， 过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， 由图可知，且当在点时，取最大值， ∵， ∴当在点时，取最大值， ∴的最大值为， 即到边的最大距离为． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内心，含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 8．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】（1）如图1，在中，，，，将绕点O逆时针旋转一定角度，得到（点A与点C对应），则线段的长为__________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，连接，点P为矩形内一点，连接、，，，且，于点H，求线段的长； 【问题解决】（3）如图3，菱形是某小区地下车库的局部平面示意图，对角线是一条出入口通道，米，，在点D处有一个旋转摄像头，其照射的最大角度为，当摄像头旋转到某一位置时，照射区域的边界线、分别交于点P、Q（，点M、N分别在边、上，），若此时的长恰好为40米，求此时的长． 【答案】（1）；（2）8；（3） 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据旋转的性质得到的长度． （2）先求出的值，进而得到的值，然后在和中，利用三角函数关系和已知条件建立方程求解的长度． （3）作于，由，得，，解直角三角形得，从而求出菱形．当时，有两种情况：与点接近时，不符合题意，当时，将绕点顺时针旋转，得，连接，作于，证明， 设，则，进而得，，由勾股定理得方程，从而求解的长度． 【详解】解：（1）在中，， ，， 根据勾股定理得． 绕点逆时针旋转得到， 根据旋转的性质，旋转前后对应线段相等， 所以． 故答案为：； （2）在矩形中， ，， ， ． 设， ， 则． 在中，， ， 则． ． 在矩形中，， 在中， 根据勾股定理， 即． 展开并化简得：． 两边同乘9得：． 合并同类项得：， 两边同除以30得． 因式分解得， 解得或． 因为，即，，， 所以，即． （3）四边形是菱形，， ，，， 作于，如图： 在中，，， ，， ， 即． 当时，有两种情况： 此时，不合题意； 当时，如图所示： 将绕点顺时针旋转，得，连接，作于， 菱形中，， 与重合， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得，， ， ， 即． 【点睛】本题主要涉及勾股定理、三角函数的定义、等腰三角形的性质以及菱形的性质等数学概念和定理．解题时要充分利用图形，做到数形结合、分类讨论，熟知相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$