精品解析：湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

荆门市德艺高级中学2025春季学期高二年级3月考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义，结合极限计算，可得答案. 【详解】方法一： . 方法二： . 故选：B. 2. 下列求导运算不正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可. 【详解】由基本初等函数导数可知：，，故AB正确； 由复合函数求导法则可知：，故C错误； 又幂函数的导数可知：，故D正确； 故选：C. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别求出、，然后根据直线的点斜式即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 故，则， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 故选：B. 4. 设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象先判断的正负性，即可得出的增减性，进而得出极值. 【详解】由题图知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值是，极小值是，①④正确， 故选：B 5. 函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围． 【详解】由题意可得：， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值， 结合题意可得：，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B． 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题． 6. 如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解. 【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法； 当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法； 当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法， 综上：则不同的种植方法的种数为种， 故选：. 7. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别构造函数与，利用导数求得其最值，即可比较大小. 【详解】构造函数，则，令，则， 令，则，则在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，即最小值，且， 则，即，所以，即； 构造函数，其中，则， 令，则，令，则， 则在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，即最小值，且， 则，即，所以，即， 所以 故选：B 8. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，将有两个极值点转化为和的图像有两个交点，画出图像，通过切线解决即可. 【详解】，因为有两个极值点，故有两个根， 即和的图像有两个交点，画出图像， 若，显然1个交点，不合题意；若，设直线和相切于点， 则，解得，故切点是，故，解得. 故选：C. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项. 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确； 令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 10. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 在上的最大值为13 D. 在上的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数与函数切线关系，结合题意，建立方程组，利用导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】依题意可知，点为切点，代入切线方程可得， ，，即， 又由，得， 而由切线的斜率可知，，，即， 由，解得，故A正确，故B错误； 由，， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如表， x 1 + 0 - 0 + 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4 的极大值为，又f， 在上的最大值为13，最小值不为4，故C正确，故D错误； 故选：AC. 11. 已知是函数的导函数，函数对任意的，都满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】构造辅助函数，由题意可知，所以在R上单调递增，根据单调性逐项判断，即可得到结果. 【详解】令（其中），， 因为，，所以， 所以在R上单调递增， 所以，即，即，所以A正确，B错误； ，即，即，所以C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，函数有极值，求得的解析式，利用导数法，作出函数的图象求解. 【详解】由题意可知，， ∴，解得经检验，，符合题意. 故所求函数的解析式为. 则.令，得或， 当x变化时，，的变化情况如表， x 2 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ ∴当时，有极大值；当时，有极小值. 则函数的图象如图所示： 由图象知：要使关于的方程有三个不等实根， 则k应满足. 即实数k的取值范围是. 故答案为： 13. 共有6名志愿者要到三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有______ 种.（用数字作答） 【答案】210 【解析】 【分析】先选出2名志愿者去A社区，再把剩下的4名志愿者分成两组，分配到其他两个社区，根据排列组合的方法计算即可. 【详解】先选出2名志愿者去A社区，有种方法， 再把剩下的4名志愿者分成两组，可以按照1、3和2、2来分，并分配到其他两个社区， 有种方法， 所以共有种方法， 故答案为：210. 14. 若函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数为递增函数，再由，得到函数为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【详解】由函数在R上均单调递增， 所以函数在R上单调递增 又由，所以为奇函数， 则不等式，即为， 可得，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求得的二项式系数和，再通过令，求得的展开式的系数和，根据题意，列出方程，即可求得； （2）根据的通项公式，结合（1）中所求，通过赋值法，即可求得常数项. 【小问1详解】 因为的展开式的二项式系数和为，令得，的展开式的系数和为， 所以，解得（舍去负数），所以， 【小问2详解】 由的展开式的通项， 令，故可得其常数项为. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 17. 现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）求第二次取1号球的概率； （2）若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率计算，利用全概率公式，可得答案； （2）利用条件概率，可得答案. 【小问1详解】 记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. 【小问2详解】 依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 18. 如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程； （2）设点P的坐标为，求游乐园的面积S； （3）求游乐园面积的最大值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）以M点为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为.将代入计算即可； （2）设是曲线上任一点，根据面积公式得到游乐园的面积S. （3）运用导数求最值即可. 【小问1详解】 如图，以M点为原点，所在直线为y轴建立平面 直角坐标系，则.设抛物线方程为. ∵点D在抛物线上，，解得， ∴抛物线方程为. 【小问2详解】 设是曲线上任一点，则 ，，∴矩形游乐园面积为 ， 【小问3详解】 求导得，，令，得， 解得或（舍）. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ∴当时，S有极大值且为最大值， 此时，， ∴游乐园的最大面积为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆门市德艺高级中学2025春季学期高二年级3月考试 数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 4. 设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ） ①函数有极大值 ②函数有极小值 ③函数有极大值 ④函数有极小值 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 84 7. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 8. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 10. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 在上最大值为13 D. 在上的最小值为4 11. 已知是函数的导函数，函数对任意的，都满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是______. 13. 共有6名志愿者要到三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有______ 种.（用数字作答） 14. 若函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 17. 现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）求第二次取1号球的概率； （2）若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 18. 如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程； （2）设点P的坐标为，求游乐园的面积S； （3）求游乐园面积最大值. 19 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$