精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试题

丰城九中2024-2025学年下学期高二第一次段考数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出. 【详解】数列的前项和，则. 故选：A 2. 已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，，为正项等比数列， 所以，解得. 故选：B． 3. 用数学归纳法证明的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数特点可得，则增加的项为，由此可得结果. 【详解】 不等式左侧增加的项为 故选： 【点睛】本题考查数学归纳法的相关问题的求解，关键是明确不等式左侧函数的变化规律，属于基础题. 4. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 5. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（ ） A. 24294 B. 24296 C. 24298 D. 24300 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 7. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案. 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】由，，又，所以， ，又，所以， 由得（）， 相减得，，， 所以，所以， 再相减得， 则，而， 所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以， ， 对任意，有恒成立，则恒成立， ， 即， 是奇数时，，，∴， 为偶数时，，，∴， 综上，．又是非零整数，所以． 故选：D． 【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，分，讨论，判断各选项. 【详解】因为数列为等差数列， 由，所以. 所以，故B正确； 当时，由，所以，，所以，故C正确； 当时，由，所以，，所以，即，故D错误； 当时，时，取最小值；当时，时，取最大值.故A错误. 故选：BC 10. 设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先由求出，根据各个选项的条件及等比等差数列的性质即可判断． 【详解】当时，； 当时，， 所以， 对于A，若，则， 故，则，故A选项正确； 对于B，若，则， 故，则，故B选项错误； 对于C，若为等差数列，则当时，是与无关的常数， 故只能有，即； 同时也是与无关的常数，且根据等差数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故， 所以，C选项正确； 对于D，若为等比数列，则当时，，这是一个与无关的常数； 同时也是与无关的常数，且根据等比数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故，得，故D选项正确， 故选：ACD． 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答. 【详解】等差数列，的前n项和分别为，， 所以. 故答案为： 13. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则______．（，，） 【答案】1472 【解析】 【分析】根据条件建立等量关系，构造新数列求通项即可. 【详解】由题意可得，所以， 即， 故. 故答案为：1472. 14. 已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，即可求得，从而可求得数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案. 【详解】由，，则，， 所以等比数列的公比为3，所以， 又因是等差数列的第项，所以， 所以，所以， 所以， 则， ， 两式相减得 所以. 故答案为： 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． （1）已知，，求及d； （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【小问1详解】 解得： 【小问2详解】 解得： 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 【答案】（1） 因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 17. 已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. （1）若数列满足，求数列的前n项和； （2）若数列满足，（），求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可知：，然后根据等差数列通项公式化为，再结合，建立方程组求解得到，由裂项相消求和即可； （2）由题可得，根据累乘法可求解数列的通项公式. 【小问1详解】 设数列的公差为d（）， 与的等比中项与与的等比中项相等，即：， 所以， 又知，解得：，， 所以， ， ， 所以； 【小问2详解】 ， 由累乘法可得：， 即， 故数列的通项公式：. 18. 数列中，，，且， （1）证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）数列的前n项和为，且满足，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列； （2）由（1）利用累加法计算可得数列的通项公式； （3）由（2）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以数列是公差为8的等差数列，其首项为， 【小问2详解】 由（1）问知， 则，，…， ，， 所以， 所以；而符合该式， 故． 【小问3详解】 由（1）问知，，则， 又，则，两式相乘得，即， 因此与同号， 因为，所以当时，，此时， 当n为奇数时，， 当n为偶数时， ； 当时，，此时， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，； 综上，当时，；当时，. 19. 已知数列，记集合. （1）若数列为，写出集合； （2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【答案】（1） （2）不存在，使得成立 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可； （2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论； （3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以. 【小问2详解】 假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又，， 所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. 【小问3详解】 首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于且奇偶性不同， 所以为奇数，对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为. 【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论的思想，计算量较大，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年下学期高二第一次段考数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 用数学归纳法证明的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在数列中，若，则 （ ） A. B. C. D. 6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（ ） A. 24294 B. 24296 C. 24298 D. 24300 7. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 8. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（    ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______. 13. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则______．（，，） 14. 已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． （1）已知，，求及d； （2）已知，，求． 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 17. 已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等. （1）若数列满足，求数列的前n项和； （2）若数列满足，（），求数列的通项公式. 18. 数列中，，，且， （1）证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）数列的前n项和为，且满足，，求． 19. 已知数列，记集合. （1）若数列为，写出集合； （2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $