精品解析：山西省大同市第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

大同二中2024-2025学年第二学期八年级学情监测（一） 数学试卷 一、单选题（每小题3分，3*10=30分） 1. 要使代数式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0列出不等式并求解即可．掌握二次根式定义和分母不能为零是解题关键． 【详解】解：由题意得：且，即， 故选：． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】A．2，此选项错误； B．是最简二次根式，此选项正确； C．2，此选项错误； D．，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 3. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 4. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. 2a=b＋c B. a：b：c=1：：2 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. 2∠A=∠B＋∠C 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、B的正误． 【详解】解：A、∵2a=b＋c，不能判定△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∵，能判定△ABC为直角三角形，符合题意； C、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°， 3x＋4x＋5x=180， 解得：x=15， 则5x°=75°， ∴△ABC不是直角三角形，不符合题意； D、∵2∠A=∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°， ∴∠A=60°， ∴△ABC不是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类二次根式，化简二次根式，把对应选项中的二次根式化为最简二次根式，被开方数是的二次根式才能与合并，据此求解即可． 【详解】解：A、与不能合并，不符合题意； B、与不能合并，不符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、与能合并，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算及性质可进行求解 【详解】与不是同类二次根式，无法合并，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D错误， 故选C． 7. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数． 【详解】解：由题意可得， AB=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AC=， ∴AD=， ∴点D表示数为：-1， 故选B. 【点睛】本题考查实数与数轴和勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设芦苇长为x尺，则水深为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为尺， 由题意得：， 故选：D． 10. 如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（ ）． A. 8 B. 11 C. 10 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴10为最短路径． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，3*5=15分） 11. 若实数x、y满足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，根据被开方数大于等于0得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而求出y的值，再求出z的值即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在实数范围内因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．掌握利用平方差公式进行因式分解是解题关键． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 14. 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 15. 一副三角板如图放置，点在的延长线上，，，，．若，_____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作于点，先求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，再根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）． （2）； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，二次根式的化简求值： （1）先化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先利用乘法公式去括号，再计算加减法即可得到答案； （3）先求出的值，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 17. 如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个面积是17的正方形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 如图所示，四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）利用勾股定理和网格的特点画出对应边长的三角形即可； （2）正方形面积为17，则边长为，根据一线三垂直模型可利用两直角分别为1和4的四个直角三角形得到正方形的四条边，据此作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：可利用全等三角形的性质和判定定理证明， 则四边形是正方形且边长为，则面积为． 18. 学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． （1）设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）； （2）米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）根据题意可得，，将代入即可得解； （2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 设长为x米，则绳子长为米，的长度为米， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：在中，米， 米，米， 由勾股定理可得，， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 19. 由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】（1） （2）4800（元）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵，、， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 解：在该空地上种植草皮共需（元）． 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能截出 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． 【小问3详解】 解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 21. 阅读与思考 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下． 公元前330年——公元前275年，欧几里得证法：如图，在的外侧，以各边为边长分别作正方形，，，已知的直角边长分别为，斜边长为． （1）求证：； （2）在（1）的结论下，请将下面的过程补充完整． 解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ， 正方形与同底等高，长方形与同底等高， ，_____； _____． 同理可得，_____； _____； _____； _____． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2），，，，， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据正方形、长方形与三角形的面积公式可得，，从而可得，同理可得，从而可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与探究 材料：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形），它具有如下性质： （1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对边平行且相等． 符号语言： 矩形， ， ， 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为． 数学思考： （1）如图2当点落在对角线上时，求线段的长． （2）如图3，当时，请直接写出线段的长． （3）在点运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定： （1）先根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再由折叠的性质推出，则，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）在上取一点H使得，连接，可证明是等腰直角三角形，则可得到，，进而得到，据此可得答案； （3）分当点F在上和当点F在延长线上，两种情况通过证明得到，利用勾股定理求出的长，进而求出求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，在上取一点H使得，连接， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点F在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如图所示，当点F在延长上时， 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同二中2024-2025学年第二学期八年级学情监测（一） 数学试卷 一、单选题（每小题3分，3*10=30分） 1. 要使代数式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 4. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. 2a=b＋c B. a：b：c=1：：2 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. 2∠A=∠B＋∠C 5. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（ ）． A. 8 B. 11 C. 10 D. 24 二、填空题（每小题3分，3*5=15分） 11. 若实数x、y满足，，则的值为_____． 12. 在实数范围内因式分解： ________． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 14. 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是_______． 15. 一副三角板如图放置，点在的延长线上，，，，．若，_____．（结果保留根号） 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）． （2）； （3）已知，，求的值． 17. 如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个面积是17的正方形． 18. 学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． （1）设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； （2）请你求出旗杆的高度． 19. 由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 20. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 21. 阅读与思考 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下． 公元前330年——公元前275年，欧几里得证法：如图，在的外侧，以各边为边长分别作正方形，，，已知的直角边长分别为，斜边长为． （1）求证：； （2）在（1）的结论下，请将下面的过程补充完整． 解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ， 正方形与同底等高，长方形与同底等高， ，_____； _____． 同理可得，_____； _____； _____； _____． 22. 综合与探究 材料：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形），它具有如下性质： （1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对边平行且相等． 符号语言： 矩形， ， ， 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为． 数学思考： （1）如图2当点落在对角线上时，求线段的长． （2）如图3，当时，请直接写出线段的长． （3）在点运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $