精品解析：福建省莆田市城厢区南门中学2024-2025学年九年进下学期3月月考数学试题

莆田市南门中学2024－2025学年3月份数学月考卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 26 2. 下列实数中，无理数（ ） A. B. 0 C. D. 3. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　) A. 68° B. 58° C. 72° D. 56° 8. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，则tanC的值是( ) A. 2 B. C. D. 9. 如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24 分） 11. 分解因式_______． 12. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有_______个． 13. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____． 14. 如图，在中，点分别为边，上的点，且，若，则的长为____________． 15. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 16. 已知是直角三角形，连接，以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为______． 三、解答题（86分） 17. 计算：． 18. 若是一元二次方程两个根，则______， ． 【拓展设问】求值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在矩形中，点在边上，，垂足为，，，，求的长． 21. 如图，在中，以为直径与交于点，且． （1）用无刻度直尺和圆规作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的半径等于，且与相切于点，则的度数为________，阴影部分的面积为________（结果保留π）． 22. 武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． （1）若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ （2）根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 24. 如图，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）如图1，当点P是的中点时，求证：； （2）将沿战线AP折叠得到，点落在矩形的内部，延长'交于点F． ①如图1，证明，并求出在（1）条件下的值； ②如图2，交于点H，点G是的中点，当时，试探究与的数量关系，并说明理由． 25. 如图1，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标； （3）如图2，若经过点的直线与抛物线交于、两点，点在点右边，经过点的两直线、与抛物线均有唯一公共点，且、与轴不平行，试说明点在某条定直线上运动，并求出这条定直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市南门中学2024－2025学年3月份数学月考卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 相反数是（ ） A. B. C. D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义求出相反数即可． 【详解】解：的相反数是26． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是. 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 3. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共部分即可得到答案． 【详解】解： 解①得， 解②得 ∴原不等式组的解集为：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是掌握解不等式组的基本步骤． 4. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故选：C． 5. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方分别分析得出即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 则可列方程为， 故选：A 7. 如图，A、D是⊙O上两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于(　　) A. 68° B. 58° C. 72° D. 56° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°． ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（180°﹣68°）=56°． 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，则tanC的值是( ) A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解． 【详解】如图： 在RtACD中，tanC． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数．将角转化到直角三角形中是解答的关键． 9. 如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 10. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24 分） 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋中红球有个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中红球有3个， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键． 13. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积． 【详解】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3， 则四边形面积为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 14. 如图，在中，点分别为边，上的点，且，若，则的长为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质．利用相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：9． 15. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 16. 已知是直角三角形，连接，以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题． 【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE， 是等腰直角三角形， ∴∠HBD=45° ∵∠FBD=45° ∴点B、F、H共线 又是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 三、解答题（86分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可； 【详解】解：原式． 18. 若是一元二次方程的两个根，则______， ． 【拓展设问】求的值． 【答案】4，．的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解． 【详解】解：∵若m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：4，．的值为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据运算顺序，先算括号，再算除法，即可完成化简，然后把x的值代入化简后的式子中即可求出代数式的值． 【详解】 当时， 所以当时，代数式的值为 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，对于混合运算，要注意运算顺序；通分时，减数的分子要放到括号里，否则易发生符号错误． 20. 如图，在矩形中，点在边上，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得，由可得，进而，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ， ． 又，，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 21. 如图，在中，以为直径的与交于点，且． （1）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的半径等于，且与相切于点，则的度数为________，阴影部分的面积为________（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，圆周角定理，扇形的面积等知识． （1）作，交于点P； （2）根据，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，则点P即为所求； 【小问2详解】 解：∵为切线， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：；． 22. 武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． （1）若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ （2）根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； （2）当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，不等式的应用． （1）建立方程的基本思路：A规格茶斤数规格茶斤数，再根据两种规格的茶的斤数之为100斤，如果设一种规格的茶斤数为x，则另一种为斤，从而可列出一元一次方程求解． （2）依据题意列出不等式，先求得A规格的茶最低不少于75斤，然后再根据售价减去进价等于利润列出总利润的表达式，最后根据一次函数的性质确定最大值． 【小问1详解】 解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，则购进B规格的茶斤， 由题意可得， 解得， ∴， 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； 【小问2详解】 解：设该茶庄购进A规格的红茶x斤，则购进B规格的红茶斤， 依题意得，解得． 设本次购进的红茶全部销售完获得的利润为元， 则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 23. 根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：；任务3：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是 【解析】 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，则，由题意可得花圃面积，求解即可； 任务3：设花圃面积为y，由（2）得，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，延长交于点， 设， ， ， ， 由题意可得花圃面积， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， ； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得，即， ， 当，即时，有最大值为273， 此时， 答：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 24. 如图，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）如图1，当点P是的中点时，求证：； （2）将沿战线AP折叠得到，点落在矩形的内部，延长'交于点F． ①如图1，证明，并求出在（1）条件下的值； ②如图2，交于点H，点G是的中点，当时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①，证明见解析，；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由P是的中点，得出，然后根据即可证明； （2）①根据矩形的性质可得，由折叠得，则，即可求证；设，则，在中，得出，列出方程求解即可； ②由折叠可知，，过点作，交于点M，根据等角对等边的得出．由点G为中点，点H是中点，得出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 矩形中，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 由折叠得，，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得，即； ②与的数量关系是． 理由：如图，由折叠可知，， 过点作，交于点M， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点H是中点， ∵，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点G为中点，点H是中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． 25. 如图1，抛物线经过点，点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标； （3）如图2，若经过点的直线与抛物线交于、两点，点在点右边，经过点的两直线、与抛物线均有唯一公共点，且、与轴不平行，试说明点在某条定直线上运动，并求出这条定直线． 【答案】（1） （2） （3）点在定直线：上运动 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先判断出，进而判断出点是中点，再求出解析式，判断出，即可得出解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论； （3）分别设出点和点的横坐标，表示过点和点的直线，根据两个函数有一个交点，求出直线和直线所在的直线解析式，联立求出点的坐标，最后根据根与系数的关系可消去参数，得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，取的中点， ， ，， ， ∵， 点到的距离等于点到的距离， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， 抛物线的解析式为①， 令， ， 或， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 联立①②，得， 解得：（舍或， ； 【小问3详解】 解：设经过点的直线解析式为， 则， ， ， 分别设和点横坐标为，， ，． 令， 整理得， ，． 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，整理得， 由题意可知，， 整理得． 同理可得． 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，解得， ，即， 点的纵坐标为． 即点在定直线：上运动． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，（2）判断出是解本题的关键，（3）得出点的坐标是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $