信息必刷卷01（江苏南京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江苏南京专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的中考数学试题来看，2025年江苏南京中考命题依旧以“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大部分为主体，将综合与实践融入三部分中，以大约7：2：1的难度比例展开考察。与此同时，题目的反套路反映出基础知识的深度应用以及题海战术的落后。所以建议同学们在强化基础知识的同时，一定要注重思维与应用，同时增加开放性、创新型试题的训练。 中考·新情境：1：立足原创，重视创新与应用意识的进展。（例如15.16.25题） 2：初高的衔接，重视学生的高阶思维，体现初高数学的衔接性。（例如14题） 命题·大预测： 预测1：开放性、创新型题型，例如26.27题 预测2：生活实际题型，例如1.10.11.19.20题 预测3：文化融合题型，例如5.6题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．根据国家统计局发布的最新数据，2024年全国出生人口约为954万人，比2023年增加了52万人．其中954万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 5．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，时，（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．因式分解： ． 8．分式方程的解是 ． 9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 10．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 11．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为 °． 12．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ． 13．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ． 14．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 15．有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 16．如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题7分）解不等式组：，并把解在数轴上表示． 18．（本题7分）（1）计算：． （2）化简：． 19．（本题7分）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． (1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； (2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 20．（本题7分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点： A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡； C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢. 要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次讨论的学生共有 人； （2）表中a= ，b= ； （3）将条形统计图补充完整； （4）现准备从ABCD四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率. 21．（本题8分）某服装店用元购进了一批服装，上架后很快脱销，该商场用元购进第二批这种服装，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件进价多了元．求商场两次共购进这种服装多少件？ 22．（本题8分）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 23．（本题8分）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 24．（本题8分）如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 25．（本题8分）按照下列要求完成作图及相应的问题解答： (1)作出的角平分线OM（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； (2)作直线PN，不能与直线OB相交，且交射线OM于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； (3)判断线段OP与线段PN的数量关系，并说明理由 26．（本题10分）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 27、（本题10分）（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（江苏南京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 A B A C B B 2、 填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7. 8. 9. 4 10. 11. 45 12. 4 13. 14. 15. 16. 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题7分） 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组解集的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可．． 【详解】解：， 由①得， 由②得，， ∴不等式组的解为， 数轴上表示： 18、（本题7分） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，整式的混合运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ． ； （2） ． ； 19． （本题7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． 【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 20． （本题7分） 【答案】（1）50；（2）10；0.16；（3）补图见解析；（4）． 【分析】（1）由B观点的人数和所占的频率即可求 出总人数； （2）由总人数即可求出a、b的值， （3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整； （4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）总人数=12÷0.24=50（人）， （2）a=50×0.2=10，b==0.16， （3）条形统计图补充完整如图所示： （4）根据题意画出树状图如下： 由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种， 所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率=． 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图． 21．（本题8分）某服装店用元购进了一批服装，上架后很快脱销，该商场用元购进第二批这种服装，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件进价多了元．求商场两次共购进这种服装多少件？ 【答案】商场两次共购进这种服装件 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件，第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为，根据第二批这种服装每件进价比第一批多了元，由此列式求解即可． 【详解】解：设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件， ∴第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（件）， ∴第一批购进数量为件，第二批购进数量为件， ∴（件）， ∴商场两次共购进这种服装件． 22、（本题8分） 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 23． （本题8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 24． （本题8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 25． （本题8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)OP=PN 【分析】（1）利用尺规作图做出∠AOB的平分线OM即可； （2）利用尺规作图作∠APN=∠AOB，利用同位角相等得到PN∥BO即可； （3）通过等角对等边得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，OM为所求； （2）如图所示，直线PN为所求； （3）OP=PN， 理由：∵PN∥OB， ∴∠PNO=∠BON， 又∵∠PON=∠BON， ∴∠PON=∠PNO， ∴OP=PN． 【点睛】本题考查利用尺规作图作已知角的角平分线以及作一个角等于已知角，掌握基本作图是解决问题的关键． 26． （本题10分） 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题27．（一）模型呈现 27、 （本题10分） 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江苏南京专用） 考情速递 中考·新动向：从近年来的中考数学试题来看，2025年江苏南京中考命题依旧以“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大部分为主体，将综合与实践融入三部分中，以大约7：2：1的难度比例展开考察。与此同时，题目的反套路反映出基础知识的深度应用以及题海战术的落后。所以建议同学们在强化基础知识的同时，一定要注重思维与应用，同时增加开放性、创新型试题的训练。 中考·新情境：1：立足原创，重视创新与应用意识的进展。（例如15.16.25题） 2：初高的衔接，重视学生的高阶思维，体现初高数学的衔接性。（例如14题） 命题·大预测： 预测1：开放性、创新型题型，例如26.27题 预测2：生活实际题型，例如1.10.11.19.20题 预测3：文化融合题型，例如5.6题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 根据俯视图可知，主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4．据此可画出图形． 【详解】解：由俯视图可得主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4． 即主视图为：． 故选：A． 2．根据国家统计局发布的最新数据，2024年全国出生人口约为954万人，比2023年增加了52万人．其中954万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的知识，解题的关键是熟练掌握科学记数法的概念：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】954万用科学记数法表示为， 故选：B． 3．一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角的概念和计算，理解并掌握余角的概念，计算方法是解题的关键．根据题意，设一个角的度数为，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设一个角的度数为，则它的余角为度， ∴， 解得，，即这个角的度数是， 故选：． 4．如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C． 5．如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，从而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 8．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以化成一元一次方程，再解方程可得方程的解，然后代入检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为， 故答案为：． 9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】用含的代数式表示出此方程的根的判别式，根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ∵方程有两个相等的实数根， 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练根据根的情况转化为根的判别式进行计算是解决本题的关键． 10．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可； 【详解】解：设每个小正方形格子的长度都是1， ∴ 黑色区域的面积，游戏板的面积， 所以击中黑色区域的概率为， 故答案为：． 11．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为：． 12．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去圆周之后的圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为4． 13．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．由折叠的性质可知，，再根据矩形的性质得出，，，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 15．有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 16．如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，再结合等边三角形的性质得，然后过点分别作，作的延长线于一点，证明四边形是矩形，然后设为，则，，在中，，在中，，则，则，整理得，解得，；在中，，故，故（舍去）；即可作答． 【详解】解：，， ， ∵是等边三角形 ， 过点分别作，作的延长线于一点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设为， 则，， 在中， 在中， 则 ∴， ∴， 整理得 ∴， 解得，； 当时，则， ∴； 当时，则 ∴； 在中，， ∴， 故（舍去）； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，公式法解一元二次方程，矩形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题7分）解不等式组：，并把解在数轴上表示． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组解集的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可．． 【详解】解：， 由①得， 由②得，， ∴不等式组的解为， 数轴上表示： 18．（本题7分）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，整式的混合运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ． ； （2） ． ； 19．（本题7分）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． (1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； (2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． 【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 20．（本题7分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点： A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡； C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢. 要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次讨论的学生共有 人； （2）表中a= ，b= ； （3）将条形统计图补充完整； （4）现准备从ABCD四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率. 【答案】（1）50；（2）10；0.16；（3）补图见解析；（4）． 【分析】（1）由B观点的人数和所占的频率即可求 出总人数； （2）由总人数即可求出a、b的值， （3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整； （4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）总人数=12÷0.24=50（人）， （2）a=50×0.2=10，b==0.16， （3）条形统计图补充完整如图所示： （4）根据题意画出树状图如下： 由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种， 所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率=． 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图． 21．（本题8分）某服装店用元购进了一批服装，上架后很快脱销，该商场用元购进第二批这种服装，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件进价多了元．求商场两次共购进这种服装多少件？ 【答案】商场两次共购进这种服装件 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件，第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为，根据第二批这种服装每件进价比第一批多了元，由此列式求解即可． 【详解】解：设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件， ∴第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（件）， ∴第一批购进数量为件，第二批购进数量为件， ∴（件）， ∴商场两次共购进这种服装件． 22．（本题8分）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 23．（本题8分）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 24．（本题8分）如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 25．（本题8分）按照下列要求完成作图及相应的问题解答： (1)作出的角平分线OM（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； (2)作直线PN，不能与直线OB相交，且交射线OM于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； (3)判断线段OP与线段PN的数量关系，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)OP=PN 【分析】（1）利用尺规作图做出∠AOB的平分线OM即可； （2）利用尺规作图作∠APN=∠AOB，利用同位角相等得到PN∥BO即可； （3）通过等角对等边得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，OM为所求； （2）如图所示，直线PN为所求； （3）OP=PN， 理由：∵PN∥OB， ∴∠PNO=∠BON， 又∵∠PON=∠BON， ∴∠PON=∠PNO， ∴OP=PN． 【点睛】本题考查利用尺规作图作已知角的角平分线以及作一个角等于已知角，掌握基本作图是解决问题的关键． 26．（本题10分）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题27．（一）模型呈现 27、（本题10分）（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$