信息必刷卷01（山东济南专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（济南专用） 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D A D B C B C A 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．且 12．甲 13． 14．4 15． 三、解答题:本大题有10个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分）【解析】原式 ． 17．（7分） 【解析】去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m. ∵分式方程有解， ∴x＝4－m不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1. ∴当m≠1时，原分式方程有解． 18．（7分） 【解析】赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 19．（8分） 【解析】（1）解：因为没有测量的长度， 所以无法测量出教学楼的高度， 故答案为：二． （2）解：根据第一组的测量数据，如图，延长交于点，    则四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以， 答：教学楼的高度约为． 20．（8分） 【解析】（1）证明：如图：连接OB，OC，并延长CO交AB于点F 在与中 又 又是⊙O的半径 CE是⊙O的切线； （2）解：如图：设AE与⊙O的交点为G，连接BG 是⊙O的直径 又 设DG=6x，DO=5x 又 ， ． 21．（9分） 【解析】（1）解：从图表中可以看出，等级的学生为20名，等级的学生所占的比例为，等级的学生数为60名， 本次抽样调查的总人数为：（名， 等级对应的圆心角的度数为：； （2）解：学生总人数为200名，、、三个等级的人数之和为：（名，A、B两个等级的人数之和为：60人， 学生每天完成课外作业时间的中位数落在等级； （3）解：估计该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生数为：（名， 该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生数约为1440名． 22．（10分） 【解析】（1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 则： 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 则： 解得 为正整数， 、11、12，24、26、28． 答：有三种进货方案： ①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件； ③ 型号衣服购买12件，型号衣服购进28件． 23．（10分） 【解析】（1）∵，， ∴， ∴， ∵过，， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）由函数图象可知，不等式成立时，或； 故答案为：或； （3）∵直线与轴交点为， ∴，由直线可知，， 当时，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得：，， 当时，， ∵， ∴，即， 整理得，解得：，（不合题意，舍去）， 综上可知的值为，，． 24．（12分） 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图所示，过点作于点，    当时，， ∴ ， ∴， 设，直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴，，， ∴ ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 （3）解：∵ ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为， 当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为线段与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴直线解析式为 ∵直线解析式为，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M即为射线与抛物线的交点， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为；    综上所述，点M的横坐标为或． 25．（12分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）答：． 证明：过点D作交于点M， ∴， ∵，由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点D作交于点M， ∵，， ∴， ∴， 即， 设，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向： 未来中考数学试题将更加注重探究性、开放性、应用性和综合性。试题将更加注重考查学生的思维过程、创新意识和解决实际问题的能力。 中考·新考法：未来中考数学试题将更加灵活多样，除了常规题型外，呈现了开放性试题（本试卷中第18题）、尺规作图题、过程性学习试题、项目式学习试题（本试卷中的第19题）、阅读理解试题和探究性试题（第25题）等题型。 中考·新情境：“无情景不成题，无价值不入题”，数学中考试题中的数学文化试题、跨学科试题、真实情景试题等题型（本试卷中涉及到10道题目），充分体现了情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。 命题·大预测：本试卷基础题、中档难题和高难度题的分值比例大约为6：3：1。基础题型主要考查学生对基础知识点的掌握情况，主要分布在数与式、方程与不等式、统计与概率；中等难度题涉及一些综合应用和简单推理，分布在解直角三角形、应用题以及几何图形部分，需要学生能够灵活运用基础知识解决实际问题；难题主要分布在图形变化与函数结合，考查学生的综合能力。备考建议：一类考生应将重心放在综合性题目上，二类及以下考生应专注于基础题型，争取中档题。本试卷内题目呈现方式灵活多样，特别是开放性试题、过程性学习试题、项目式学习试题、阅读理解试题和探究性试题，使部分学生不适应。备考建议：加强以上各类题型解题思路和方法训练，以及格式规范化训练。 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．2023的相反数的倒数是（    ） A．2023 B． C． D． 2．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日在巴黎开幕．如图是运动会的领奖台，那么它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．作为我国核电走向世界的“国家名片 ”,“ 华龙一号”是 当前核 电市场接受度最高的三代核电机型之一 ,是我国核电企业研发设计的具有完全 自主知识产权的三代压水堆核 电创新成果,中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后 ,每台机组年发电能力近12000000亿千瓦时。12000000亿用科学记数法表示为 ( ) A.12× 106 B.1.2× 107 C. 1.2× 1014 D.1.2× 1015 4．如图，点是正方形内一点，把绕点旋转至的位置，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 8．2024年11月1日，中国邮政发行《科技创新（四）》纪念邮票一套5枚，将我国取得的5项重大科技成果的创新点和要素浓缩在小小的方寸之间某中学开展“科技节”活动，要从如图所示的5个主题中随机选择两个进行宣讲，则选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率是（    ）. A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与相交于点，延长交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有（    ）    A．②③④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 10．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将△ABC向右平移，直到点B与点D重合为止，设点B平移的距离为x，BC＝2，CD＝4．两个三角形重合部分的面积为Y，现有一正方形FGHT的面积为S，已知＝sin60°，则S关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．函数的自变量的取值范围是 ． 12．甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为85分，方差分别为，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学． 13．将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    14．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米． 15．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 3、 解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（7分）计算： 17．（7分）若关于x的方程有解，求m的取值范围． 18．（7分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 19．（8分）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园内的一栋教学楼的高度，同学们设计了两个测量方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测角仪，标杆，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图       说明 点、、在同一直线上，、为标杆 为教学楼旁边的两层小楼 测量数据 从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为， 从点处测得点的仰角为， (1)根据以上数据请你判断，第________小组无法测量出教学楼的高度？ (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出教学楼的高度．（精确到，参考数据：．．） 20．（8分）如图，⊙O的弦AB=8.C为☉O上一点且AC=BC，过C点作AB的平行线与半径AO的延长线交于点E，设AE与BC交于点D (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若sin∠ACB=．求AD的长． 21．（9分）2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生课外作业完成时间不超过90分钟．某中学为了解九年级学生每天完成课外作业时间，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，列表如下： 等级 A B C D 每天完成课外作业时间（分钟） 根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了______名学生；在扇形统计图中，C等级对应的圆心角的度数______ (2)该校九年级学生每天完成课外作业时间的中位数落在______等级． (3)若该中学九年级共有2400名学生，请你估计该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生有多少名？ 22．（10分）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元．要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件． （1）求型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案． 23．（10分）如图，已知直线：与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若不等式成立，则的取值范围是______； (3)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、、，当的面积是面积的一半时，求的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25．（12分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，D是边上的点，，连接，．求证． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，延长至点E，使，连接交于点F．判断与的数量关系并证明．” 问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行研究之后发现，图2中线段与线段的比值是固定不变的．该小组提出下面的问题，请你解答：“在（2）的条件下，求的值．” 试卷第6页，共8页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（济南专用） 考情速递 中考·新动向： 未来中考数学试题将更加注重探究性、开放性、应用性和综合性。试题将更加注重考查学生的思维过程、创新意识和解决实际问题的能力。 中考·新考法：未来中考数学试题将更加灵活多样，除了常规题型外，呈现了开放性试题（本试卷中第18题）、尺规作图题、过程性学习试题、项目式学习试题（本试卷中的第19题）、阅读理解试题和探究性试题（第25题）等题型。 中考·新情境：“无情景不成题，无价值不入题”，数学中考试题中的数学文化试题、跨学科试题、真实情景试题等题型（本试卷中涉及到10道题目），充分体现了情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等。 命题·大预测：本试卷基础题、中档难题和高难度题的分值比例大约为6：3：1。基础题型主要考查学生对基础知识点的掌握情况，主要分布在数与式、方程与不等式、统计与概率；中等难度题涉及一些综合应用和简单推理，分布在解直角三角形、应用题以及几何图形部分，需要学生能够灵活运用基础知识解决实际问题；难题主要分布在图形变化与函数结合，考查学生的综合能力。备考建议：一类考生应将重心放在综合性题目上，二类及以下考生应专注于基础题型，争取中档题。本试卷内题目呈现方式灵活多样，特别是开放性试题、过程性学习试题、项目式学习试题、阅读理解试题和探究性试题，使部分学生不适应。备考建议：加强以上各类题型解题思路和方法训练，以及格式规范化训练。 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．2025的相反数的倒数是（    ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数和倒数的定义进行求解即可． 【解析】解：2023的相反数是， 的倒数是， ∴2023的相反数的倒数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；乘积为1的两个数互为倒数． 2．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日在巴黎开幕．如图是运动会的领奖台，那么它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一行三个相邻的矩形． 故选：B． 3．作为我国核电走向世界的“国家名片 ”,“ 华龙一号”是 当前核 电市场接受度最 高 的三代核 电机 型之一 ,是我 国核 电企业研发设计 的具有完全 自主知识产权 的三代压水堆核 电创新成果 ,中 核 集 团“华龙一号”示范工程全面建成后 ,每 台机组年发 电能力近 12000000亿千瓦时。12000000亿用科学记数法表示为 ( ) A.12× 106 B.1.2× 107 C. 1.2× 1014 D.1.2× 1015 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：12000000亿用科学记数法表示为1.2× 1015． 故选：D． 4．如图，点是正方形内一点，把绕点旋转至的位置，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得，结合正方形的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵把绕点旋转得到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和正方形的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键． 6．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解； 【详解】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°； 正五边形的内角为：，内角的补角为：72°； ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关键． 7．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C 8．2023年11月1日，中国邮政发行《科技创新（四）》纪念邮票一套5枚，将我国取得的5项重大科技成果的创新点和要素浓缩在小小的方寸之间某中学开展“科技节”活动，要从如图所示的5个主题中随机选择两个进行宣讲，则选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到“A”和“D”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：5个主题分别用A、B、C、D、E表示， 画树状图如下： 共20种等可能的结果数，其中恰好选到“A”和“D”有2种， ∴选到“人工合成淀粉”和“夸父一号”主题的概率为． 故选：B． 9．如图，在正方形中，，分别为，的中点，与相交于点，延长交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有（    ）    A．②③④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】用证，可以判断①正确；证明，得，，判断②错误；由线段比例关系，得出面积比可以判断③正确；证，得，证四边形是正方形，可以判断④正确；由正方形的性质和全等三角形的性质可判断⑤正确． 【详解】四边形是正方形， ， ， ，分别为，的中点， ，， ， ， ， ；故①正确； ， ， ， ， ， ， ，故②错误； ， ， ， ， ，故③正确； 如下图，过点作于点，交的延长线上于点，   ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ， 四边形是正方形， ，故④正确； ， ， 四边形是正方形， ，， ，故⑤正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将△ABC向右平移，直到点B与点D重合为止，设点B平移的距离为x，BC＝2，CD＝4．两个三角形重合部分的面积为Y，现有一正方形FGHT的面积为S，已知＝sin60°，则S关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由＝sin60°，得：S＝，分段讨论函数图象，根据等边三角形的性质求得，进而根据二次函数图象的性质求解即可 【详解】解：由＝sin60°，得：S＝ ①当0≤x≤2时， 则两个三角形重合部分为边长为x的正三角形， 则Y＝x2， 故S＝＝×x2＝x2， 则该函数为开口向上的抛物线，当x＝2时，S＝x2＝2； ②当2＜x＜4时， 此时则两个三角形重合部分为边长为2的正三角形， 故S＝2； ③当4≤x≤6时， 同理可得：S＝（6﹣x）2， 则该函数为开口向上的抛物线， 当x＝4时，S＝（6﹣x）2＝2，当x＝6时，S＝0； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质和特殊角的三角函数值，根据题意分三段列出函数解析式是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x的取值范围． 【详解】解：由题可得，， 解得：且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 12．甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为85分，方差分别为，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学． 【答案】甲 【分析】两组数据进行比较，方差小的一组更稳定． 【详解】， 甲同学的成绩比较稳定． 故答案为：甲． 【点睛】方差是衡量一组数据稳定程度的一个度量，方差越小，其数据越稳定． 13．将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    【答案】/50度 【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等． 14．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米． 【答案】4 【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是解题的关键．先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，求出当时，，即可得到答案． 【详解】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为： 代入得，，解得， 当时，，解得， 点点 点，点在直线上， 设直线的解析式为： 代入得， 解得 当时，， 此时小泽距离乙地的距离为：千米 故答案为：4 15．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】C 【分析】根据AB为半径的圆弧交CD于F，得出AF=AB=，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，根据勾股定理DF=，可证△ADF为等腰直角三角形，得出∠BAF=∠DFA=45°，根据扇形面积公式求出S扇形ABF=，再求出S△AMF=即可． 【详解】解：∵AB为半径的圆弧交CD于F， ∴AF=AB=， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO， ∴DF=， ∴AD=DF=2， ∴△ADF为等腰直角三角形， ∴∠DFA=45°， ∴∠BAF=∠DFA=45°， ∴S扇形ABF=， ∵CF=DC-DF=， ∵DC∥AB， ∴∠FCO=∠MAO， 在△AOM和△COF中， ， ∴△AOM≌△COF（ASA）， ∴AM=CF=， ∴S△AMF=， ∴S阴影=S扇形BAF-S△AMF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（7分）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 17．（7分）若关于x的方程有解，求m的取值范围． 【答案】m≠1 【详解】试题分析：先把分式方程化为整式方程，求出用m表示的x，然后根据有解可知x≠0，求出m的取值范围. 试题解析：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m. ∵分式方程有解， ∴x＝4－m不能为增根． ∴4－m≠3.解得m≠1. ∴当m≠1时，原分式方程有解． 18．（7分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充证明见详解 【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论． 【详解】解：赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 19．（8分）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园内的一栋教学楼的高度，同学们设计了两个测量方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测角仪，标杆，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图       说明 点、、在同一直线上，、为标杆 为教学楼旁边的两层小楼 测量数据 从点处测得点的仰角为，从点处测得点的仰角为， 从点处测得点的仰角为， (1)根据以上数据请你判断，第________小组无法测量出教学楼的高度？ (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出教学楼的高度．（精确到，参考数据：．．） 【答案】(1)二 (2)教学楼的高度约为 【分析】（1）第二组没有测量有关线段长度； （2）根据第一组的测量数据，延长交于点，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：因为没有测量的长度， 所以无法测量出教学楼的高度， 故答案为：二． （2）解：根据第一组的测量数据，如图，延长交于点，    则四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以， 答：教学楼的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中的仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角的定义，根据锐角三角函数解决实际问题． 20．（8分）如图，⊙O的弦AB=8.C为☉O上一点且AC=BC，过C点作AB的平行线与半径AO的延长线交于点E，设AE与BC交于点D (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若sin∠ACB=．求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1) 连接OB，OC，并延长CO交AB于点F，根据全等三角形的判定定理SSS，可证得，可得，根据等腰三角形的性质，可证得，即可证得，据此即可证得； (2) 设AE与⊙O的交点为G，连接BG，可证得，，由，可得，可得，，设DG=6x，DO=5x，由，可得，，据此即可求得． 【详解】（1）证明：如图：连接OB，OC，并延长CO交AB于点F 在与中 又 又是⊙O的半径 CE是⊙O的切线； （2）解：如图：设AE与⊙O的交点为G，连接BG 是⊙O的直径 又 设DG=6x，DO=5x 又 ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角的三角函数，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 21．（9分）2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生课外作业完成时间不超过90分钟．某中学为了解九年级学生每天完成课外作业时间，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，列表如下： 等级 A B C D 每天完成课外作业时间（分钟） 根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了______名学生；在扇形统计图中，C等级对应的圆心角的度数______ (2)该校九年级学生每天完成课外作业时间的中位数落在______等级． (3)若该中学九年级共有2400名学生，请你估计该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生有多少名？ 【答案】(1)200； (2)C (3)1440名 【分析】（1）根据类的人数和所占的百分比求出总人数，再用乘以等级所占的比例即可； （2）先求出前三个等级和前两个等级的人数，再根据中位数的定义求解即可； （3）用全校总人数乘以前三个等级的学生所占的比例即可． 【详解】（1）解：从图表中可以看出，等级的学生为20名，等级的学生所占的比例为，等级的学生数为60名， 本次抽样调查的总人数为：（名， 等级对应的圆心角的度数为：； （2）解：学生总人数为200名，、、三个等级的人数之和为：（名，A、B两个等级的人数之和为：60人， 学生每天完成课外作业时间的中位数落在等级； （3）解：估计该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生数为：（名， 该中学九年级学生中每天完成课外作业时间低于90分钟的学生数约为1440名． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（10分）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元．要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件． （1）求型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案． 【答案】（1）型号衣服每件90元，型号衣服每件100元；（2）有三种进货方案：① 型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件；③型号衣服购买12件，型号衣服购进28件． 【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880； （2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28． 【详解】（1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 则： 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 则： 解得 为正整数， 、11、12，24、26、28． 答：有三种进货方案： ①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件； ③ 型号衣服购买12件，型号衣服购进28件． 【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及方程组． 23．（10分）如图，已知直线：与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若不等式成立，则的取值范围是______； (3)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、、，当的面积是面积的一半时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为，， 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m的值；然后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合图象写出答案； （3）需要分类讨论：当−4＜n＜0时和n＜−4时两种情况下的三角形的面积的计算． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵过，， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）由函数图象可知，不等式成立时，或； 故答案为：或； （3）∵直线与轴交点为， ∴，由直线可知，， 当时，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得：，， 当时，， ∵， ∴，即， 整理得，解得：，（不合题意，舍去）， 综上可知的值为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，采用分类讨论和数形结合的数学思想是解题的关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，此时 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，求出，由三线合一定理可得，设， 求出，则，，可得则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的解析式为，当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线l的对称点E，则，由轴对称的性质可得，则可得，即可得到点M即为线段与抛物线的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，则，求出直线解析式为，进而求出，证明，则点M即为射线与抛物线的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图所示，过点作于点，    当时，， ∴ ， ∴， 设，直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴，，， ∴ ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 （3）解：∵ ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为， 当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为线段与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴直线解析式为 ∵直线解析式为，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M即为射线与抛物线的交点， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为；    综上所述，点M的横坐标为或． 25．（12分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，D是边上的点，，连接，．求证． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，延长至点E，使，连接交于点F．判断与的数量关系并证明．” 问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行研究之后发现，图2中线段与线段的比值是固定不变的．该小组提出下面的问题，请你解答：“在（2）的条件下，求的值．” 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，添加合适的辅助线，利用相似三角形的性质求解即可． （1）证明，利用相似三角形的对应角相等可证得结论； （2）过点D作交于点M，证明，证得，进而可证明，利用全等三角形的性质可得结论； （3）过点D作交于点M，证明得到，设，，进而可得，利用平行线分线段成比例得到，结合可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）答：． 证明：过点D作交于点M， ∴， ∵，由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点D作交于点M， ∵，， ∴， ∴， 即， 设，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． 试卷第12页，共28页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$