精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

双十中学2024级高一下学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 3. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 120° B. 45° C. 60° D. 30° 4. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A B. C. D. 6. 在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（ ） A. B. C. D. 7. 是斜边上一点，若，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 复数，则下列说法正确的有（ ） A. 在复平面内对应的点都位于第四象限 B. 在复平面内对应的点在直线上 C. D. 的最小值为4 10 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是虚数单位，，则____________． 13. 在中，为中点，若，则实数的值为______________． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求 16. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 17. 已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若锐角外接圆的半径为，求的取值范围． 18. 在中，，的面积为，为的中点，于点于点. （1）求面积； （2）若，求的值. 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双十中学2024级高一下学期第一次月考数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算虚部即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：B. 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 120° B. 45° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 4. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 【答案】A 【解析】 【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解即可. 【详解】 如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为， 设到之间的距离为， 由光线反射性质得，所以，即，① 同理可得，② ①②两式相比得，解得， 代入①得， 故选：A． 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 6. 在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分为锐角、为钝角讨论，求出，利用正切的两角和的展开式求出可判断出，从而找到最小角、边，再由正弦定理可得答案. 【详解】， 若为锐角，则由， 所以， 此时 ， 因为，所以，所以为钝角，可得， 因为，所以为最小角，边长最小， 由正弦定理得，解得； 若为钝角，则由， 所以， 此时 ，因为，所以为钝角， 这样内角和大于，故不是钝角， 综上所述，. 故选：A. 7. 是斜边上一点，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解. 【详解】在中，令，由，则， ，， 在中，，由正弦定理，， 即，整理得， 即，因，则有，即的值是. 故选：D 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示： 因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 复数，则下列说法正确的有（ ） A. 在复平面内对应的点都位于第四象限 B. 在复平面内对应点在直线上 C. D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复数的模即可判断D． 【详解】对于AB，因为，所以在复平面内对应的点为，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当时，取最小值为2，故D错误； 故选：BC． 10. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD 11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ） A. B. 面积的最小值是 C. D. 存在最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量减法运算可判断A；先设角表示向量的模，再利用向量数量积以及基本不等式判断C；先根据重心性质转化研究面积，再设角表示向量的模，结合二倍角正弦公式判断B；建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，再根据函数单调性判断D. 【详解】, 所以，选项A正确； 过点作，交直线于点，交直线于点， 因为点到、的距离分别为1、2，所以, 设，则因为，所以， 从而， ， ， （当且仅当时取等号），因此选项C正确； 因为，所以为重心，因此， ， 当且仅当时取等号，即，因此选项B错误； 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则可设，所以， ， ， 因为，所以 因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设虚数单位，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由虚数的定义及复数模的定义计算即可． 【详解】，所以， 故答案为：． 13. 在中，为中点，若，则实数的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可． 【详解】，，， ， 为中点， ， ， ， ， 即， 即，得，得． 故答案为：． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用坐标求出模. （2）利用垂直关系的坐标表示求出，进而求出夹角余弦. 【小问1详解】 点，，，则，， 由A，B，C三点共线，得，则，解得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，得，解得，， 所以 16. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】（1）70海里 （2）2小时 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【小问1详解】 根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． 【小问2详解】 由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 17. 已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若锐角外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中角之间的关系及正弦定理的正弦值，进而求出角的大小； （2）由正弦定理可得，的表达式，再由角的范围可得解． 【小问1详解】 在三角形中，由题意， 再由正弦定理可得：，而， 锐角三角形中，， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 解得， 所以 ，又，所以， 所以， 所以的取值范围为． 18. 在中，，的面积为，为的中点，于点于点. （1）求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，，作于点，于点，可得，，代入上式得解； （2）延长到点，使，连接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得结果. 【小问1详解】 在四边形中，，， 故， 故， 作于点，于点， 又为的中点， 则， ， 故. 【小问2详解】 设的三条边，，分别为，，， 由，知， 延长到点，使，连接， 则，， 则在中，，， 故由与可得，，则， ，则， 由正弦定理得， 则. 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量 所以 所以. 【小问2详解】 因为. 所以 . . ，所以. 【小问3详解】 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$