专题06 空间几何体外接球压轴七种题型汇编-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题06空间几何体外接球压轴七种题型汇编 核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （一）墙角模型（补成长方体） 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 1．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 2．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 3．棱长为4的正方体的所有棱与球O相切，则球的半径为 A．2 B．4 C．2 D．4 4．在长方体中，，，，分别为，，的中点，则平面截长方体的外接球所得的截面圆的面积为 . （二）对棱相等模型（补成长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 1．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球半径为（    ） A． B．3 C． D． 3．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．已知三棱锥的棱，，两两垂直，且，．以为直径的球与平面的交线为，则的长度为（ ） A． B． C． D． 5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则三棱锥的外接球的表面积为 . 6．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 2．直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（   ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B．π C． D． 7．在直三棱柱中，，则三棱柱外接球体积等于（    ） A． B． C． D． 核心考点题型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 技巧： 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： 1．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ． 核心考点题型四 切瓜模型（面面垂直） 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出；1． 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 1．在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 . 6．在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则 . 核心考点题型五 圆锥的外接球 1．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 核心考点题型六 棱台圆台的外接球 1．已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为 ． 3．如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 4．正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06空间几何体外接球压轴七种题型汇编 核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （一）墙角模型（补成长方体） 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 1．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】C 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 故选：C.    2．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出底面直角的外接圆直径，然后利用公式，计算得到外接球的半径，再利用体积公式，即可求解. 【详解】由题意，在直三棱柱中， 因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径， 又由，所以直三棱柱的外接球的直径， 所以，所以外接球的体积为，故选C. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及球内接组合体的性质，其中解答中根据组合体的结构特征，正确求解外接球的半径，利用球的体积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题. 3．棱长为4的正方体的所有棱与球O相切，则球的半径为 A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切. 【详解】因为球O与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R，则，.选C. 【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系. 4．在长方体中，，，，分别为，，的中点，则平面截长方体的外接球所得的截面圆的面积为 . 【答案】 【分析】求出外接球的球心到平面的距离，以及外接球的半径，进一步求出截面圆的半径，从而求出面积. 【详解】如图，连结，易知平面平面，则正方形的中心到的距离等于球心到平面的距离，易知该距离等于点到距离的一半，故球心到平面的距离，长方体的外接球半径，设截面的圆的半径为，则，则该圆的面积为. 故答案为：. （二）对棱相等模型（补成长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 1．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案. 【详解】设球的半径为,球心为由题意，， 所以， 所以在中，由于，所以， 所以，D两点间的球面距离为. 故选：A 2．在三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球半径为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知为直角三角形，且平面，所以可将三棱锥补成直三棱柱，其底面为，高为，三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，由勾股定理求解即可. 【详解】三棱锥中，平面， 所以，可知为直角三角形，且， 由于平面，可将三棱锥补成直三棱柱，其底面为，高为， 直三棱柱的外接球球心位于上下底面外接圆圆心连线的中点处， 为直角三角形，其外接圆半径为斜边长度的一半，即， 设三棱锥外接球半径为，球心到底面的距离为， 根据勾股定理，有， 因此，该三棱锥的外接球半径为， 故选：A. 3．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，，，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接， 则，平面， 设三棱锥外接球的球心为， 由球的性质可得点在上，设，， 外接球的半径为，因为， 所以，即， 又，则， 因为，所以，则， 故选：.    【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（1）棱长为的正方体的外接球半径为； （2）长方体的长，宽，高分别为，，，则其外接球的半径为； （3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球半径为. 4．已知三棱锥的棱，，两两垂直，且，．以为直径的球与平面的交线为，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球到截面圆的距离以及截面圆的半径，球的半径构成勾股定理，即可求解. 【详解】不妨将三棱锥放入长方体中，由于为直径，所以球心在中点处，且半径为,取中点，则, 所以平面,且 , 故到平面的距离为，平面所在截面圆的半径为, 故截的图形为圆，圆的周长为， 故选：D 5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取的中点，的中点，连接，设该球的球心为，设的外心为，连接，，由球的性质得出平面，平面，得四边形为矩形，然后可计算出外接球半径，得表面积． 【详解】解析：如图， 取的中点，的中点，连接，则，且. 所以，又，,平面， 所以平面，连接，则，且， 所以平面. 设该球的球心为，设的外心为，连接，则平面， 所以.连接，，，由是的外心得平面， 所以，可得四边形为矩形. ， 所以为等边三角形，可知， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：． 6．如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 【答案】 【分析】设的中点，的中点为，连接，三棱锥外接球的球心为，可得点在上，设，由条件建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且. 设的中点为，连接，则 平面. 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得点在上， 设，外接球的半径为，连接. 因为，所以，即，又， 则，因为，所以，则. 故答案为：. 核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出即为外接圆的直径，设此堑堵的外接球半径为，则，即可求出. 【详解】因为，，，则， 则外接圆的直径为， 设此堑堵的外接球半径为，则， 即，所以. 故选：C 2．直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，明确外接球球心的位置，根据正三角形的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，设上、下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图： 易知点为三棱柱的外接球球心，且平面， 因为平面，所以， 在正中，，易知， 在中，. 故选：B. 3．已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积. 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 4．已知直三棱柱的外接球表面积为，则该三棱柱的体积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设直三棱柱高为，根据条件得到，再利用棱柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设直三棱柱高为，因为， 所以斜边，底面三角形外接圆半径， 由题有外接球表面积，可得，所以， 所以三棱柱体积为. 故选：D. 5．在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出底面三角形的外接球半径，再根据直三棱柱求出外接球半径，最后计算圆的面积. 【详解】在中，由余弦定理可得， 设外接圆半径为r，再由正弦定理， 因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：C 6．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】计算，，过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点，点为三棱取的外接球球心，计算，，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案. 【详解】如图，为线段的中点，，平面，平面， 故，，平面，故平面， 平面，故， 故， 因为为线段的中点且过的内切圆圆心， 故，即. 所以. 取的中点，连接、， 分别在、上取 、的外接圆圆心、. 过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点， 则点为三棱取的外接球球心. 在中由余弦定理得：， 所以. 设、的外接圆半径分别为、， 三棱锥的外接球半径为. ，解得，同理， 所以，， 所以三㥄锥的外接球表面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握. 7．在直三棱柱中，，则三棱柱外接球体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件将直三棱柱补形成正方体，借助正方体求其外接球半径计算作答. 【详解】在直三棱柱中，因，即，则， 于是得，将其补形成棱长为2的正方体，如图， 则直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球， 球半径，因此，， 所以三棱柱外接球体积等于. 故选：A 核心考点题型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 技巧： 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： 1．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 2．已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆半径求法求底面的外接圆半径，再由平面，根据线面垂直模型求外接球半径，进而求球体面积. 【详解】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 3．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据面面角的定义得到为平面与平面所成角，然后根据正弦值得到，再将三棱锥的外接球转化为三棱柱的外接球，计算半径求体积即可. 【详解】 取中点，连接， 因为平面，三角形为等边三角形，平面， 所以，所以，，，， 三角形外接圆半径， 为平面与平面所成角， 在直角三角形中，，则，， 如图，三棱锥可补成三棱柱，则三棱锥的外接球和三棱柱的外接球相同， 所以三棱锥得外接球半径， 所以三棱锥外接球体积为. 故答案为：. 核心考点题型四 切瓜模型（面面垂直） 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出；1． 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 1．在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，设三棱锥的外接球的球心为，过作交延长线于点，然后根据已知数据在中可求出三棱锥的外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】如图取的中点，的中点，连接，则， 因为为等腰三角形，所以, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为直角三角形，且，所以为的外心， 设三棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以‖， 在等腰中，，， 则，的外心在外， 所以， 在中，，则， 所以 设三棱锥的外接球的半径为，则， 过作交延长线于点，则， 在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 2．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直可得平面，结合等腰直角三角形的性质可得外接球的球心在上，即可利用勾股定理求解半径，进而由表面积公式求解. 【详解】取中点，连接 ，故， 由于平面平面，且交线为，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上， 设球半径为，则， 解得， 故表面积为， 故选：A 3．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】   设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E， 由于平面平面，∴平面． 由于是等边三角形，则， ∴，解得． 设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心， O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形， 则，， ， ∴外接球表面积． 故选：C． 4．如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，利用球的截面性质得到四边形为矩形，然后设外接球半径为，由求解. 【详解】解：如图， 设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心， 则面面. 由题意得为的外心， 在中，， 所以， 又四边形为矩形， ，设外接球半径为， 则外接球表面积， 故选：B. 5．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 . 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据等边三角形的性质及面面垂直的性质定理得平面，根据直角三角形的性质得的外接圆的圆心为M，所以三棱锥的球心在上，利用勾股定理求解球的半径，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】取中点，连接，由，得， 由于平面平面，且交线为，平面，故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上，且 设球半径为，则， 解得，故表面积为. 故答案为： 6．在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则 . 【答案】2 【分析】利用两面垂直的三棱锥外接球半径满足公式，列式计算求得，再利用勾股定理即可得解. 【详解】依题意，作出三棱锥的直观图，如图，不妨记，      因为该三棱锥的外接球表面积为，设该外接球的半径为， 则，解得， 因为，所以是外接圆的直径，即， 因为是等边三角形，记外接圆的直径为， 则， 因为平面平面，两者交线为，即， 所以由，得，解得， 记的中点为，连接， 因为是等边三角形，所以， 又平面平面，两者交线为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在等边中，，则， 在中，， 所以在，. 故答案为：. 核心考点题型五 圆锥的外接球 1．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得． 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 2．已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意作出图形，找到轴截面三角形的外心，即为外接球的球心． 【详解】如图，，，可得， 取中点，作交延长线于， 则为的外心，也即圆锥外接球的球心. 设，则，， ，得， 外接球半径， ． 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的外接球表面积，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心的确定. 核心考点题型六 棱台圆台的外接球 1．已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，      设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 2．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R，根据垂径定理列式求解即可. 【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示， 设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解； 当两底面在球心异侧时，有，即，所以，即，则，． ∴这个球的表面积是． 故答案为： 3．如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，底面，根据正四棱台的体积求出棱台的高，即可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则， 底面，平面，∴． 过作于点，则，∴底面． ∴该正四棱台的体积，∴． 连接，∵， ∴四棱台外接球的球心在的延长线上， 设，则，， ， 由，得，解得， 故，即外接球的半径， ∴外接球表面积为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出正四棱台的高，从而确定外接球的球心球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径. 4．正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】或. 【分析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解. 【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，. 设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 故答案为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$