热点题型·专题10 圆中的证明与计算问题（7类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题10 圆中的证明与计算问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 圆的性质及角度和线段的计算 1 题型02 弧长和面积问题 5 题型03 切线的判定定理及性质应用 8 题型04 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 10 题型05 圆与相似综合 12 题型06 圆与全等综合 15 题型07 圆与三角函数综合 17 中考练场 19 题型01 圆的性质及角度和线段的计算 圆的性质及角度和线段的计算是初中数学几何板块中综合性较强的关键内容，它借助圆的独特性质，如垂径定理、圆周角定理等，深度考查学生对几何知识的综合运用能力，在中考数学中分值占比约 6%-10%。 1.考查重点：重点考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）等圆的核心性质在角度和线段计算中的应用，以及利用这些性质进行几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径、弦长等条件，运用垂径定理求弦心距、弧长等线段长度；根据圆周角与圆心角关系，结合圆内其他角度条件，计算特定角度大小；在圆与三角形、四边形等组合图形中，综合运用圆的性质和其他图形性质，计算线段长度和角度。 3.高频考点：考点集中在垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等圆的基本定理应用，圆内接四边形性质（对角互补）的运用，以及切线的性质与判定（切线垂直于过切点的半径）在解决角度和线段问题中的体现。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择圆的性质进行证明和计算；拥有良好的图形识别与分析能力，从复杂图形中提炼出与圆相关的几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角函数等知识用于圆中线段和角度计算时。 5.易错点：易错点在于对垂径定理、圆周角定理等圆的性质理解不透彻，应用时条件使用错误；在计算过程中，因对圆内复杂的角度和线段关系梳理不清，导致计算错误；对圆与其他图形综合问题中，不能有效整合各类图形性质，思路受阻。 【提分秘籍】 1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： ①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 4. 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 5. 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    例4．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 例5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 题型02 弧长和面积问题 圆的弧长和面积问题是初中数学几何板块中对圆的度量性质深入探究的重要内容，通过运用圆的半径、圆心角等要素，结合特定公式计算弧长与面积，考查学生对几何知识的量化应用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查准确运用弧长公式、扇形面积公式以及圆的面积公式进行相关计算，同时关注这些公式在实际情境和组合图形中的灵活运用。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径和圆心角，求弧长或扇形面积；在组合图形中，如扇形与三角形、四边形等组合，通过分析各图形关系，计算阴影部分（包含弧长或扇形面积）的面积；根据实际问题背景，如摩天轮转动的弧长、喷灌区域的面积等，建立数学模型求解弧长或面积。 3.高频考点：考点集中在弧长公式、扇形面积公式以及圆面积公式的正确应用，圆心角与弧长、扇形面积的对应关系，以及在不规则图形中通过割补法、等积变换等方法转化为可利用公式计算的规则图形，求解弧长和面积。 4.能力要求：要求学生具备较强的公式记忆与应用能力，能准确代入数据进行计算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出与弧长、面积相关的部分，并能通过合理的图形变换简化计算；掌握一定的数学建模能力，将实际问题转化为数学问题求解。 5.易错点：易错点在于对弧长和扇形面积公式记忆混淆，导致计算错误；在代入数据时，对圆心角、半径等数值读取错误；在组合图形中，不能准确分析各图形间的关系，错误地进行面积的加减计算；对实际问题建模不准确，忽略问题中的关键条件。 【提分秘籍】 1. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 2. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。 【典例分析】 例1．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 例2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    例3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    例4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 2．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，是的切线，点B为切点，若，则阴影部分的面积为 ． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 5．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型03 切线的判定定理及性质应用 圆的切线的判定定理及性质应用是初中数学几何板块中对圆与直线位置关系深入研究的核心内容，通过判定直线是否为圆的切线以及运用切线性质解决几何问题，考查学生对几何定理的理解与综合运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查对圆的切线判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质（圆的切线垂直于过切点的半径）的精准理解与灵活运用，以及借助这些定理在复杂几何图形中进行推理和计算。 2.高频题型：高频题型有证明某条直线是圆的切线；已知直线为圆的切线，利用切线性质证明线段垂直、角相等或进行线段长度计算；在圆与三角形、四边形等组合图形中，结合切线判定与性质以及其他图形性质，解决综合性几何问题。 3.高频考点：考点集中在切线判定定理的准确应用，切线性质在证明和计算中的体现，切线与圆周角、圆心角等圆中角的关系的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择切线判定定理进行证明，熟练运用切线性质进行推导；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别出圆与切线的相关几何关系；掌握扎实的运算能力，在涉及切线的几何计算中准确求解。 5.易错点：易错点在于判定切线时，对 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 这两个条件把握不准确，遗漏或错用；在运用切线性质时，对切点位置判断错误，导致垂直关系应用出错；在综合图形中，不能有效整合切线与其他图形性质，思路混乱，影响解题。 【提分秘籍】 1. 切线的性质： ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。 2. 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。 【典例分析】 例1．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接． (1)证明：是的切线． (2)若，求的半径．（结果精确到） 2．（2024·浙江·一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，，，求的长． 题型04 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型）是初中数学几何板块中具有较高综合性与技巧性的内容，它将圆的概念巧妙隐藏于各类几何图形中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【变式演练】 1．（2023·浙江宁波·一模）如图，在等腰三角形纸片中，，将该纸片翻折，使得点落在边的处，折痕为，，分别在边，上，，若，，则 ，的面积为 ． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，，点E在边上，以为斜边，在上方作，使，延长与交于点G．    (1)当时，若，求线段的长． (2)求证：点F为线段的中点． 题型05 圆与相似综合 圆与相似综合是初中数学几何领域中极具综合性与挑战性的内容，它将圆独特的性质，如圆周角定理、切线性质等，与相似三角形的判定和性质紧密结合，考查学生对不同几何知识的融会贯通能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的背景下，通过寻找、构造相似三角形，运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合圆的弦、弧、角之间的关系，解决线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型有已知圆中弦、弧、切线等条件，证明三角形相似，并利用相似比计算相关线段长度；根据圆内角度关系，推出相似三角形，进而求解角度大小；在圆与多边形的组合图形中，借助相似三角形性质，判断图形间的位置关系或进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在相似三角形的判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）在圆的情境中的应用，圆的性质（如圆周角定理、弦切角定理、切线长定理）与相似三角形性质的综合运用，以及通过添加辅助线（如连接半径、作弦的垂线等）构建相似三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂的圆相关图形中识别出相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推理能力，依据圆的性质和已知条件，合理推导相似三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算能力，准确处理相似比与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂圆图形中，难以准确找出相似三角形的对应边和对应角，导致相似比计算错误；对圆的性质与相似三角形性质的结合运用不够熟练，混淆相关定理的应用条件；添加辅助线不合理，无法有效构建相似三角形模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 例2．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 例3．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【变式演练】 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 2．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．    (1)求证： ； (2)若，求的值； (3)连结交于点，若的半径为5 ①若，求的长； ②若，求的周长； ③若，求的面积． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 题型06 圆与全等综合 圆与全等综合是初中数学几何板块中具有较高思维要求的内容，它将圆的性质，诸如半径相等、同弧所对圆周角相等、切线性质等，与全等三角形的判定和性质深度关联，着重考查学生对不同几何知识的整合运用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查在圆的环境下，通过挖掘圆的特性构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合圆内弦、弧、角的关系，完成线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型包括依据圆中半径、弦长、角度等条件证明三角形全等，进而计算相关线段长度；根据圆内的特殊角度关系，构造全等三角形来推导其他角度大小；在圆与多边形构成的复合图形中，借助全等三角形性质判断图形间的位置关系或者进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）在圆的情境下的运用，圆的性质（如垂径定理、圆周角定理、切线长定理）与全等三角形性质的协同应用，以及通过合理添加辅助线（例如连接圆心与弦的端点、作过切点的半径等）构建全等三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能够从复杂的圆相关图形中捕捉到全等三角形的线索；拥有较强的逻辑推导能力，依据圆的性质与已知条件，有条不紊地推导出全等三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算技能，准确处理全等三角形对应边、角与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂的圆图形中，难以精准确定全等三角形的对应边和对应角，致使全等判定错误；对圆的性质与全等三角形性质的结合运用不够娴熟，混淆相关定理的适用条件；添加辅助线缺乏针对性，无法有效构建全等三角形模型，阻碍解题思路。 【典例分析】 例1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【变式演练】 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长． 题型07 圆与三角函数综合 圆与三角函数综合是初中数学几何与代数紧密结合的关键内容，它借助圆的半径、弦、弧所构成的几何图形，运用三角函数知识来量化角度与线段之间的关系，全方位考查学生跨知识板块的运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的图形背景下，通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义，将圆中的半径、弦长、圆心角、圆周角等元素与三角函数值建立联系，进行角度和线段长度的求解以及相关几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径及部分角度，利用三角函数求弦长；根据圆中弦长、弧长等条件，借助三角函数计算圆心角、圆周角大小；在圆与多边形组合图形中，结合圆的性质与三角函数知识，计算图形面积或线段间的比例关系。 3.高频考点：考点集中在三角函数定义在圆中的应用，圆的性质（垂径定理、圆周角定理等）与三角函数知识的融合，以及通过添加辅助线（如作圆的直径、弦的垂线等）构造可运用三角函数的直角三角形模型。 4.能力要求：要求学生具备良好的知识迁移能力，将三角函数知识灵活运用到圆的问题情境中；拥有较强的图形构建能力，能从复杂圆图形中识别或构造出适用三角函数的直角三角形；掌握扎实的运算能力，准确进行三角函数值与圆中几何量的计算。 5.易错点：易错点在于在圆中构造直角三角形时，对直角边、斜边与圆中线段的对应关系判断错误，导致三角函数选用不当；混淆圆的性质与三角函数的应用条件，在计算过程中出错；添加辅助线不合理，无法有效构建运用三角函数的模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·浙江衢州·一模）已知矩形纸片． 第①步：将纸片沿折叠，使点与边上的点重合，展开纸片，连结，，与相交于点（如图1）． 第②步：将纸片继续沿折叠，点的对应点恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点（如图2）． (1)请猜想和的数量关系并证明你的结论． (2)已知，，求的值和的长． 例2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在点运动过程中，当时，求的值． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 2．（2024·浙江温州·二模）如图，内接于，直径交边于点，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． ①当是等腰三角形时，求的度数． ②若，求的值． 一、单选题 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得    若 ， 则的长（    ） A．4 B． C． D． 4．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 二、填空题 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 6．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ． 7．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 8．（2025·浙江宁波·一模）如图，  为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 ． 三、解答题 9．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1，四边形内接于，是的直径，过点A的切线与的延长线相交于点P．且． (1)求证：； (2)过图1中的点D作，垂足为E（如图2），当，时，求的半径． 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． (1)求证：通过尺规作图，； (2)若，求． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1，内接于，直径交于点E，满足． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，连接．若，求的值．（用含k的代数式表示） 13．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 14．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 15．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F， (1)如图1，作于点E， ①求证   ②若则的长 (2)若求 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆中的证明与计算问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 圆的性质及角度和线段的计算 1 题型02 弧长和面积问题 8 题型03 切线的判定定理及性质应用 16 题型04 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 21 题型05 圆与相似综合 27 题型06 圆与全等综合 46 题型07 圆与三角函数综合 54 中考练场 65 题型01 圆的性质及角度和线段的计算 圆的性质及角度和线段的计算是初中数学几何板块中综合性较强的关键内容，它借助圆的独特性质，如垂径定理、圆周角定理等，深度考查学生对几何知识的综合运用能力，在中考数学中分值占比约 6%-10%。 1.考查重点：重点考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）等圆的核心性质在角度和线段计算中的应用，以及利用这些性质进行几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径、弦长等条件，运用垂径定理求弦心距、弧长等线段长度；根据圆周角与圆心角关系，结合圆内其他角度条件，计算特定角度大小；在圆与三角形、四边形等组合图形中，综合运用圆的性质和其他图形性质，计算线段长度和角度。 3.高频考点：考点集中在垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等圆的基本定理应用，圆内接四边形性质（对角互补）的运用，以及切线的性质与判定（切线垂直于过切点的半径）在解决角度和线段问题中的体现。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择圆的性质进行证明和计算；拥有良好的图形识别与分析能力，从复杂图形中提炼出与圆相关的几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角函数等知识用于圆中线段和角度计算时。 5.易错点：易错点在于对垂径定理、圆周角定理等圆的性质理解不透彻，应用时条件使用错误；在计算过程中，因对圆内复杂的角度和线段关系梳理不清，导致计算错误；对圆与其他图形综合问题中，不能有效整合各类图形性质，思路受阻。 【提分秘籍】 1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： ①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 4. 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 5. 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 例3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．    【答案】/80度 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 例4．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，   半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 例5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（    ）    A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 【答案】C 【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点O作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质以及圆内接四边形的性质，连接，根据平行线的性质求出，利用三角形内角和求出，再利用圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出解答．根据平行线的性质得出，进而利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 3．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型02 弧长和面积问题 圆的弧长和面积问题是初中数学几何板块中对圆的度量性质深入探究的重要内容，通过运用圆的半径、圆心角等要素，结合特定公式计算弧长与面积，考查学生对几何知识的量化应用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查准确运用弧长公式、扇形面积公式以及圆的面积公式进行相关计算，同时关注这些公式在实际情境和组合图形中的灵活运用。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径和圆心角，求弧长或扇形面积；在组合图形中，如扇形与三角形、四边形等组合，通过分析各图形关系，计算阴影部分（包含弧长或扇形面积）的面积；根据实际问题背景，如摩天轮转动的弧长、喷灌区域的面积等，建立数学模型求解弧长或面积。 3.高频考点：考点集中在弧长公式、扇形面积公式以及圆面积公式的正确应用，圆心角与弧长、扇形面积的对应关系，以及在不规则图形中通过割补法、等积变换等方法转化为可利用公式计算的规则图形，求解弧长和面积。 4.能力要求：要求学生具备较强的公式记忆与应用能力，能准确代入数据进行计算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出与弧长、面积相关的部分，并能通过合理的图形变换简化计算；掌握一定的数学建模能力，将实际问题转化为数学问题求解。 5.易错点：易错点在于对弧长和扇形面积公式记忆混淆，导致计算错误；在代入数据时，对圆心角、半径等数值读取错误；在组合图形中，不能准确分析各图形间的关系，错误地进行面积的加减计算；对实际问题建模不准确，忽略问题中的关键条件。 【提分秘籍】 1. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 2. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。 【典例分析】 例1．（2023·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 例2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，      ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键． 例3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键． 例4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为： ． 2．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，是的切线，点B为切点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，弓形的面积计算等知识点，连接，由切线的性质可知，根据题意得，，则，进而可知为等边三角形，得，再根据，阴影部分的面积为即可求解，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，，则， ∴点为的中点， ∴，则为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 则阴影部分的面积为， 故答案为： 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径，过点F作于H，连接，，推出，，由圆周角定理证得，即可求得，则，进而求得，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可． 【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，，    由旋转知：，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 故选：D． 5．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，，F是上一点，，以点A为圆心为半径画弧，交于点，以F为圆心，为半径画弧，交于点于点，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意可得出，，即说明，从而可得出为等边三角形，，再根据，结合三角形面积公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， 为等边三角形，， ∴ ． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积计算，等边三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式是解题关键． 题型03 切线的判定定理及性质应用 圆的切线的判定定理及性质应用是初中数学几何板块中对圆与直线位置关系深入研究的核心内容，通过判定直线是否为圆的切线以及运用切线性质解决几何问题，考查学生对几何定理的理解与综合运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查对圆的切线判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质（圆的切线垂直于过切点的半径）的精准理解与灵活运用，以及借助这些定理在复杂几何图形中进行推理和计算。 2.高频题型：高频题型有证明某条直线是圆的切线；已知直线为圆的切线，利用切线性质证明线段垂直、角相等或进行线段长度计算；在圆与三角形、四边形等组合图形中，结合切线判定与性质以及其他图形性质，解决综合性几何问题。 3.高频考点：考点集中在切线判定定理的准确应用，切线性质在证明和计算中的体现，切线与圆周角、圆心角等圆中角的关系的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择切线判定定理进行证明，熟练运用切线性质进行推导；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别出圆与切线的相关几何关系；掌握扎实的运算能力，在涉及切线的几何计算中准确求解。 5.易错点：易错点在于判定切线时，对 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 这两个条件把握不准确，遗漏或错用；在运用切线性质时，对切点位置判断错误，导致垂直关系应用出错；在综合图形中，不能有效整合切线与其他图形性质，思路混乱，影响解题。 【提分秘籍】 1. 切线的性质： ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。 2. 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。 【典例分析】 例1．（2024·浙江台州·二模）如图，D为上一点，点A在直径的延长线上，过点B作交的延长线于点C，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，证明．则．又由是半径，即可证明直线是的切线； （2）设的半径为r，在中，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：由（1），得． 设的半径为r， ∴． 在中， 解得． ∴的半径为2． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知：以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接． (1)证明：是的切线． (2)若，求的半径．（结果精确到） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】主要考查了切线的判定方法、解直角三角函数、圆周角定理等知识点．灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图1，连接，然后根据圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得，即可证明结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得，根据，然后代入数据可求得，进而确定的半径． 【详解】（1）证明：如图1，连接； ∵是的直径， ∴， ∴． ∵E为边上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∵D为上的点， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． ∴的半径为． 2．（2024·浙江·一模）如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的意义及等腰三角形性质得，再由垂直条件即可完成； （2）易得，得的长度，再证是等边三角形，即可求解； （3）设，则可得，则由勾股定理得；证明，由相似三角形的性质求出x的值，即可求得结果． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：是直径， ， ， ， 在中，， ， ，， 为等边三角形， ， ． （3）解：设，则，， 在中，， 为直径， ， 而， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、含度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 题型04 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型）是初中数学几何板块中具有较高综合性与技巧性的内容，它将圆的概念巧妙隐藏于各类几何图形中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江宁波·一模）如图，在等腰三角形纸片中，，将该纸片翻折，使得点落在边的处，折痕为，，分别在边，上，，若，，则 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，根据相似三角形的性质得出，根据已知条件得出四点共圆，进而得出，过点作于点，连接，勾股定理得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，又， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，连接， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与是解题的关键． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，，点E在边上，以为斜边，在上方作，使，延长与交于点G．    (1)当时，若，求线段的长． (2)求证：点F为线段的中点． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，    ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，作，过点作，交的延长线于，在上截取，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点，点，点，点四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为线段的中点． 题型05 圆与相似综合 圆与相似综合是初中数学几何领域中极具综合性与挑战性的内容，它将圆独特的性质，如圆周角定理、切线性质等，与相似三角形的判定和性质紧密结合，考查学生对不同几何知识的融会贯通能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的背景下，通过寻找、构造相似三角形，运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合圆的弦、弧、角之间的关系，解决线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型有已知圆中弦、弧、切线等条件，证明三角形相似，并利用相似比计算相关线段长度；根据圆内角度关系，推出相似三角形，进而求解角度大小；在圆与多边形的组合图形中，借助相似三角形性质，判断图形间的位置关系或进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在相似三角形的判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）在圆的情境中的应用，圆的性质（如圆周角定理、弦切角定理、切线长定理）与相似三角形性质的综合运用，以及通过添加辅助线（如连接半径、作弦的垂线等）构建相似三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂的圆相关图形中识别出相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推理能力，依据圆的性质和已知条件，合理推导相似三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算能力，准确处理相似比与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂圆图形中，难以准确找出相似三角形的对应边和对应角，导致相似比计算错误；对圆的性质与相似三角形性质的结合运用不够熟练，混淆相关定理的应用条件；添加辅助线不合理，无法有效构建相似三角形模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 例2．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】(1)； (2)①见解析；②；③的长为或． 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解； ③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）解：连接，    ∵的直径垂直弦AB于点E，且，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①连接，    ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，    ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，      在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，      在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 例3．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 【变式演练】 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②； (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．    (1)求证： ； (2)若，求的值； (3)连结交于点，若的半径为5 ①若，求的长； ②若，求的周长； ③若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②；③ 【分析】（1）根据点是三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明； （2）如图1，连接，证明，则，设，则，在中由勾股定理得，得出，进而根据正切的定义即可求解； （3）①如图1，连接，勾股定理确定，根据，可得； ②如图2，连接，设，则，解得．则，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解； ③如图3，过点作于点，则．设，则，证明，得出则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点是三等分点， ∴． 由是的直径 ∴， ∵是的切线， ∴． ∴． （2）如图1，连结，∵，      ∴． 由，则， 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴． 在中由勾股定理得， ∴， ∴． ∴． （3）①如图1，连结，∵，    ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ②如图2，连结，    ∵， ∴． ∵， ∴． 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得． ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ③如图3，过点作于点，则．    设，则， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 可得方程， 解得（舍去）． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，切线的性质，相似三角形的性质与判定熟练掌握是解题的关键． 3．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)不会改变， 【分析】（1）如图1，连接，根据，得出，由同弧所对的圆周角相等得，根据垂径定理得出是的垂直平分线，得到，证出，再结合三角形内角和定理证出，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据，求出，由（1）知：，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． （3）设，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， 由同弧所对的圆周角相等得， 是的直径，且， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ； （2）解：∵， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （3）解：的值不会改变， 设，则， ， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会用相似三角形的性质列比例式解决问题，属于中考常考题型． 题型06 圆与全等综合 圆与全等综合是初中数学几何板块中具有较高思维要求的内容，它将圆的性质，诸如半径相等、同弧所对圆周角相等、切线性质等，与全等三角形的判定和性质深度关联，着重考查学生对不同几何知识的整合运用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查在圆的环境下，通过挖掘圆的特性构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合圆内弦、弧、角的关系，完成线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型包括依据圆中半径、弦长、角度等条件证明三角形全等，进而计算相关线段长度；根据圆内的特殊角度关系，构造全等三角形来推导其他角度大小；在圆与多边形构成的复合图形中，借助全等三角形性质判断图形间的位置关系或者进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）在圆的情境下的运用，圆的性质（如垂径定理、圆周角定理、切线长定理）与全等三角形性质的协同应用，以及通过合理添加辅助线（例如连接圆心与弦的端点、作过切点的半径等）构建全等三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能够从复杂的圆相关图形中捕捉到全等三角形的线索；拥有较强的逻辑推导能力，依据圆的性质与已知条件，有条不紊地推导出全等三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算技能，准确处理全等三角形对应边、角与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂的圆图形中，难以精准确定全等三角形的对应边和对应角，致使全等判定错误；对圆的性质与全等三角形性质的结合运用不够娴熟，混淆相关定理的适用条件；添加辅助线缺乏针对性，无法有效构建全等三角形模型，阻碍解题思路。 【典例分析】 例1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，   ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则，   ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 【变式演练】 1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【详解】（1）如图，连结，    ∵半圆O与相切于点D， ∴．                     ∵， ∴. ∵，， ∴．                 ∴． （2）如图，∵，， ∴. ∵， ∴.    ∵， 在中，， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据角平分线的性质得出，即可证明，，即可求解． （2）如图所示，连接，得出，进而根据垂径定理得出，即可得证； （3）连接过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，设，由（2）可得，则，得出，证明四边形是矩形，得出，进而在中，勾股定理求得，则，设，则，，在和中，勾股定理得出，则得出半径，根据，，则,得出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴，即平分； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； （3）如图所示，连接过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， 设，由（2）可得，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，则, ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型07 圆与三角函数综合 圆与三角函数综合是初中数学几何与代数紧密结合的关键内容，它借助圆的半径、弦、弧所构成的几何图形，运用三角函数知识来量化角度与线段之间的关系，全方位考查学生跨知识板块的运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的图形背景下，通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义，将圆中的半径、弦长、圆心角、圆周角等元素与三角函数值建立联系，进行角度和线段长度的求解以及相关几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径及部分角度，利用三角函数求弦长；根据圆中弦长、弧长等条件，借助三角函数计算圆心角、圆周角大小；在圆与多边形组合图形中，结合圆的性质与三角函数知识，计算图形面积或线段间的比例关系。 3.高频考点：考点集中在三角函数定义在圆中的应用，圆的性质（垂径定理、圆周角定理等）与三角函数知识的融合，以及通过添加辅助线（如作圆的直径、弦的垂线等）构造可运用三角函数的直角三角形模型。 4.能力要求：要求学生具备良好的知识迁移能力，将三角函数知识灵活运用到圆的问题情境中；拥有较强的图形构建能力，能从复杂圆图形中识别或构造出适用三角函数的直角三角形；掌握扎实的运算能力，准确进行三角函数值与圆中几何量的计算。 5.易错点：易错点在于在圆中构造直角三角形时，对直角边、斜边与圆中线段的对应关系判断错误，导致三角函数选用不当；混淆圆的性质与三角函数的应用条件，在计算过程中出错；添加辅助线不合理，无法有效构建运用三角函数的模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·浙江衢州·一模）已知矩形纸片． 第①步：将纸片沿折叠，使点与边上的点重合，展开纸片，连结，，与相交于点（如图1）． 第②步：将纸片继续沿折叠，点的对应点恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点（如图2）． (1)请猜想和的数量关系并证明你的结论． (2)已知，，求的值和的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，． 【分析】（1）由折叠的性质知，，，根据证明即可得到； （2）连接，利用勾股定理列式求得，，再利用正切函数的定义求得，利用等角的余角相等求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由第①步折叠知：，， 则有， 由第②步折叠知：，即， 又所以， ∴； （2）解：连接， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理与折叠问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 例2．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在点运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等分别确定，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据，可求出的值，根据勾股定理可求出的值，从而确定的值，运用勾股定理即可求解； （3）如图所示，连接，过点作于点，根据题意可证，可得，设，根据（2）的证明方法可得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴，即，且， ∴； （2）解：已知，， ∴在中，， ∴， 解得，（负值舍去），则， ∴， 如图所示，连接， ∵，设,则, ∴在中，， 在中，， ∴， 解得，， ∴，， ∴，则， ∵， ∴点是的中点，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，且，， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， 根据（2）中的计算方法，可得， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角直角三角形的计算方法，等面积法求高，垂径定理的知识的综合运用是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·二模）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．    (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，． ①当时，求． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①，②见解析． 【分析】（1）根据容易证明，结合，证明，再由即可证明结论， （2）①利用，可得，，由此计算即可得出；②证明，可得，结合可得，再由可得，而，进而可得，，代入计算即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接、，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵是半径，. ∴是的切线． （2）①∵，， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及了切线性质和判断、圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线、利用解三角形求解线段是解题的关键． 2．（2024·浙江温州·二模）如图，内接于，直径交边于点，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． ①当是等腰三角形时，求的度数． ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①和；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得、，然后根据圆周角定理可得，最后等量代换即可； （2）设，则，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得，再根据余角互补可得，然后分、、三种情况，分别根据等腰三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解： 是直径， ∴, ∴, ∵， ∴, ∵， ∴． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴a.当时，， ∴，解得：, ∴； b：当时，， ∴， ∴，解得：， ∴； c. 当时，， ∴，解得：，即三点共线，不符合题意； 综上，的度数为和． ②如图：连接并延长交于G，连接,则，, ∵, ∴， ∵是的直径， ∴, 设圆的直径为d， ∴， ∴， ∵, ∴ ∴， ∴， ∵, ∴，即， ∴， ∴ ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴，即． 一、单选题 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积，直角三角形的性质，勾股定理．根据直角三角形的性质结合勾股定理求得，根据图中阴影部分的面积为列式计算即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：C． 3．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得    若 ， 则的长（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证明，可得，即，设，则，证明，可得，过作于，作于，结合面积法可得：，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点M为的中点， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， 过作于，作于， ∴， 由面积法可得：， ∴， 解得：， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2025·浙江·一模）如图，在正方形中，点是上一动点（不与重合），对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】由正方形的性质知平分，平分，结合，可得 ， 可判断①②，证明为矩形可判断③，由的形状可判断④不成立，连接，证明，可得点是的外接圆的圆心，可得M、O、N共线． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 同理，． ∵正方形中， 又∵， ∴，且中 ∴四边形是矩形． ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∴，故③正确． ∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④错误； 连接， ∵垂直平分线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点是的外接圆的圆心， ∵， ∴为直径， ∴在上， ∴点O在M、N两点的连线上，故⑤正确； 综上所述： ①②③⑤正确． 故故答案：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理，圆周角定理的应用等知识，掌握相关性质、定理是关键． 二、填空题 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 6．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ． 【答案】 【分析】以为直径的半圆，得，得出直径是，再求，由垂径定理得，则点分别是的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形是矩形，则，同理求出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：连接交于一点，连接交于一点W，如图： ∵以为直径的半圆， ∴， ∴， ∴， ∵分别是和的中点，， ∴， ∴点分别是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过作于，交于，证明，求解，证明四点在同一个圆上，可得，证明，设，则，求解，，求解， ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，交于， ∵正方形， ∴四边形，四边形为矩形，， ，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∵，， 同理：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（2025·浙江宁波·一模）如图，  为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的意义等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，易得，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理以及等量代换可得，再根据正切的意义可得，再证明，并运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解∶如图：连接， ∵圆O的半径为5， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴设，则， ∴，解得：(舍弃负值)， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：． 故答案： ． 三、解答题 9．（2025·浙江金华·一模）如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论； （）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又为的半径， ∴与相切； （2）解：∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1，四边形内接于，是的直径，过点A的切线与的延长线相交于点P．且． (1)求证：； (2)过图1中的点D作，垂足为E（如图2），当，时，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，可得，再根据切线的性质得到，设，分别表示出和，即可得证； （2）延长交于点，由圆周角定理可得，结合（1）中的结论证出，得到，再通过证明得到，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 是的切线， ， ， 设，则， ， ， ． （2）解：如图，延长交于点， 由（1）得，， 又， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的半径为． 11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． (1)求证：通过尺规作图，； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作图可得垂直平分，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角以及已知条件得出，，进而即可得证； （2）根据（1）的结论可得得出，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，又，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正切的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1，内接于，直径交于点E，满足． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，连接．若，求的值．（用含k的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，可得，，根据，可得，从而可得，再根据圆周角等于圆心角的一半即可解题； （2）连接、，可得，，，，根据三角形外角性质可得，从而可得，可得，从而证得； （3）连接，过点，作交于点， 作，的延长线交于点，结合三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，，，进而得到，推出，设，则，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形性质得到，推出，，再证明，得到，最后证明，得到，即可解题． 【详解】（1）解：如图，连接，可得，， ，， ， ， ； （2）证明：如图，连接、，可得，，，， ， ， ， 即， ， 为等腰三角形； （3）解：连接，过点，作交于点， 作，的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 是的直径， ，， ， 设，则， ， ，， ， ，即， 整理得， ， 整理得， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定． 13．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①7；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：①在中，，，，如图2， 连结， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连结， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 14．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；（2） 【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形； ②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴是直径． ∵是圆的切线， ∴． ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）①证明：连接， ∵，是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：延长相较于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F， (1)如图1，作于点E， ①求证   ②若则的长 (2)若求 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①切线的性质，得到，等边对等角得到，等角的余角相等，推出，利用，即可得证；②连接，，根据圆周角定理，同角的余角相等，推出，证明，推出，证明垂直平分，三线合一推出，进而得到，推出为等腰直角三角形，得到，证明，列出比例式求解即可； （2）过点作，根据，得到，设设，，勾股定理求出的长，证明，推出，，进而求出的长，在中，利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②连接，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）过点作，由（1）知：， ∴， 由（1）②可知：，， ∴，， ∴设，，则：， ∵是直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求正切值，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$