精品解析：河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024~2025学年第二学期高二3月夯基考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒ 【详解】不同的选择种数为. 故选：B. 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 3. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 6. 已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 8. 把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥外接球半径与其棱长、高等的关系式，构造函数并求导利用函数单调性即可得出当时，半径最小为. 【详解】易知当体积为2的正四棱锥的所有顶点均在球体的表面时，球形原材料的半径最小． 设正四棱锥的底面边长为，球心为，底面中心为，高为，如下图所示： 易知底面的外接圆的半径为， 由球的性质可知，即， 整理得， 又正四棱锥的体积为2，所以，所以，所以． 设，则， 由得，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正四棱锥体积与其外接球半径的关系，通过构造函数并利用导数判断得出单调性即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用公式求导可判断A正确，因为为常数，可得，即B错误；利用导数的除法法则计算可得C错误，显然正确. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，故D正确． 故选：AD． 10. 设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导函数的图象正负，进而得到原函数的单调性，最后得到结果即可. 【详解】由题意知与轴有三个交点， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值点为1 B. 的最小值为3 C. 不存在过原点且与曲线相切的直线 D. 若，且，则的最小值为128 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析单调性可得函数的极值可得A正确；举反例可得B错误；设切点由导数的意义得到切线的斜率，再由点斜式得到切线方程，再利用切线过原点化简可得C正确；由已知等式化简可得，再令，构造函数求导分析单调性得到最小值可得D正确. 【详解】对于A，函数的定义域是， 令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增． 所以的极小值点为1，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，设切点坐标为，则切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，则有， 即，无解，即过原点且与曲线相切的直线不存在，故C正确； 对于D，由，得，即， 又且，所以， 又，所以， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，所以的最小值为128，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数的定义求目标式的值. 【详解】由题设，根据导数的概念知. 故答案为：6 13. 某市教育局为切实落实政策《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见》，安排3名校长和4名教师到甲、乙、丙三所学校进行轮岗交流，要求每所学校安排一名校长，每个校长和老师只去一个学校，则不同的安排方案种数是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理分别安排校长和教师，求出方案总数即可. 【详解】先安排校长：每所学校安排名校长， 则不同的安排方案种数是； 再安排教师：每个教师均有3个学校可以选择， 则不同的安排方案种数是， 综上所述，由分步乘法计数原理得不同的安排方案种数是． 故答案为： 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式得到，再结合给定条件建立方程，求解参数即可. （2）先求出切点，再利用导数的几何意义得到斜率，进而求出切线方程即可. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由上问得，所以，则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 16. 已知函数在处有极小值3． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质结合给定条件建立方程，求解参数，并且代入检验使其符合题目条件即可. （2）利用导数判断已知函数的单调性，求出极大值和极小值，再求出边界端点值，进而求出函数值域即可. 【小问1详解】 由题意得函数， 则，由题意得，解得 当时，，令，解得． 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则是极小值点，符合题意，故． 【小问2详解】 由（1）知， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增，则当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 而，故在上的值域为． 17. 设函数，其中为自然对数的底数．求证： （1）当时，； （2）． 【答案】（1） 证明：令， 则， 当时，，在上单调递增， 故， 即当时，成立. （2） 由（1）可得：当时，， 要证，即证，即证， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以在处取得最小值， 所以， 即恒成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论； （2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求的极值点个数 （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）极值点个数为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得解； （2）参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以在上单调递减， 故的极值点个数为． 【小问2详解】 当时，，不等式可化为在上恒成立， 令，则， 由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故实数的最小值为． 19. 若对，且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证：． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定定义判断并证明即可． （2）利用给定定义结合导数建立不等式，再用分离参数法求解即可． （3）利用给定条件结合换元法转化为一元不等式的证明问题，利用导数证明不等式即可． 【小问1详解】 函数是函数在区间上的1级控制函数. 理由如下：因为，且，，所以，， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数. 【小问2详解】 由函数是函数在区间上的级控制函数，得， 又，且在上单调递增，所以，即恒成立. 令，所以当，且，时，恒成立，所以在上恒成立. 因为，所以在上恒成立， 又单调递增，所以在上的最小值为，所以，解得， 又，所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 证明：因为函数在区间上存在两个零点，，不妨设，所以， 又函数是函数在区间上的级控制函数， 则，即，， 即，，. 要证，即证，即证，即证. 令，所以， 所以在上单调递增，所以，即时，， 即成立，所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高二3月夯基考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ） A. 56 B. 15 C. 28 D. 30 2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ） A. B. C. D. 3. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值点为1 B. 的最小值为3 C. 不存在过原点且与曲线相切的直线 D. 若，且，则的最小值为128 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________. 13. 某市教育局为切实落实政策《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见》，安排3名校长和4名教师到甲、乙、丙三所学校进行轮岗交流，要求每所学校安排一名校长，每个校长和老师只去一个学校，则不同的安排方案种数是______ 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 已知函数在处有极小值3． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 17. 设函数，其中为自然对数的底数．求证： （1）当时，； （2）． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值点个数 （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 19. 若对，且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $