精品解析： 重庆市第二十九中学校2024—2025学年下学期八年级数学月考试卷

八年级数学定时作业（一） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知两正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（ ） A B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形正方形 D. 若且，则四边形是正方形 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 9. 如图，将正方形木块放置在一个粗糙斜面上，斜面与水平方向的夹角为，此时木块在重力，摩擦力，支持力的共同作用下处于静止状态，已知摩擦力与斜面平行，支持力垂直于斜面，以为边构作矩形，则的合力即为．若木块重牛，此时斜面对木块的支持力为（ ） A. 牛 B. 牛 C. 牛 D. 牛 10. 如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 10 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 在平行四边形中，比大，则__________． 13. 已知实数在数轴上的位置如下图所示，化简的结果为______． 14. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 15. 如图，在四边形中，，，连接对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为_________． 16. 如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是________． 三、解答题（每题10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19. 化简求值：，其中． 20. 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 21. 为迎接植树节到来，红岩村街道准备对一块四边形空地进行绿化改造，重庆二十九中学生物兴趣小组的同学们帮助街道工作人员测量得到以下数据：，，．从点修一条垂直的小路（垂足为），，且恰好是的中点． （1）求边长； （2）求空地的面积． 22. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 23. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 24. 在中，已知，，是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图3，点、分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学定时作业（一） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．是最简二次根式，则此项符合题意； B．，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C．，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D．，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，已知两正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， 由勾股定理得，， ∴字母所代表的正方形面积为， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除法则、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误； B．，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则求出的值，再根据夹逼法求出的范围即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 5. 如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长， 由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为． 故选：A． 6. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，故选项C正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∵或，四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 9. 如图，将正方形木块放置在一个粗糙斜面上，斜面与水平方向的夹角为，此时木块在重力，摩擦力，支持力的共同作用下处于静止状态，已知摩擦力与斜面平行，支持力垂直于斜面，以为边构作矩形，则的合力即为．若木块重牛，此时斜面对木块的支持力为（ ） A. 牛 B. 牛 C. 牛 D. 牛 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，由题意可得，即得，得到，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴斜面对木块支持力为牛， 故选：． 10. 如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 延长到点N，使得， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴当D，F，N三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平行四边形中，比大，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知实数在数轴上的位置如下图所示，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，绝对值的性质，由数轴可得，，，即得，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可，根据数轴判断出和的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ， 故答案为：． 14. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 15. 如图，在四边形中，，，连接对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理，取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，结合，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 故答案为：． 16. 如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是________． 【答案】或1或 【解析】 【分析】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．分三种情况考虑，①当时，连接，则易得三点共线，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；②当时，则得四边形是正方形，即可求解；③当时，连接，则可得三点共线，再证明，则可得点F是的中点，从而求解；最后综合上述三种情况即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，； ∵点是的中点， ∴； 由折叠性质知：，，； ①当时，则； 连接，则由勾股定理得：； ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 中，， 由勾股定理得：， 解得：； ②当时，如图， 则点在线段的垂直平分线上， ∴点在线段垂直平分线上， ∵E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴； ③当时，连接，如图； 则； ∵， ∴； ∵， ∴三点共线， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，长为或1或． 故答案为：或1或． 三、解答题（每题10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，然后进行二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的性质化简，然后进行二次根式的乘法除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，并且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了含30度角直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用直角三角形性质求解即可； （2）根据含30度角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交和于点D，E， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 19. 化简求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，负整数指数幂的意义等知识，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据二次根式有意义的条件，负整数指数幂的意义求出x、y的值，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴原式． 20. 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；根据题意用尺规作的平分线交于，作的平分线交于，进而根据全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理完成填空，即可求解． 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点， ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 21. 为迎接植树节的到来，红岩村街道准备对一块四边形空地进行绿化改造，重庆二十九中学生物兴趣小组的同学们帮助街道工作人员测量得到以下数据：，，．从点修一条垂直的小路（垂足为），，且恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 答：这块空地的面积为． 22. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【小问1详解】 证明: 中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 23. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由得，则， ∴， ∴ ． 24. 在中，已知，，是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图3，点、分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得是等边三角形，从而可分别求得，的度数，然后由三角形的内角和定理即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，利用可证得，于是可得，，进而可证得，利用可证得，于是结论得证； （3）根据等边三角形的性质和三角形的中位线定理可得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可得当时最小，然后利用直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ∵， ∴， 即：， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 即：， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，点、分别是边、上的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， 线段沿射线方向平移到， ∴， ∵，为的斜边，随着平移增大， 最小时，最短， 当时， 最短， 如图， ， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并合理做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$