专题03 第9章 单元阶段复习Ⅱ—（特殊）平行四边形的综合应用（八大题型，含四类分层难度）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题03 第9章 单元阶段复习Ⅱ—（特殊）平行四边形的综合应用 八大题型，含四类分层难度 目录： 题型1：分层难度Ⅰ 题型2：分层难度Ⅱ 题型3：分层难度Ⅲ 题型4：特殊平行平行的坐标简单应用 题型5：作图题及应用（选填+解答题） 题型6：分层难度Ⅳ 题型7：动态几何初步 题型8：中点四边形、动点等有关判定问题 题型1：分层难度Ⅰ 1．在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案． 【解析】解：在▱中，，且， ． 故选：D 2．在中，已知，，则的周长是（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【解析】解：如图： ∵四边形是平行四边形，，， ∴的周长是：， 故选：D． 3．矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及其应用． 【解析】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 4．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【解析】解：在菱形中，， ， 故选：D． 5．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质可得两直边与对角线组成直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【解析】解：正方形的边长为1，相邻两直角边与对角线可组成直角三角形， ∴对角线长为， 故选：B ． 6．若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的四条边相等结合菱形周长公式进行求解即可． 【解析】解：∵菱形的周长为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边相等是解题的关键． 7．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解析】解：正方形的一条对角线的长为2， 这个正方形的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 8．在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质；根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【解析】解：如图所示， 解：∵在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 题型2：分层难度Ⅱ 9．在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【解析】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 10．在中，，则 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先由平行四边形的性质可得、，进一步得到，再根据即可求得． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【解析】解：如图，根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：5． 13．如图，点E在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 【解析】解：四边形是正方形， ， ， ， 故答案：． 14．如图，在矩形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形，即可得出结果． 【解析】∵矩形，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 15．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 17．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长． 【解析】四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 故选：D． 18．如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相垂直的性质，直角三角形的性质计算求解即可． 本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【解析】解：∵菱形的对角线，交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 19．如果菱形的边长是，一个内角是，那么菱形较短的对角线长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，注意菱形的四边形都相等，注意数形结合思想的应用． 由四边形为菱形，即可求得是等边三角形，则可求得菱形较短的对角线长等于菱形的边长． 【解析】如图所示，四边形是菱形 四边形为菱形， ， ∵， ∴是等边三角形， ， 菱形较短的对角线长等于． 故选：C． 题型3：分层难度Ⅲ 20．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正方形得到，继而由即可求解． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 21．如图，在菱形中，若，的长为2，则的长是 ． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质与勾股定理可得答案． 【解析】解：连接交于点O，在菱形中， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 22．如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【解析】解：如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：． 23．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ）      A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，先根据正方形的性质结合已知条件证明，进而证明，得，，再根据线段的和差关系求解即可． 【解析】解：四边形是正方形， ，， ∵，， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：D． 24．如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，先由正方形的性质得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质得，结合为中点，所以，然后由勾股定理列式，因为，再根据三角形的面积公式得出，即可作答． 【解析】解：连接，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴在中，， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 26．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，根据矩形对角线相等且互相平分得到，再根据题意推出，则垂直平分，据此可得，则． 【解析】解：∵在矩形中，对角线、交于点O， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 27．如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∵菱形的面积， ∴ ∴ 故选：A． 28．如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【解析】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 故答案为：8． 29．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了矩形的综合题，根据矩形的性质和角平分线得是等腰三角形，根据角之间的关系得是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 30．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接．若菱形的面积为，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，由为中点，在中，由即可求解． 【解析】解：, 有， ∴， ∵菱形的对角线、相交于点O， ∴为中点， 在中，有， 故答案是：3． 题型4：特殊平行平行的坐标简单应用 31．如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加垂线的辅助线，构造全等三角形解决问题．作轴交于点，用全等三角形判定定理推出，得出和的长，即可得出点的坐标． 【解析】解：如图，作轴交于点， 点、的坐标分别为，， ，， 正方形， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：B． 32．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、两点间距离公式，先求得的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【解析】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标． 【解析】解：由题意，， 设，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， 解得，， 设， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：A． 题型5：作图题及应用（选填+解答题） 34．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 35．如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【解析】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 36．如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解析】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 37．如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【解析】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示，      ∴是对角线的垂直平分线； （2）解：如图所示，连接，设与交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 平行四边形是菱形． 38．用一把刻度尺（可测长度、画直线）画边长为的菱形． (1)如图，小明的画法如下： ①等腰，使； ②量取的中点D，画射线； ③射线上量取点E，使； ④连接、，得四边形． 同：小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由； (2)请你再设计一种画法（与小明的画法不同），画出边长为的菱形，并写出简要步骤（无需证明）． 【答案】(1)符合，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线性质，熟练掌握平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、三角形中位线性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平行，证明四边形是平行四边形．又，即可由菱形的判定得出结论； （2）画等腰，使；分别量取、、中点D、E、F，连接、即可． 【解析】（1）解：符合，理由如下： ∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴是菱形； （2）解：如图， 画等腰，使； 分别量取、、中点D、E、F，连接、； 四边形即为所求作的菱形． 理由：∵D、E、F分别是、、的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形． 题型6：分层难度Ⅳ 39．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【解析】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 40．如图，在平行四边形中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形，根据题意，易得是的中位线，得到，根据垂线段最短，得到时，最小，此时最小，进行求解即可． 【解析】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵E是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：最小为； 故答案为：． 41．在菱形中，，，点E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可． 【解析】解：连接交于，连接， 在平行四边形中，， 四边形是菱形， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ， 即就是的最小值． ，， 是等边三角形， ， （等腰三角形三线合一的性质）． 在中，． 即的最小值为． 故答案为：． 42．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【解析】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 故答案为：6． 43．如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质及应用，全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，，进而求解即可． 【解析】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 题型7：动态几何初步 44．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠．根据翻折，折痕为角平分线，得到，利用矩形的性质进行求解即可． 【解析】解：∵将矩形沿对角线折叠， ∴， ∵， ∴； 故选B． 45．如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 【解析】解：∵矩形， ， ∵沿折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 46．如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【解析】解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， 设， 则，， 由折叠得：， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 47．（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【解析】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型8：中点四边形、动点等有关判定问题 48．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)AC=BD，理由见解析 (3)AC⊥BD且AC=BD，理由见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理得到相应条件，即可得出结论； （2）根据菱形的判定和性质进行判断即可； （3）根据正方形的判定进行判断即可． 【解析】（1）解：证明：连接BD、AC交于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，EF∥AC，GH∥AC， ∴EH∥FG，EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）当AC=BD时， 由（1）得：HG=AC，EH=BD， ∴EH=GH， ∴四边形EFGH是菱形； （3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH既是矩形又是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 49．如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； （1）根据中位线定理可得，，，，进而证明，即可证明四边形是菱形； （2）作交于点， 交于点，根据中位线定理可得，进而证明，即可求解； 【解析】（1）证明：，，，分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：若，四边形是矩形，理由如下： 作交于点， 交于点， ，，，分别是、、、的中点， 、分别是、的中位线， ，，同理可证，， ，同理可证， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ，， ， 在四边形中，， 四边形是矩形； 50．在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．    (1)t取何值时，四边形为矩形？ (2)是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)时，四边形为矩形； (2)4或 【分析】（1）根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，平行四边形是矩形，列出方程求解即可； （2）是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可． 【解析】（1）解：由题意可知，，则，，则， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 则有，解得， 答：时，四边形为矩形； （2）解：∵，是上一点，即， ①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 51．如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段的长度：______cm， (2)当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． (3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据题意求出，再由即可求出答案； （2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可； （3）利用平行四边形的性质得到，由此可建立方程或，解方程即． 【解析】（1）解；由题意得， ∴， 故答案为；； （2）解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2； （3）解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴或， 解得或， ∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键． 52．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)当或时，为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【解析】（1）证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； （3）解：分情况讨论： 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用、直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想解答是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 第9章 单元阶段复习Ⅱ—（特殊）平行四边形的综合应用 八大题型，含四类分层难度 目录： 题型1：分层难度Ⅰ 题型2：分层难度Ⅱ 题型3：分层难度Ⅲ 题型4：特殊平行平行的坐标简单应用 题型5：作图题及应用（选填+解答题） 题型6：分层难度Ⅳ 题型7：动态几何初步 题型8：中点四边形、动点等有关判定问题 题型1：分层难度Ⅰ 1．在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，则的周长是（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 3．矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 5．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为 ． 8．在菱形中，已知，，那么菱形的面积为 ． 题型2：分层难度Ⅱ 9．在平行四边形中，若，则的度数为 ． 10．在中，，则 ． 11．如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于 ． 12．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ． 13．如图，点E在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为 ． 14．如图，在矩形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 15．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 16．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 17．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 18．如图，菱形的对角线，交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 19．如果菱形的边长是，一个内角是，那么菱形较短的对角线长等于（   ） A． B． C． D． 题型3：分层难度Ⅲ 20．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 21．如图，在菱形中，若，的长为2，则的长是 ． 22．如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为 ．    23．如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ）      A．12 B．8 C．6 D．4 24．如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 25．如图，在矩形中，，，为中点，连接，过作于，则的长度为 ． 26．如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 27．如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 28．如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ． 29．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 30．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接．若菱形的面积为，，则的长为 ． 题型4：特殊平行平行的坐标简单应用 31．如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 33．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（    ）    A． B． C． D． 题型5：作图题及应用（选填+解答题） 34．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 35．如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ． 36．如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 37．如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 38．用一把刻度尺（可测长度、画直线）画边长为的菱形． (1)如图，小明的画法如下： ①等腰，使； ②量取的中点D，画射线； ③射线上量取点E，使； ④连接、，得四边形． 同：小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由； (2)请你再设计一种画法（与小明的画法不同），画出边长为的菱形，并写出简要步骤（无需证明）． 题型6：分层难度Ⅳ 39．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．如图，在平行四边形中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是 ． 41．在菱形中，，，点E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 42．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 43．如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为 ． 题型7：动态几何初步 44．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 45．如图，在矩形中，对角线，交于点，是上一点，沿折叠，点恰好落在点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则 ． 47．（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    题型8：中点四边形、动点等有关判定问题 48．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 49．如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 50．在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．    (1)t取何值时，四边形为矩形？ (2)是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 51．如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示线段的长度：______cm， (2)当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． (3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 52．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$