专题01 三角全章21大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 本专项以“几何基础-代数定义-公式应用-解三角形”为逻辑主线，覆盖三角21个核心题型，通过分层例题培养运算能力与推理意识，重点突破难点与常考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |扇形计算|3题型14题|含弧长、面积及最值综合|从几何量计算到函数最值应用| |三角函数定义与符号|2题型9题|终边求函数值及象限判断|定义应用到符号规律推导| |同角三角关系|3题型15题|涉及sin±cos与sin cos关系、弦切互化及方程综合|公式变形到方程思想应用| |诱导公式|3题型15题|基础化简、综合求值及与特殊角结合|公式记忆到角的转化推理| |和差角公式|4题型20题|正余弦正切公式及综合应用、最值与实际问题|公式直接应用到综合建模| |二倍角公式|2题型10题|求值与化简|从和角公式到二倍角推导| |解三角形|2题型12题|正弦定理及余弦定理与面积计算|定理应用到综合解三角形|

专题01 三角 题型1 扇形弧长计算 题型2 扇形面积计算 题型3 扇形综合（弧长、面积、最值）（难点） 题型4 根据终边求函数值（重点） 题型5 三角函数符号与象限判断 题型6 同角三角关系（sinα±cosα与sinαcosα） 题型7 同角三角关系（弦切互化问题） 题型8 同角三角关系综合（方程求值问题）（难点） 题型9 诱导公式基础化简 题型10 诱导公式综合求值（常考点） 题型11 诱导公式与特殊角综合 题型12 已知三角函数值求角 题型13 和差角余弦公式求值（重点） 题型14 和差角正弦公式化简 题型15 和差角公式综合应用（难点） 题型16 和差角正切公式求值 题型17 和差角公式最值与实际应用 题型18 二倍角公式求值（重点） 题型19 二倍角公式化简 题型20 正弦定理（常考点） 题型21 余弦定理与面积计算（难点） 题型1 扇形弧长计算 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 2．（24-25高一下·上海静安·期末）扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于___________. 3．（23-24高一下·上海·月考）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 4．（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 题型2 扇形面积计算 5．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 7．（25-26高一下·上海徐汇·期中）扇形半径为6，弧长为4，则面积为________． 8．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 题型3 扇形综合（弧长、面积、最值）（难点） 9．（25-26高一下·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 10．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的弧长是，面积是，则该扇形的圆心角（弧度制）大小=______. 13．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    14．（24-25高一下·上海·月考）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)若，求渔网长度； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 题型4 根据终边求函数值（重点） 15．（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则________． 16．（24-25高一下·上海·月考）已知角的终边经过点，则________． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 18．（24-25高一下·上海虹口·阶段检测）已知角α的终边在直线上，则＝______ 19．（25-26高三下·上海·月考）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 题型5 三角函数符号与象限判断 20．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 21．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 22．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（23-24高一下·上海·阶段检测）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型6 同角三角关系（sinα±cosα与sinαcosα） 24．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 25．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则________． 26．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 27．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知三角形内角满足，则__________. 题型7 同角三角关系（弦切互化问题） 28．（24-25高一下·上海·月考）设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 29．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 30．（25-26高一下·上海浦东新·月考）已知，则______ 31．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知角是第四象限角，且，则______． 32．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 33．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 34．（24-25高一下·上海·月考）已知，则=______． 35．（24-25高一下·上海·月考）已知，则__________. 题型8 同角三角关系综合（方程求值问题）（难点） 36．（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 37．（24-25高一下·上海·月考）已知，则__________. 38．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知关于的方程的两根为， (1)求的值； (2)求的值． 39．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 题型9 诱导公式基础化简 40．（25-26高一下·上海·期中）已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（ ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·上海宝山·月考）化简___________． 42．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为______． 43．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 44．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型10 诱导公式综合求值（常考点） 45．（25-26高一下·上海·期中）化简：______. 46．（24-25高一下·上海·期中）已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 47．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 48．（22-23高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 题型11 诱导公式与特殊角综合 50．（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则________． 51．（25-26高一下·上海·阶段检测）若，则___________ 52．（25-26高一下·上海黄浦·期中）化简：__________. 53．（25-26高一下·上海·期中）已知，.若函数是定义在上的奇函数，则常数的值是________. 54．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则___________． 题型12 已知三角函数值求角 55．（23-24高一下·上海嘉定·月考）满足，的角的集合为__________. 56．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则______． 57．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，则角____________. 题型13 和差角余弦公式求值（重点） 58．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则__________. 59．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 60．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 61．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，且，则____________． 62．已知，，则________． 题型14 和差角正弦公式化简 63．若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 64．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则________． 65．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 66．（24-25高一下·上海静安·期末）化简：=___________. 67．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则________． 题型15 和差角公式综合应用（难点） 68．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 69．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知都是锐角，，，则_____. 70．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在处取得最小值，则__________. 71．如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为________. 72．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______. 题型16 和差角正切公式求值 73．若，则（    ） A． B． C． D． 74．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 75．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 76．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知，则______. 77．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 题型17 和差角公式最值与实际应用 78．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 79．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 80．（23-24高一下·上海·期中）化简：_____________. 81．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 82．（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 题型18 二倍角公式求值（重点） 83．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 84．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 85．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 86．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则______． 87．（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）已知，，则的值为_________． 题型19 二倍角公式化简 88．（24-25高一下·上海·月考）若，，则________． 89．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 90．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 91．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则______．（数字作答） 题型20 正弦定理（常考点） 92．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为__________. 93．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 94．（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 95．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 题型21 余弦定理与面积计算（难点） 96．（24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则_____ 97．（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 98．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 99．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角 题型1 扇形弧长计算 题型2 扇形面积计算 题型3 扇形综合（弧长、面积、最值）（难点） 题型4 根据终边求函数值（重点） 题型5 三角函数符号与象限判断 题型6 同角三角关系（sinα±cosα与sinαcosα） 题型7 同角三角关系（弦切互化问题） 题型8 同角三角关系综合（方程求值问题）（难点） 题型9 诱导公式基础化简 题型10 诱导公式综合求值（常考点） 题型11 诱导公式与特殊角综合 题型12 已知三角函数值求角 题型13 和差角余弦公式求值（重点） 题型14 和差角正弦公式化简 题型15 和差角公式综合应用（难点） 题型16 和差角正切公式求值 题型17 和差角公式最值与实际应用 题型18 二倍角公式求值（重点） 题型19 二倍角公式化简 题型20 正弦定理（常考点） 题型21 余弦定理与面积计算（难点） 题型1 扇形弧长计算 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为_____. 【答案】cm 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】， 故答案为： 2．（24-25高一下·上海静安·期末）扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度，则该扇形的弧长等于___________. 【答案】12 【分析】弧长公式 是弧度制下的基本公式，直接使用给定的半径和弧度值代入计算即可. 【详解】因为扇形的半径为8，圆心角等于1.5弧度， 由扇形的弧长公式可得： 该扇形的弧长 故答案为：12 3．（23-24高一下·上海·月考）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 【答案】 【分析】由扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 4．（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 【答案】 【详解】由弧长公式，其中，，得． 题型2 扇形面积计算 5．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 【答案】 【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】因为，所以扇形面积. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 【答案】 【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，圆心角为， 所以扇形面积为. 故答案为： 7．（25-26高一下·上海徐汇·期中）扇形半径为6，弧长为4，则面积为________． 【答案】12 【详解】由题意扇形，弧长， 代入公式计算得： . 8．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 题型3 扇形综合（弧长、面积、最值）（难点） 9．（25-26高一下·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 10．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 【答案】2 【分析】设半径为，表示出周长后由基本不等式得最小值，再求得结论. 【详解】设半径为，弧长为，则，， 周长为，当且仅当，即时取等号， 此时圆心角为 故答案为：2. 11．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 12．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的弧长是，面积是，则该扇形的圆心角（弧度制）大小=______. 【答案】/ 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式，可得答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则，解得， 由，则解得. 故答案为： 13．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    【答案】 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海·月考）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)若，求渔网长度； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】(1)； (2)面积最小值为，； (3) 【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论； （2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件； （3）解三角形求，表示两个遮阳蓬面积和，结合平方关系，巧用基本不等式求最小值可得结论. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则， 所以， 所以. 则当时，. （2）， 所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. （3）因为， 设两遮阳蓬面积和为， 则 当且仅当，即时取等号. 所以两遮阳蓬面积和的最小值为. 题型4 根据终边求函数值（重点） 15．（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则________． 【答案】 【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案. 【详解】由题意得点到原点O的距离为， 故由得，解得， 故答案为： 16．（24-25高一下·上海·月考）已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】根据三角函数的定义，， 则． 故答案为：. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________. 【答案】/ 【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得. 【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3， 代入可得，由正弦函数定义可知. 故答案为：. 18．（24-25高一下·上海虹口·阶段检测）已知角α的终边在直线上，则＝______ 【答案】 【分析】在直线上任取点，根据三角函数的定义即可求解. 【详解】在直线上任取点，所以， 所以. 故答案为：. 19．（25-26高三下·上海·月考）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】/ 【分析】先求出点到原点的距离，再根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意，角的终边经过点， 所以， 所以. 题型5 三角函数符号与象限判断 20．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 21．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 22．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 23．（23-24高一下·上海·阶段检测）如果是第一象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A. 【详解】因为是第一象限角，则，， 所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D； 又，， 所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则， 当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A. 故选：C 题型6 同角三角关系（sinα±cosα与sinαcosα） 24．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 25．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 26．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 27．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知三角形内角满足，则__________. 【答案】 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型7 同角三角关系（弦切互化问题） 28．（24-25高一下·上海·月考）设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 【答案】/ 【分析】由是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求，根据商数关系即可求得的值. 【详解】∵是第一象限角，， ∴， ∴ 故答案为：. 29．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 30．（25-26高一下·上海浦东新·月考）已知，则______ 【答案】4 【详解】已知，因此．对所求分式的分子分母同除以得， 代入得到． 31．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知角是第四象限角，且，则______． 【答案】 【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求. 【详解】因为，角是第四象限角， 所以，又， 所以， 又，所以. 故答案为：. 32．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 33．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 【答案】2 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 34．（24-25高一下·上海·月考）已知，则=______． 【答案】/ 【分析】利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 35．（24-25高一下·上海·月考）已知，则__________. 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 题型8 同角三角关系综合（方程求值问题）（难点） 36．（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 【答案】 【分析】首先判断的符号，根据与之间的关系，整体法求得的值，进而得解. 【详解】因为为第二象限角，所以，所以. 对两边同时平方得 ，即， 所以，所以. 所以， 所以（负值舍去）. 37．（24-25高一下·上海·月考）已知，则__________. 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 38．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知关于的方程的两根为， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据韦达定理得出，然后利用平方关系求得的值，注意一元二次有实解的条件； （２）利用（１）解方程组得，然后根据范围得出值. 【详解】（1）由题意，解得， 又关于的方程的两根为， 所以， 所以.解得，满足题意； （2）由（1）得，解得或， 又，所以或. 39．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 题型9 诱导公式基础化简 40．（25-26高一下·上海·期中）已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由角的终边与角的终边关于直线对称， 得，即， 所以，，故AC错误； ，，故D正确，B错误. 41．（24-25高一下·上海宝山·月考）化简___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答. 【详解】， 故答案为： 42．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为______． 【答案】5 【分析】由已知利用诱导公式和同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由，得， 根据诱导公式，化简. 故答案为：5. 43．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 44．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 题型10 诱导公式综合求值（常考点） 45．（25-26高一下·上海·期中）化简：______. 【答案】 【详解】. 46．（24-25高一下·上海·期中）已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知角 的终边经过点 ，点到原点的距离， 根据三角函数定义： ． （2），， ，， 代入原式： ， 由点 可知： ，所以． 47．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】利用第二象限点的特征求出，，再利用诱导公式和象限角的特征求解即可. 【详解】因为点 在第二象限，所以，， 由诱导公式得，， 则 是第三象限的角，故C正确. 故选：C 48．（22-23高一下·上海黄浦·期末）与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式逐一检查每个选项. 【详解】根据三角函数诱导公式，. ，A选项错误；∵，∴B选项正确； ∵，C选项错误；∵，∴D选项错误. 故选：B 49．（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 题型11 诱导公式与特殊角综合 50．（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则________． 【答案】/ 【分析】任取一个数字串，根据数字黑洞定义，依次得到新的数字串，反复出现的数字即为a的值，再结合诱导公式即可得解. 【详解】由数字串的任意性，不妨取数字串， 经过第一步后可得到数字串，经第二步后得到数字串， 再变为，再变为，... 故数字黑洞为，即， 所以． 故答案为： 51．（25-26高一下·上海·阶段检测）若，则___________ 【答案】 【详解】， . 52．（25-26高一下·上海黄浦·期中）化简：__________. 【答案】 【详解】. 53．（25-26高一下·上海·期中）已知，.若函数是定义在上的奇函数，则常数的值是________. 【答案】 【分析】先利用奇函数在处函数值为0的性质，求出的值，再代回验证是否为奇函数即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以， 当时，， 对任意，， 满足奇函数的定义， 综上，. 54．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则___________． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 题型12 已知三角函数值求角 55．（23-24高一下·上海嘉定·月考）满足，的角的集合为__________. 【答案】 【分析】借助余弦函数的性质计算即可得. 【详解】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 56．（23-24高一下·上海松江·期末）若是方程的解，其中，则______． 【答案】/ 【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得：，即， 所以或， 所以或，， 又，则. 故答案为：. 57．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知，，则角____________. 【答案】 【分析】根据三角函数值求角的方法求解. 【详解】因为，， 所以角， 故答案为： 题型13 和差角余弦公式求值（重点） 58．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【详解】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 59．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 60．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 61．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，且，则____________． 【答案】 【分析】根据，得到，求出，利用凑角法，结合余弦的和角公式求出答案. 【详解】，故， 因为，所以， 所以， 故 . 故答案为：. 62．（2025·湖北武汉·二模）已知，，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 题型14 和差角正弦公式化简 63．若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 【答案】 【分析】由条件可得，化简求. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 所以，因为不恒为， 所以，所以. 故答案为：. 64．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系，再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以 故答案为： 65．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 66．（24-25高一下·上海静安·期末）化简：=___________. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. 【详解】 故答案为：. 67．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则________． 【答案】 【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解. 【详解】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 题型15 和差角公式综合应用（难点） 68．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 69．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知都是锐角，，，则_____. 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 70．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在处取得最小值，则__________. 【答案】 【分析】根据辅助角公式化简，其中，再利用和角的正弦公式可求值. 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 71．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为________. 【答案】 【分析】结合图形，由两角差的正弦展开式结合诱导公式可求. 【详解】由题意可得，，，， 所以， 所以 . 故答案为： 72．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______. 【答案】 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 题型16 和差角正切公式求值 73．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 74．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 75．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 76．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知，则______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数公式，和两角差的正弦公式，求出角的正弦值. 【详解】因为，所以， 由同角三角函数关系可得， 同理可得， 由两角差的正弦公式得， 代入得. 故答案为：. 77．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 【答案】/ 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 题型17 和差角公式最值与实际应用 78．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 79．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 【答案】 【分析】利用角的范围和同角三角函数关系式计算得到，利用两角差的正弦公式计算得到答案； 【详解】，即， 因为，所以 ， ， 故答案为：. 80．（23-24高一下·上海·期中）化简：_____________. 【答案】/ 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 81．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 82．（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 【答案】 【分析】利用三角函数定义可得，即可得，再利用换元法令，并由函数单调性求得最小值. 【详解】由题意，因为,, 所以, 所以,, 令, 因为， 所以，即，则， 所以， 易知在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， 即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为. 故答案为：. 题型18 二倍角公式求值（重点） 83．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 84．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 85．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 86．（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则______． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 87．（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）已知，，则的值为_________． 【答案】/0.96 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】由， 得，则，即， 由于，故，结合， 可知， 故， 故答案为： 题型19 二倍角公式化简 88．（24-25高一下·上海·月考）若，，则________． 【答案】 【分析】根据同角的平方关系及二倍角公式可先求出，根据角的范围确定符号即可求解. 【详解】， . ，，，. 故答案为：. 89．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故. （2）由（1），， . 90．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则. （2）解：由（1）知， 则. 91．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则______．（数字作答） 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 题型20 正弦定理（常考点） 92．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 93．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 【答案】4 【分析】利用三角形面积公式求解. 【详解】由. 故答案为：4. 94．（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再解析方程即得. （2）根据，结合面积公式列式求解. 【详解】（1）由，得， 又在中，， 则，整理得， 而，，解得，所以． （2）在中，由是的角平分线，得， 由，得， 即，所以. 95．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形； （2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 题型21 余弦定理与面积计算（难点） 96．（24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则_____ 【答案】2 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 97．（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 98．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 99．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， ，，或； （2）解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $