专题6.3 二项式定理（七大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.3 二项式定理（七大题型） 【考点1：求二次项展开式】 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【考点3：求指定项的二次项系数】 【考点4：二项系数和】 【考点5：求系数最大(小)】 【考点6：二项展开式各项的系数和】 【考点1：求二次项展开式】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 2．（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 3．（2025·河南·模拟预测）设（其中、），则 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 【考点2：求二次项展开式的第k项】 6．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（22-23高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 9．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 10．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 11．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 12．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 13．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 14．（23-24高二下·北京延庆·期中）在的展开式中. (1)求第项的二项式系数； (2)求的系数； (3)求第项. 15．（23-24高三上·上海普陀·期末）的常数项为第3项，求 【考点3：求指定项的二次项系数】 16．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）展开式中第6项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·北京延庆·一模）的展开式中，的系数为 . 18．（24-25高三上·河北沧州·期末）的展开式的第4项的二项式系数为 ． 28．（24-25高三上·北京·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【考点4：二项系数和】 19．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 20．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（    ） A．1960 B． C．40 D． 21.（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 22．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 23．多选题（24-25高二上·江西吉安·期末）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 24．（2018·湖北·一模）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 25．（24-25高三上·北京丰台·期中）二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 26．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 27．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【考点5：求系数最大(小)】 28．（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 30．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 31．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 32．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 33．（23-24高二下·山东枣庄·期中）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 34．（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【考点6：二项展开式各项的系数和】 35．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 36．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 37．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，则 ． 38．（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 39．（24-25高二上·江西·阶段练习）若，则 . 40．（24-25高三上·广东惠州·期中）在的二项展开式中，各项的系数和为 . 41．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 二项式定理（七大题型） 【考点1：求二次项展开式】 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【考点3：求指定项的二次项系数】 【考点4：二项系数和】 【考点5：求系数最大(小)】 【考点6：二项展开式各项的系数和】 【考点1：求二次项展开式】 1．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： 2．（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 3．（2025·河南·模拟预测）设（其中、），则 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式计算的值，即可得出的值. 【详解】因为 ，其中、， 故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用二项式展开公式即可得解． 【详解】（1） . （2） . 5．（23-24高二上·全国·课后作业）求的展开式． 【答案】答案见解析 【分析】利用二项展开公式运算即可. 【详解】 ． 【考点2：求二次项展开式的第k项】 6．（24-25高二上·江西·期末）二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 7．（22-23高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用二项展开式的通项求解可得. 【详解】的展开式的通项公式 . 令，解得， 可得， 即的系数为. 故选：A. 8．（20-21高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令可得为常数项，可得，可得， 故选：C. 9．（2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则 ． 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 10．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 11．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项可得结果. 【详解】∵展开式中的通项为， ∴第4项是. 故答案为：. 12．（2025·山东潍坊·模拟预测）的展开式的第8项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为的展开式的通项公式， 令，则， 所以展开式的第8项是 . 故答案为: . 13．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 【答案】7 【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可. 【详解】由题意知二项式展开式通项公式为， 又因为的系数为84，所以， 所以. 14．（23-24高二下·北京延庆·期中）在的展开式中. (1)求第项的二项式系数； (2)求的系数； (3)求第项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 根据展开式的通项公式求二项式系数； （2）由展开式的通项公式求系数； （3）根据展开式的通项公式求项. 【详解】（1）第项的二项式系数为. （2）展开式中的第项为 , 由已知，令，则，则   , 则的系数为 . （3）因为 , 求第项，即时， , 所以第项为. 故答案为：7. 15．（23-24高三上·上海普陀·期末）的常数项为第3项，求 【答案】 【分析】展开式的第项是常数项，即得指数为，求出的值即可． 【详解】因为的常数项为第3项， 所以，， 所以，即. 故答案为：. 【考点3：求指定项的二次项系数】 16．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 5．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）展开式中第6项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第6项的二项式系数即可求解. 【详解】展开式中第6项的二项式系数是， 故选：C. 17．（2025·北京延庆·一模）的展开式中，的系数为 . 【答案】60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项公式：， 令，解得， 所以可得第三项中的系数是. 故答案为：60 18．（24-25高三上·河北沧州·期末）的展开式的第4项的二项式系数为 ． 【答案】35 【分析】先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解. 【详解】因为的展开式的通项公式为. 所以第4项的二项式系数为. 故答案为：35. 28．（24-25高三上·北京·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 【考点4：二项系数和】 19．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 【答案】A 【分析】先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果. 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 20．（24-25高三下·贵州·阶段练习）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（    ） A．1960 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】因为展开式的各项的二项式系数和为32，所以，解得， 则展开式的通项公式为， 令，得展开式中含的系数为. 故选：A 21.（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 22．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（    ） A．40 B．80 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果. 【详解】由展开式二项式系数和为，可得， 易知展开式第项， 令，即的系数为40， 故选：A. 23．多选题（24-25高二上·江西吉安·期末）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 24．（2018·湖北·一模）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 【答案】 【分析】根据所有项的二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 25．（24-25高三上·北京丰台·期中）二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 【答案】 5 -5 【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算展开式中项的系数. 【详解】二项式展开式的各二项式系数之和为32，则有，得； 二项式展开式的通项为，且， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：5；-5. 26．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． （2）因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 27．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】(1)6； (2)1. 【分析】（1）由二项式系数和定义可直接得n的值； （2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以； （2）因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 【考点5：求系数最大(小)】 28．（24-25高三上·重庆长寿·期末）设，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是. 故选：B. 29．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 30．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 31．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【答案】12 【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论． 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 32．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】根据二项式展开式通项得到，由求解即可. 【详解】的展开式的通项为，且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6， 故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为. 故答案为：7 33．（23-24高二下·山东枣庄·期中）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 34．（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】(1)1 (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【详解】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为； （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； （3）由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 【考点6：二项展开式各项的系数和】 35．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式，令求得各项系数的和，解得的值，代入的值，写出二项式的展开式通项，令求出即可得到结果. 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 36．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用赋值法令可得，令可得，再解方程即可得到答案. 【详解】令可得， 令可得， 所以， 设，, 由可知是增函数， 又,故. 故选：B. 37．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则自然数（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】赋值法求得，，结合已知列方程求即可. 【详解】令，得， 令，得， 所以. 故选：B 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，则 ． 【答案】 【分析】应用赋值法求所有项系数之和. 【详解】令，则. 故答案为：16 38．（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出值即可得解. 【详解】取，得， 取，得， 所以. 故答案为：0 39．（24-25高二上·江西·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用赋值法，代入求解即可. 【详解】令，则， 即. 故答案为：. 40．（24-25高三上·广东惠州·期中）在的二项展开式中，各项的系数和为 . 【答案】 【分析】直接令即可求出二项展开式各项的系数和. 【详解】令，则二项式展开式各项的系数和为. 故答案为： 41．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据各二项式系数的和可得的值； （2）利用赋值法可求得所有项系数和为1. 【详解】（1）由所有二项式系数的和为，可知， 可得． （2）设二项式可化为． 令，则． 所以展开式中所有项的系数和为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$