精品解析：江西省抚州市东乡区实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

东乡实验中学2025年春季3月考试卷 高二数学 考试时间：100分 满分：150分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出基本事件的总数，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数，由此即可求出. 【详解】含有3件次品的10件产品中，任取2件， 基本事件的总数， 恰好取到1件次品包含的基本事件个数， 恰好取到1件次品的概率. 故选:A. 2. 对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各图中点的分布，分析变量的相关关系即可. 【详解】A：各点分布没有明显相关性，不符； B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合； C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符； D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符. 故选：B 3. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用等比数列的通项公式求解. 【详解】因为， 所以， 则，解得， 所以. 故选：B 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】因为，，所以，，， 所以数列是以3为周期的周期数列，由，则． 故选：D. 5. 将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出随机变量的可能取值，再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率，利用期望的公式，即可求解. 【详解】字母放入的表格中的不同结果有种， 随机变量的可能的取值为， 可得， 则， 所以随机变量的期望为. 故选：B. 6. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 所以 故选：C 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X服从二项分布，，可判断D选项. 【详解】从5天内发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A错误； 若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，， ， 则，且， 可得，且， 所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确； 记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；  事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽； 根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率： ，故C正确； 由题意可知X服从二项分布，， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有______人.（参考数据：，，） 【答案】230 【解析】 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可. 【详解】，则， ， 身高超过180cm的男生的人数约为. 故答案为：230. 13. 已知数列满足．若为递减数列，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列为递减数列，列出不等式组，即可求解. 【详解】因数列为递减数列，则满足，即，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 在等比数列中，，，则______. 【答案】16 【解析】 【分析】利用等比数列中性质成等比数列得解 【详解】， 成等比数列 故答案为：16 【点睛】本题考查等比数列和的性质． 当或且为奇数时是等比数列，其公比为 四､解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明讨程或演算步骤. 15. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见详解；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立； （2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可． 【小问1详解】 依统计表可得列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 则， 故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联． 【小问2详解】 男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 故 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解； （2）结合（1）得到，再分和两种情况即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， . 又，所以. 18. 数列中，，，且， （1）证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）数列的前n项和为，且满足，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列； （2）由（1）利用累加法计算可得数列的通项公式； （3）由（2）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以数列是公差为8的等差数列，其首项为， 【小问2详解】 由（1）问知， 则，，…， ，， 所以， 所以；而符合该式， 故． 【小问3详解】 由（1）问知，，则， 又，则，两式相乘得，即， 因此与同号， 因为，所以当时，，此时， 当n为奇数时，， 当n为偶数时， ； 当时，，此时， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，； 综上，当时，；当时，. 19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）求粒子在第2秒末移动到点的概率； （2）求第6秒末粒子回到原点的概率； （3）设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解； （3）分析可知的可能取值为，，1，3，结合题意求分布列. 【小问1详解】 由题意得，粒子在第2秒末移动到点的概率. 【小问2详解】 粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑： ①两上两下一左一右，共有种情形； ②两左两右一上一下，共有种情形； ③三上三下，共有种情形； ④三左三右，共有种情形； 所以. 【小问3详解】 粒子向右或向上则X的取值加1，粒子向左或向下则X的取值减1， 可能取值为，，1，3，对应的概率分别为： ，，，， 所以X的分布列为： 1 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东乡实验中学2025年春季3月考试卷 高二数学 考试时间：100分 满分：150分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为( ) A. B. C. D. 2. 对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 将字母放入表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全不选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有______人.（参考数据：，，） 13. 已知数列满足．若为递减数列，则实数a的取值范围为______． 14. 在等比数列中，，，则______. 四､解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明讨程或演算步骤. 15. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 01 0.05 0.01 2.706 3841 6.635 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 18. 数列中，，，且， （1）证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）数列的前n项和为，且满足，，求． 19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）求粒子在第2秒末移动到点的概率； （2）求第6秒末粒子回到原点的概率； （3）设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$