重难点03 圆相关解答题（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点03 圆相关解答题 从2021年至2024年，北京中考数学的圆综合题逐渐趋于复杂化和多样化。例如，2021年的圆综合题注重基础知识点的应用，而2024年的题目则更加注重创新和综合性。未来，考生需关注新定义题型和几何压轴题的变化趋势，提前做好针对性准备。北京中考数学2021年至2024年的圆解答题特点主要体现在难度提升、知识点综合性和解题技巧的多样化上。考生需在备考中注重基础知识的巩固、解题技巧的灵活运用以及综合能力的培养，以应对逐年增加的考试难度和复杂性。 【题型1 垂径定理】 考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2024年北京市北京师范大学附属实验中学分校中考二模）如图，为的直径，弦于点H，的切线与的延长线交于点E，，与的交点为F． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 2．（北京市人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考）如图，是的直径，点是的中点，过点作弦，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，求的长． 3．（北京市海淀区十一学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． (1)求证：； (2)连接．若，求的长． 4．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 5．（北京市首都师范大学第二附属中学2022-2023学年九年级数学上学期期中）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 【题型2 切线的判定与性质】 考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相关知识的联系与性质是解答的关键． 6．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 8．（2023年北京二中教育集团中考模拟）如图，为的直径，为弦，射线与相切于点A，过点O作交于点D，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点B作交的延长线于点E，连接交于点F．若，，求的长． 9．（2022·北京海淀·三模）如图，中，平分交于，以为直径的交于点，交于点． (1)求证：是切线； (2)连接交与、连接交于，连接，若的半径为，，求和的长． 10．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长． 【题型3 圆的内接四边形】 考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键． 11．（北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考）已知，四边形ABCD为的内接四边形，BD、AC相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长． 12．（北京市第八中学2020-2021学年九年级上学期期中）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 13．（北京市燕山区2023-2024学年九年级上学期期末）已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 14．（北京市十一学校2023~2024学年九年级下学期月考）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．    (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点A作交的延长线于点F， 若，，求此圆半径的长． 15．（北京二中教育集团2022一2023学年九年级上学期期中）如图，四边形内接于，，是的直径，连接． (1)求的度数； (2)若直径为4，求的长． 【题型4 圆与三角形函数综合】 考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。 16．（北京首都师范大学附属中学2024—2025学年下学期九年级开学）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 17．（2024年北京市燕山地区中考二模）如图，为四边形的外接圆，平分，于点E．    (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，若，，求的长．    18．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【题型5 圆与相似综合】 考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．（2025·北京·模拟预测）在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，过点D作交于点G，若，且，求的半径． ，， 22．（北京市第一六一中学2024-2025学年下学期九年级开学）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，中，，，是的外接圆，D在上，满足，与交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点E，延长至点P，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 25．（北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年上学期九年级12月）如图，四边形内接于，为直径，过点作垂直交其延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． （建议用时：30分钟） 1．如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长． 2．如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 3．如图，已知，，点D是中点，，，过A，D两点作，交于点E． (1)求证：； (2)如图1，当圆心O在上且点M是上一动点，连接交于点N，求当等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？ (3)如图2，当圆心O不在上且动圆与相交于点Q时，过D作（垂足为H）并交于点P，问：当变动时，的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 圆相关解答题 从2021年至2024年，北京中考数学的圆综合题逐渐趋于复杂化和多样化。例如，2021年的圆综合题注重基础知识点的应用，而2024年的题目则更加注重创新和综合性。未来，考生需关注新定义题型和几何压轴题的变化趋势，提前做好针对性准备。北京中考数学2021年至2024年的圆解答题特点主要体现在难度提升、知识点综合性和解题技巧的多样化上。考生需在备考中注重基础知识的巩固、解题技巧的灵活运用以及综合能力的培养，以应对逐年增加的考试难度和复杂性。 【题型1 垂径定理】 考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2024年北京市北京师范大学附属实验中学分校中考二模）如图，为的直径，弦于点H，的切线与的延长线交于点E，，与的交点为F． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为12． 【详解】（1）解：连接，则， ∵与相切于点C， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的半径为6，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为12． 2．（北京市人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考）如图，是的直径，点是的中点，过点作弦，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径，且， ，， ， 是的垂直平分线， ， ，点是的中点， 点在线段的垂直平分线上，， 中，， 即， ， ， 即 是等边三角形． （2）解：由（1）得，是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 半径为2，且点是中点， ，， 中，， ． 3．（北京市海淀区十一学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． (1)求证：； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接，连接， 设的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴，， 由勾股定理得，， ∵是的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 4．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：是的切线， ， 于点， ， ， ， ， ． （2）解：连结， 于点，是的直径， ， 是的垂直平分线， ， 的半径为5， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 5．（北京市首都师范大学第二附属中学2022-2023学年九年级数学上学期期中）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴（）， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【题型2 切线的判定与性质】 考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相关知识的联系与性质是解答的关键． 6．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：相切；理由如下： 连接， ∵为切线， ∴ ∵， ∴，即垂直平分， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴直线与相切； （2）解：∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：； 设圆半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，    ， ， ， ， 直径， ， ， ，， ， 是的切线； （2）解：，为半径， 是的切线， ， 连接，    ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ，， ， 8．（2023年北京二中教育集团中考模拟）如图，为的直径，为弦，射线与相切于点A，过点O作交于点D，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点B作交的延长线于点E，连接交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接， ∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，又，， ∴， ∴，又为的半径， ∴是的切线；    （2）解：如图，过E作于H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则 ∵， ∴与相切，又射线与相切于点A，是的切线， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即， 在，由勾股定理得， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， 解得． 9．（2022·北京海淀·三模）如图，中，平分交于，以为直径的交于点，交于点． (1)求证：是切线； (2)连接交与、连接交于，连接，若的半径为，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4， 【详解】（1）证明：，平分交于， ， 是的直径， 是切线； （2）解：连接、、，过作于，如下图， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ≌， ， ， 的半径为，， ， ， ∴， ∽， ，即， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得． 10．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)AD=5，BE=． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点， ∴∠AOD=∠AOB=90°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）解：连接CD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ∵=， ∴DB=AD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵AB=10， ∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5， ∵AB=10，BC=6， ∴AC==8， ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠CAD+∠CBD=180°， ∵∠DBE+∠CBD=180°， ∴∠CAD=∠DBE， 由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°， ∴∠ACD=45°， ∵DE∥AB， ∴∠BDE=∠OBD=45°， ∴∠ACD=∠BDE， ∴△ACD∽△BDE， ∴， ∴， 解得：BE=． 【题型3 圆的内接四边形】 考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键． 11．（北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考）已知，四边形ABCD为的内接四边形，BD、AC相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长． 【答案】 （1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH= ． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠ACB=∠ABC， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=∠ABC， ∵∠ADC=∠CDB+∠ADB， ∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°， ∴； （2）证明：过点C作CN⊥DB，交BD于N，交于M， ∵ ∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°， ∴∠MCB=∠DBC=45°， ∴ ∵AB=AC， ∴ ∴ ∴∠ACM=∠DBA ∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB， ∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN， 在△CEN和△CGN中 ∴△CEN≌△CGN（ASA）， ∴CE=CG; （3）解：过C作CP//AH交BD于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M， ∵E为AC中点，OE为弦心距， ∴OE⊥AC， ∵AB=AC， ∴OE=OM， ∴AQ平分∠CAB， ∴AQ⊥BC， ∵CQ=BQ，点H在AQ上， ∴CH=BH， ∵∠DBC=45°， ∴∠HCB=∠DBC=45°， ∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°， ∴CH⊥BD， ∵CE=CG， ∴EH=GH=3， ∵CP//AH， ∴∠PCE=∠HAE， 在△PCE和△HAE中， ， ∴△PCE≌△HAE（AAS）， ∴PE=HE=3， ∵PE=HE，CE=AE， ∴四边形PAHC为平行四边形， ∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°， ∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°， ∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°， ∴∠PHA=∠QHB=45°， ∵∠APH=90°， ∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°， ∴∠PAH=∠PHA=45°， ∴△APH为等腰直角三角形， ∵PH=PE+EH=6， ∴AP=PH=6， 在Rt△PAH中，AH= ∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=， ∴CQ=BQ=， 在Rt△EHC中EC=， ∴AC=2CE=，AE=CE=， 在Rt△ACQ中AQ=， ∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90° ∴△AEO∽△AQC， ∴，即， 解得AO=， OH=AH-AO=-． 12．（北京市第八中学2020-2021学年九年级上学期期中）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 【答案】(1) (2)AC 【详解】（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 13．（北京市燕山区2023-2024学年九年级上学期期末）已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接，交于点F． 是的直径， ，即， A为弧中点，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于以为直径的， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ，即； ． 14．（北京市十一学校2023~2024学年九年级下学期月考）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．    (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点A作交的延长线于点F， 若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴所对弧对的圆心角相等， 则有， ∴，即， ∴是圆的直径， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是圆的直径， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，    ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴． ∵是圆的直径， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是圆的直径， ∴半径的长为． 15．（北京二中教育集团2022一2023学年九年级上学期期中）如图，四边形内接于，，是的直径，连接． (1)求的度数； (2)若直径为4，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）连接， 由圆周角定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴． 【题型4 圆与三角形函数综合】 考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。 16．（北京首都师范大学附属中学2024—2025学年下学期九年级开学）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，交于点H，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 即， ∴直线是的切线； （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴，根据勾股定理，得． ∵， ∴. 根据勾股定理，得． ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即， 解得． 17．（2024年北京市燕山地区中考二模）如图，为四边形的外接圆，平分，于点E．    (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴＝， ， 在中，， ； 18．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为的切线 （2）∵为的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∵ ∴ 由勾股定理得， 19．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，P为外一点，过点P作的切线，切点为A，连接交于点B，C为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵点A，B，C在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点O作于点E，，    ∴． ∵过点P作的切线，切点为A， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中， ． 20．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，是的切线， ，平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ． ． ， 设，则，有， 即， 解得，即． 【题型5 圆与相似综合】 考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．（2025·北京·模拟预测）在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，过点D作交于点G，若，且，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：连接，如图： ， ∵以为直径的与相切于点E， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，，如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，由（1）得， ∴， ∵为半径， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去 ∴， 在中， 可得， ∴的半径． 22．（北京市第一六一中学2024-2025学年下学期九年级开学）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，，于点E，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． ． ， ． ， ，即． 是的半径， 是的切线． （2）解：设， ， ，． ． 为的直径， ． ， ． ． ，． ， 是的中位线． ． ． ， ． ． ， 解得． ． 23．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，中，，，是的外接圆，D在上，满足，与交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．      (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴是的直径． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：连接．    ∵是的直径， ∴． ∴， ∵由（1）得，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴E为的中点． ∴． 24．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点E，延长至点P，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是直径， 是的切线； （2）解：，， ， ，， ∽， ， ， ， ． 25．（北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年上学期九年级12月）如图，四边形内接于，为直径，过点作垂直交其延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点作于， ， 四边形是矩形， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 是的直径， ， 又， ， ，即， ． （建议用时：30分钟） 1．如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 2．如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，求得，根据切线的性质得到，推出，等量代换得到； （2）过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，，根据平行线的性质得到，推出，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 的延长线交弦于点，， ， ， ， ，分别与相切于，两点， ， ， ， ， ； （2）解：过作于，如图， 则四边形是矩形， ，，， ， ， ，， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 3．如图，已知，，点D是中点，，，过A，D两点作，交于点E． (1)求证：； (2)如图1，当圆心O在上且点M是上一动点，连接交于点N，求当等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？ (3)如图2，当圆心O不在上且动圆与相交于点Q时，过D作（垂足为H）并交于点P，问：当变动时，的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)1或 (3)不变， 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，可证，可得，可得结论； （2）连接、，易得当和为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得，易得到为等边三角形，得，则，，然后根据含的直角三角形三边的关系得，，当，为底边，作，由于，，得到，，，于是，，又，，得到，则，可得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论； （3）连接、，因为，得，则，再根据圆周角定理得，，则，，易证得，得到，则，而为等边三角形，，即可得到的值． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 在中，， 点D是中点， ． ， ． ，， ． ． （2）解：连接、，如图3， ， 当和为等腰三角形的两腰， ． ， 为等边三角形， ． ． ． 在中，． 在中，． ∴当等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； 当，为底边，如图4，作， ，， ，，． 为等边三角形， ，． ，， ． ． ． 为等腰直角三角形． ． ． 综上所述，当三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形时，等于1或； （3）解：当变动时的值不变，， 理由如下：连接、，如图2， ，， ． ， ． ， ． ． ，， ， ． ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$