河南省实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

河南省实验中学2024-2025学年高一年级下期月考一 数学 考试时间：120 分钟 分值：150 分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）. 1．已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 2．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A． B． C．－1 D．－1 8．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 10．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则动点的轨迹经过的内心 B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若为的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12．在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是 ． 13．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为 . 14．在中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）. 15．（13分）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 16．（15分）已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用来表示，. （2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由. 17．(15分)设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 18．（17分）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 19．（17分）在中，角所对的边分别是，． (1)求角B的大小； (2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值； (3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为． 答案第16页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2024-2025学年度高中数学月考考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A D B C D BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 2．A 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 3．A 【分析】分别求出与，根据向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 则      ， 所以． 故选：A. 4．A 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 5．D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          6．B 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B 7．C 【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解. 【详解】在ABC中，由正弦定理得， ∴AC＝100． 在ADC中，， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝. 故选：C 【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解. 8．D 【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解. 9．BD 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 10．BCD 【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到可判断B；根据，计算可判断C；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断D. 【详解】对于A选项，设中点为，如图， 则，， 所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确； 对于B选项，， 可得 ，即，所以点为的重心,故B正确； 对于C选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于D选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线，如图， 又因为，所以垂直平分，故，正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 12． 【分析】利用正弦定理得到，即可求出的取值范围. 【详解】由正弦定理，要使有两解，则，即， 所以，即的取值范围是. 法二：由正弦定理可得， 由题意可知：关于的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，    因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故答案为： 13． 【分析】利用正弦边角关系及和角正弦公式、三角形内角性质整理化简可得，再由及向量数量积运算律求得，最后应用面积公式求面积. 【详解】由，得， 即，因为，所以， 因为，所以， 由，两边平方， 所以，则. 故答案为： 14．或0 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以. （2）因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 16．（1），；（2）不垂直，理由见解析. 【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解； （2）求出，，再求出，又，即得证. 【详解】解：（1）， 因为，所以. （2）与不垂直.证明如下： 由可得，， ，又因为，所以， ， 所以与不垂直. 17．(1) (2) 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 19．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解， （2）根据余弦定理得,进而利用向量的夹角公式求解， （3）先证明垂心的性质，利用，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解. 【详解】（1）由可得,故， 由于,故，所以, 由于,故 （2）由余弦定理可得， 解得（负值舍去）， 因为即为向量与的夹角， 设，， 则， 因为，， 所以，， 故，， 所以， 故． （3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心； 证明：由题意可知 则 因为为外心，所以 则，即 同理可得： 所以，点为的垂心得证， 因此由于为的垂心，为的外心， 故，其中， 设外接圆半径为，则, , 由于， 故由于，故 【点睛】关键点点睛：由于为的垂心，为的外心，根据欧拉定理可得，即可利用向量模长公式，结合二倍角以及余弦定理求解. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$