专题01 三角（Ⅰ）（七大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题01 三角（Ⅰ） 题型概览 题型01概念辨析 题型02求弧长或面积 题型03 三角函数值 题型04诱导公式 题型05 三角恒等变换 题型06三角的综合应用 题型07解答题 ( 题型01 ) 概念辨析 1．（23-24高一下·上海·期中）在直角坐标系中，是第 象限角. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 3．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 4．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知是第三象限角，满足，则是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型02 ) 求弧长或面积 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 ． 7．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 8．（23-24高一下·上海浦东新·期中）扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是 . 9．（22-23高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    ( 题型03 ) 三角函数值 10．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·上海·期中）已知锐角满足，则 . 12．（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . ( 题型04 ) 诱导公式 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则 ． 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 16．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，则 17．（22-23高一下·上海·期中）化简：= ． ( 题型0 5 ) 三角恒等变换 18．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则 ． 19．（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则 . 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 22．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知且，则 . 23．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） ( 题型0 6 ) 三角的综合应用题 26．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 27．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 28．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 29．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 30．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． ( 题型0 7 ) 解答题 31．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 32．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 33．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 34．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 35．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 36．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 37．（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 38．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 一、填空题 1．（19-20高一下·上海浦东新·期中）已知角，，，则 . 二、单选题 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 4．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设、，分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求的值． 6．（21-22高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 7．（23-24高一下·上海民办南模·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角（Ⅰ） 题型概览 题型01概念辨析 题型02求弧长或面积 题型03 三角函数值 题型04诱导公式 题型05 三角恒等变换 题型06三角的综合应用 题型07解答题 ( 题型01 ) 概念辨析 1．（23-24高一下·上海·期中）在直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【分析】根据任意角的概念分析可知与的终边相同，再结合象限角的定义分析判断. 【解析】因为，即与的终边相同， 且，可知为第三象限角， 所以为第三象限角. 故答案为：三. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【解析】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 3．（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 【答案】/ 【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案. 【解析】与角终边相同的角的集合为， 取，可得． 在0到范围内，与角终边相同的角是. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）60°用弧度制表示为 . 【答案】/ 【分析】由角度和弧度的关系进行求解. 【解析】根据角度和弧度的关系可知， 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知是第三象限角，满足，则是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，可得为第二或第四象限角，又，可判断得解. 【解析】是第三象限角，，， 则，，即为第二或第四象限角， 又， 为第四象限角． 故选：D. ( 题型02 ) 求弧长或面积 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】直接利用弧长公式求解即可 【解析】在单位圆中，圆心角为的弧长为， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 【答案】/ 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【解析】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 8．（23-24高一下·上海浦东新·期中）扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得. 【解析】扇形的半径为1，圆心角所对的长为3， 所以该扇形的面积. 故答案为： 9．（22-23高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    【答案】 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果. 【解析】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为： ( 题型03 ) 三角函数值 10．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【解析】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知锐角满足，则 . 【答案】 【分析】由特殊角的三角函数值即可求. 【解析】因为且为锐角，所以. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据，得出值即得答案. 【解析】因为，所以或，所以是的充分非必要条件. 故选A. 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【解析】由，得， 所以. 故答案为： ( 题型04 ) 诱导公式 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【答案】/0.2 【分析】由诱导公式即可求解. 【解析】， 故答案为： 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【解析】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 16．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，则 【答案】1 【分析】根据诱导公式直接求解即可. 【解析】. 故答案为:1. 17．（22-23高一下·上海·期中）化简：= ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答. 【解析】. 故答案为： ( 题型05 ) 三角恒等变换 18．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】由二倍角公式和同角三角函数关系即可求解. 【解析】. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则 . 【答案】 【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出、，再由两角和的正弦公式计算可得. 【解析】因为且为第三象限的角， 即，解得（舍去）或， 所以 . 故答案为： 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【解析】， 故答案为：-1 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 【答案】1或 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【解析】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 22．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知且，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，为第四象限角，利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值. 【解析】因为且，则为第四象限角， 因此，. 故答案为：. 23．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【解析】，，，， ，， ， . 故选：B. 24．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【解析】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【解析】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： ( 题型06 ) 三角的综合应用题 26．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【解析】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角. 故选：B. 27．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【解析】由题意，， ， 故答案为： 28．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【解析】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 29．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【解析】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 30．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函数的性质，即可求解. 【解析】由，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. ( 题型07 ) 解答题 31．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【解析】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 32．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【解析】（1） （2）由题意可知 ， ， . 33．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 34．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【解析】（1）由， 所以 （2） 35．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【解析】（1）显然，故则，解得. （2） 36．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【解析】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 37．（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【解析】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 38．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论； （2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论. 【解析】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 一、填空题 1．（19-20高一下·上海浦东新·期中）已知角，，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件解得，然后再求得的值，最后根据角的范围即可求解的值． 【解析】根据条件， ，即， ， 则， 整理可得， 即， 即， ， ， 故. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、正切公式及倍角公式的运用，在计算过程中注意角度的配凑，本题有一定量的计算，还要求学生能够熟练运用公式． 二、单选题 2．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【解析】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【答案】B 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可. 【解析】①任意的，当时，， ，满足，故①正确； ②当时，，， 则不存在，使得等式成立，故②不正确. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【解析】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 三、解答题 5．（22-23高一下·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设、，分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】 【分析】用的三角函数表示，根据可解出. 【解析】由已知，得， ，得， 即， 化简得，解得， 又，， ∴ 6．（21-22高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案； （2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论. 【解析】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以． （2）， ， 所以， ， 所以， 同理， 所以线段． 7．（23-24高一下·上海民办南模·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)，或， 【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解， （2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解， （3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解. 【解析】（1）依题意得，； （2）证明：由“余弦方差”定义得： ， 则分子 ， 为定值，与的取值无关． （3）分子 ． 要使是一个与无关的定值， 则， ， 与终边关于轴对称或关于原点对称， 又，得与终边只能关于轴对称， 又 则当时， 当时，． 故，或， 故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值． 【点睛】关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简. 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$