专题02 三角（Ⅱ）—解三角形及其应用（八大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题02 三角（Ⅱ）—解三角形及其应用 题型概览 题型01正弦定理、余弦定理 题型02 三角形的面积公式及其应用 题型03 正弦定理、余弦定理的应用（边角互化等） 题型04 解的个数问题 题型05 判断三角形的形状 题型06取值范围+最值问题 题型07 实际应用+几何应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 正弦定理、余弦定理 1．（23-24高一下·上海·期中）中，已知，，，则边的长为 . 2．（23-24高三下·上海·期中）在中，角的对边分别为，若，则 . 3．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 5．（23-24高一下·上海建平中学·期中）在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . ( 题型02 ) 三角形的面积公式及其应用 8．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 9．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 . 10．（24-25高三上·上海·期中）在中，，则 . 11．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边 . 12．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 13．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 . ( 题型03 ) 正弦定理、余弦定理的应用（边角互化等） 14．（23-24高一下·上海·期中）在中，“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 16．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 18．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 19．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . ( 题型04 ) 解的个数问题 20．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 21．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. ( 题型0 5 )判断三角形的形状 22．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 23．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 24．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 ( 题型0 6 ) 取值范围+最值问题 25．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是 . 26．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 . 27．（22-23高一下·上海宝山·期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ． 28．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． ( 题型0 7 ) 实际应用+几何应用 29．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    30．（22-23高一下·上海宝安中学·期中）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 31．（24-25高三上·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 32．（23-24高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    33．（24-25高三上·上海·期中）如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为 . 34．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . ( 题型0 8 ) 解答题 35．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 36．（22-23高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 37．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 38．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 39．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 40．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 41．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 42．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 一、填空题 1．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 2．（22-23高三上·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别是，．若，则边的值为 ． 二、单选题 3．（20-21高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 三、解答题 5．（21-22高一下·上海崇明·期中）在中，角为锐角，且，其中． (1)证明：； (2)求实数的取值范围． 6．（20-21高一下·上海杨浦·期中）在非直角三角形中，角的对边分别为. （1）若，且，判断三角形的形状； （2）若， （i）证明：；（可能运用的公式有） （ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角（Ⅱ）—解三角形及其应用 题型概览 题型01正弦定理、余弦定理 题型02 三角形的面积公式及其应用 题型03 正弦定理、余弦定理的应用（边角互化等） 题型04 解的个数问题 题型05 判断三角形的形状 题型06取值范围+最值问题 题型07 实际应用+几何应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 正弦定理、余弦定理 1．（23-24高一下·上海·期中）中，已知，，，则边的长为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【解析】因为，，， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 2．（23-24高三下·上海·期中）在中，角的对边分别为，若，则 . 【答案】/ 【分析】由余弦定理先求出，再由同角三角函数的平方关系即可求. 【解析】由余弦定理，得，又， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【解析】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【解析】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 5．（23-24高一下·上海建平中学·期中）在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【解析】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，已知，则该三角形最小角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理得到三边之比，再利用余弦定理即可. 【解析】由正弦定理得， 不妨设，根据大边对大角知，该三角形最小角为边长为2的边所对的角， 则根据余弦定理知该三角形最小角的余弦值为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【解析】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. ( 题型02 ) 三角形的面积公式及其应用 8．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 【答案】12 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【解析】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 9．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 . 【答案】 【分析】由，计算可求面积. 【解析】因为在中，，， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海·期中）在中，，则 . 【答案】或 【分析】由三角形面积公式求出，分类讨论得到，由余弦定理得出的值. 【解析】 ∴， 当时，， 由余弦定理得， 当时，， 由余弦定理得， ∴或， 故答案为：或. 11．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边 . 【答案】10 【分析】由三角形的面积公式求解． 【解析】由，得， 得， 故答案为：10 12．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【解析】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 13．（24-25高三上·上海·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解析】在中，因为， 可得，且，， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. ( 题型03 ) 正弦定理、余弦定理的应用（边角互化等） 14．（23-24高一下·上海·期中）在中，“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】结合诱导公式根据正弦定理和充分条件、必要条件的概念判断即可. 【解析】在中，等价为， 若，则，由正弦定理得成立，即必要性成立， 若，则由正弦定理得，即成立，即充分性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【解析】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 16．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【解析】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 17．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【解析】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【解析】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【解析】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. ( 题型04 ) 解的个数问题 20．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【答案】④ 【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得 ，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案. 【解析】对①：由正弦定理，所以， 又因为，所以有一解，故①错误； 对②：正弦定理，所以， 又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误； 对③：由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误； 对于④，由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确， 故答案为：④. 21．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【解析】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. ( 题型05 )判断三角形的形状 22．（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断． 【解析】设三条高的长度分别为所对的三边分别为，，， 则由三角形面积公式可知，， 故可设，，，则，故， 则最大角为，由余弦定理得： 则为钝角，故此三角形为钝角三角形． 故选：D． 23．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 24．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【解析】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B ( 题型06 ) 取值范围+最值问题 25．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可. 【解析】由三角形可得，解得， 若该三角形为钝角三角形，注意到， 则角为钝角或角为钝角，可得或， 即或，解得或， 故边的取值范围是. 故答案为：. 26．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值． 【解析】由余弦定理可得 当且仅当时，即取等号，所以. 故答案为：. 27．（22-23高一下·上海宝山·期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围. 【解析】因为，所以 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，又， 所以. 故答案为： 28．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，根据正弦函数的性质求出的值域. 【解析】， 由正弦定理得，。 又， ， ； 令，，则， ； 故答案为：. ( 题型07 ) 实际应用+几何应用 29．（22-23高一下·上海宝山·期末）如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为 （精确到）.    【答案】5.8 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【解析】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 30．（22-23高一下·上海宝安中学·期中）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则 千米． 【答案】 【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得. 【解析】在三角形中由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 在中由余弦定理得 ， 所以. 故答案为：. 31．（24-25高三上·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 【答案】14 【分析】延长交于点，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案. 【解析】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理得，， ， 由题意得， 在中，由余弦定理得， ， 故两点之间的距离为. 故答案为：14. 32．（23-24高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    【答案】445米 【分析】假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解； 【解析】设该扇形的半径为米，连接. 由题意， 得(米)，（米）， 在中， 即， 解得（米).    33．（24-25高三上·上海·期中）如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为 . 【答案】 【分析】旋转构造全等，结合勾股定理计算即可. 【解析】由题意可知，即为等腰直角三角形， 可将绕B顺时针旋转得， 则， 又， 所以为直角三角形，， 即. 故答案为：. 34．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【解析】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： ( 题型08 ) 解答题 35．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 36．（22-23高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可得结果； （2）根据三角形面积公式求出，再根据余弦定理可求出结果. 【解析】（1）由及正弦定理得， 得，得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，，又，所以， 因为的面积为，所以，得， 由余弦定理得， 所以. 37．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 38．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 39．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 40．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【解析】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 41．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 【答案】(1)验证见解析，为定值 (2)时，该种植计划经济收益最大 【分析】（1）利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小． 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ，则， 故为定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，由（1）知， 则 ， 当时，取到最大值. 42．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【解析】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 一、填空题 1．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 【答案】①③ 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【解析】对于①，若，则， ， 在递减，所以，故①正确； 对于②，中，∵，则，∴角C为锐角， 但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误； 对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理及，得 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，故④错误． 对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立． 故选：①③． 2．（22-23高三上·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别是，．若，则边的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式化简已知等式得到，平方后可求得，结合的范围可得；将已知等式整理为，由此可得，代入余弦定理中即可求得结果. 【解析】由得：， ， ，，，， 即，， ，又，，则， ， 由得：， ，解得：，， 由余弦定理得：， . 故答案为：. 二、单选题 3．（20-21高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断； 对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定； 对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可； 对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解． 【解析】解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 4．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状. 【解析】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 三、解答题 5．（21-22高一下·上海崇明·期中）在中，角为锐角，且，其中． (1)证明：； (2)求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由及正弦定理得证； （2） 在中将代入后剩下关于的不等式，将其变形为关于的不等式，即得到的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理 和， 得，所以； （2）因为角为锐角，所以， 所以，所以， 则，即，所以， 所以或， 所以实数的取值范围． 6．（20-21高一下·上海杨浦·期中）在非直角三角形中，角的对边分别为. （1）若，且，判断三角形的形状； （2）若， （i）证明：；（可能运用的公式有） （ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 【答案】（1）等边三角形；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）（i）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得，再由三角恒等变换即可求证；（ii）根据三角恒等变换代数式可化为，比较可知存在. 【解析】（1）由余弦定理得，将代入得到， 所以为等边三角形. （2）（i）由及正弦定理得， 所以， 因为， 所以， 有，由两角和､差的余弦公式可得 ， 整理得， 故. （ii）由及半角正切公式可得 ， 展开整理得， 即， 即， 即，与原三角式比较可知存在且. 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$