精品解析：江苏省泰州市靖江市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学业质量监测九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别是，边上的高，连接，是的外接圆．若，，则的半径为（ ） A 1 B. C. 2 D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如果，那么______． 8. 已知半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是_____． 9. 在中，若，则是_______三角形． 10. 如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为_____． 11. 如图，、分别切于点、点，是上一点（不与、重合）．若，则______°． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 13. 如果小明沿着坡度为的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了______米． 14. 已知点，在抛物线上．若，则_____0．（用“”或“”连接） 15. 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是______． 16. 如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为_____． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 19. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得，，，且，．求该古城墙的高度． 20. 某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 21. 如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． （1）填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； （2）仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 22. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 23. 如图，在等边中，点是边上一个动点（不与，重合），点在上，且． （1）求证：； （2）若等边的边长为3，求的最小值． 24. 如图，是的外接圆，且，过点作，交于点，交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：是切线； （2）若，．求的半径． 25. 如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为． （1）图1中，当时，，分别交于点，． ①若正方形的边长为4，求的最小值； ②求证：； （2）将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 26. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于，两点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）设点，的横坐标分别为，，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； （3）若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末学业质量监测九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质，解题的关键是掌握判断方法，轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由，，可利用锐角三角函数求出AC边的长，再利用勾股定理，即可求出BC的长． 【详解】解：如图， 在中，， ， ， 在中，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形以及勾股定理． 3. 我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为， 由题意得， 故选：． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，，分别是，边上的高，连接，是的外接圆．若，，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，连接、，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 又∵，， ∴，即的半径为2． 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8. 已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是_____． 【答案】点在内 【解析】 【分析】本题考查的是点圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外则；点P在圆上则；点P在圆内则．直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴点在内． 故答案为：点在内． 9. 在中，若，则是_______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 10. 如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形中对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．两个相似三角形对应角平分线之比等于相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可假设未知数，列出方程，求得结果． 【详解】解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为，设较大三角形的面积为，则： ， 解得：， ∴另一个三角形的面积为， 故答案为：． 11. 如图，、分别切于点、点，是上一点（不与、重合）．若，则______°． 【答案】或##115或65 【解析】 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，连接、，根据切线的性质，得出，再根据四边形的内角和，得出，再根据圆周角定理，得出的度数；当点在点处时，根据圆内接四边形的对角互补，得出的度数，然后综合即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，当点在优弧上时， ∵、分别切于点、点， ∴，， ∴， 又∵， 在四边形中， ∴， ∴， 当点在点处时， ∵， 在四边形中， ， 综上可得：或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补，解本题的关键在分类讨论，并熟练掌握相关的性质定理． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 13. 如果小明沿着坡度为的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了______米． 【答案】 【解析】 【分析】设高度上升了h米，则水平前进了米，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设高度上升了h米，则水平前进了米， 由勾股定理得： ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键． 14. 已知点，在抛物线上．若，则_____0．（用“”或“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，求出抛物线的对称轴，根据函数值的大小关系确定开口方向，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴； 故答案为：． 15. 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，令，则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是， 故答案为：7． 16. 如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于点M，于点N，过点B作于点T，则，由面积法证明，同理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点M，于点N，过点B作于点T， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证明：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，利用因式分解法解一元二次方程． （1）根据零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值解答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ，． 18. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， ∴， ∴原方程为， ， ∵， ∴方程的另一个根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得，，，且，．求该古城墙的高度． 【答案】古城墙的高度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 由题意，得：， ， ， ， ； 答：古城墙的高度为． 20. 某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 【答案】该商店销售了这种商品100或200件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设该商品售价增加了元，根据“售价每增加1元时，销售量将减少10件”列方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价增加了元， 列方程得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：该商店销售了这种商品100或200件． 21. 如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． （1）填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； （2）仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， 【小问2详解】 解：依题意，中点如图所示． 22. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，，点在点的正北方向，点，在点的正北方向．．点在点的北偏东，点在点的北偏东．求步道的长．（精确到，参考数据：） 【答案】步道的长度为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作，垂足为，结合题意可得：，，求解，，再进一步解答即可. 【详解】解：作，垂足为，结合题意可得： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：步道的长度为. 23. 如图，在等边中，点是边上一个动点（不与，重合），点在上，且． （1）求证：； （2）若等边的边长为3，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）取得最小值 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）由是等边三角形，证明，由，，，可证明，进而证明． （2）设，则，由，可得，即，根据二次函数的图象和性质，可得取得最大值，进而求得得最小值． 【小问1详解】 证明：等边是等边三角形， ， ，，， ， ． 【小问2详解】 解：设，则， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时取得最小值为∶． 24. 如图，是的外接圆，且，过点作，交于点，交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为2 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角的推论可得为直径，根据垂直平分线的性质和等边对等角可得出，，然后结合圆周角定理可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，得出，设，，在中，根据勾股定理求出x，进而求出，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：连接 为直径 ， 即 是的切线； 【小问2详解】 ， 设， ， 解得：（舍）， ， ， ， 的半径为2 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及其推论，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 25. 如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为． （1）在图1中，当时，，分别交于点，． ①若正方形的边长为4，求的最小值； ②求证：； （2）将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】（1）①最小值为8；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①首先证明出得到，然后得出当时，即和重合时，取得最小值，即的长度，勾股定理求出，进而求解即可； ②由①得，然后证明出，得到，求出，进而求解即可； （2）设，则，表示出，然后分两种情况：当点在上方时和当点在下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 ①， ∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度 ∵正方形的边长为4 ∴ ∴ ∴ 最小值； ②由①得 同理可得： ． 【小问2详解】 设，则 垂直平分， 作于点 ①当点在上方时，如右图 ， ， 中 ； ②当点在下方时，如右图 同理： 综上或． 【点睛】此题考查了正方形性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，且与抛物线交于，两点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）设点，的横坐标分别为，，试判断的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说明理由； （3）若直线在直线上方运动，交点在点的左侧．作直线与交于点，如图2所示．在直线运动的过程中，试说明：点的横坐标是一个定值． 【答案】（1）， （2）不变，3 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）两点式求出二次函数解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据两直线平行值相等，设出解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； （3）设出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的横坐标，进而得到两条直线的值的数量关系，联立两条直线的解析式求出点的横坐标，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴； 当时，则：， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； 【小问2详解】 不会改变： ∵直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴令，整理，得：， 则：是方程的两个实数根， ∴，为定值； 【小问3详解】 设直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，则：， 解得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，则：， 解得：， ∴，即：点的横坐标是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $