热点题型·专题08 解直角三角形及其应用（2类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题08 解直角三角形及其应用 目录 仰热点题型归纳 1 题型01 仰角与俯角问题 1 题型02 解直角三角形的综合应用 5 中考练场 9 题型01 仰角与俯角问题 解直角三角形及其应用中的仰角与俯角问题是初中数学几何知识在实际生活中应用的重要体现，通过构建直角三角形模型，利用三角函数知识解决与测量相关的实际问题，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查如何准确识别仰角与俯角，并将实际问题转化为解直角三角形问题，运用正弦、余弦、正切等三角函数进行边长和角度的计算。 2.高频题型：高频题型有测量物体高度，如已知观测点与物体的水平距离及仰角，求物体高度；测量两点间距离，通过测量仰角、俯角及其他已知边长，构建直角三角形求解；以及根据不同观测点的仰角、俯角变化，分析物体位置关系并计算相关数据。 3.高频考点：考点集中在仰角、俯角概念的理解与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）的正确选用与计算，以及将实际场景抽象为数学模型（直角三角形）的能力考查。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力，能从实际问题描述中提取关键信息；拥有良好的空间想象能力，构建准确的直角三角形模型；掌握扎实的三角函数运算能力，准确求解边长和角度。 5.易错点：易错点在于混淆仰角与俯角概念；在构建直角三角形时，对边角关系判断错误，导致三角函数选用不当；计算过程中，对三角函数值记错或运算失误，影响最终结果的准确性。 【提分秘籍】 1. 直角三角形有关的性质： ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 2. 仰角与俯角： ①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。 ②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 【典例分析】 例1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 例2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【变式演练】 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：） 2．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） (1) ； ． (2)求匾额下端距离地面的高度． 3．（2024·浙江杭州·二模）始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 4．（2024·浙江温州·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点 A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为6，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在 P 处时离地面的高度．（参考数据：，） 5．（2024·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 题型02 解直角三角形的综合应用 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．    例2．（2023·浙江·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．    例3．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）    例4．（2022·浙江宁波·中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，，，则此时点A到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 4．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·一模）在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（    ）米 A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 二、解答题 4．（2024·浙江丽水·二模）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． (1)求的长； (2)移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 5．（2024·浙江宁波·一模）2022年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，，结果精确到0.01米） (1)求此时舞者的垂直高度约为多少米； (2)如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？ 6．（2024·浙江宁波·一模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 7．（2024·浙江杭州·一模）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 8．（2024·浙江台州·二模）为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知， ，，求点到地面的距离．结果精确到 ．参考数据：，，，，， 9．（2024·浙江舟山·一模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）      (1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） (2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 10．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度 【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小． 【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小． 【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的字母表示）． 【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解直角三角形及其应用 目录 仰热点题型归纳 1 题型01 仰角与俯角问题 1 题型02 解直角三角形的综合应用 11 中考练场 22 题型01 仰角与俯角问题 解直角三角形及其应用中的仰角与俯角问题是初中数学几何知识在实际生活中应用的重要体现，通过构建直角三角形模型，利用三角函数知识解决与测量相关的实际问题，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查如何准确识别仰角与俯角，并将实际问题转化为解直角三角形问题，运用正弦、余弦、正切等三角函数进行边长和角度的计算。 2.高频题型：高频题型有测量物体高度，如已知观测点与物体的水平距离及仰角，求物体高度；测量两点间距离，通过测量仰角、俯角及其他已知边长，构建直角三角形求解；以及根据不同观测点的仰角、俯角变化，分析物体位置关系并计算相关数据。 3.高频考点：考点集中在仰角、俯角概念的理解与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）的正确选用与计算，以及将实际场景抽象为数学模型（直角三角形）的能力考查。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力，能从实际问题描述中提取关键信息；拥有良好的空间想象能力，构建准确的直角三角形模型；掌握扎实的三角函数运算能力，准确求解边长和角度。 5.易错点：易错点在于混淆仰角与俯角概念；在构建直角三角形时，对边角关系判断错误，导致三角函数选用不当；计算过程中，对三角函数值记错或运算失误，影响最终结果的准确性。 【提分秘籍】 1. 直角三角形有关的性质： ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 2. 仰角与俯角： ①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。 ②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 【典例分析】 例1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于，   在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 例2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． （2）解：能，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点N的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 【变式演练】 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，则四边形是矩形，根据，，，求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：树的高度为米． 2．（2024·浙江杭州·二模）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） (1) ； ． (2)求匾额下端距离地面的高度． 【答案】(1)， (2)匾额悬挂高度为米 【分析】（）根据垂直的定义可得，再利用锐角三角函数即可解答； （）利用矩形的判定与性质可知，，设再利用锐角三角函数即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵米，，，， ∴， ∴， 故答案为，0.8； （2）解：过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 答：额下端距离地面的高度约为米； 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直的定义，锐角三角函数，垂直的定义，直角三角形的判定与性质，正切，余弦，正弦，掌握锐角三角函数是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·二模）始建于唐中和四年的湖州“飞英塔”，至今已有千年的历史，曾有“舍利石塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，小组方案如下：无人机在距地面120米的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为140米．请根据测得的数据，求出铁塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点E，设，在中，求出，在中，得出，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， 由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴铁塔的高度约为． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点 A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为6，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在 P 处时离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】P 离地面米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的性质和判定，设P 离地面米，延长于点，延长于点，易得四边形为矩形，根据题意可得，再代入数据求解即可． 【详解】解：设P离地面米， 如图，延长于点，延长于点， ∴四边形为矩形， ， ，，， 则有：， 即， 解得：， P 离地面米． 5．（2024·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【答案】(1) (2) (3)近似值：；误差：；建议：多测几次，或者选用更精密的测量工具等． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平方差公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用两角和的正切值公式：，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴万佛塔的高度为； （3）万佛塔的高度， ∵万佛塔的实际高度是， ∴本次测量结果的误差， 建议：多次测量求平均值，可以减小误差． 题型02 解直角三角形的综合应用 【典例分析】 例1．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．    【答案】4.1 【分析】 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】 过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 例2．（2023·浙江·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．    【答案】18m 【分析】如图：过点作于点，由题意易得，进而求得，再通过解直角三角形可得，然后求出即可解答． 【详解】解：如图：过点作于点， 由题意，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．即管道的总长为．      【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得是解答本题的关键． 例3．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）    【答案】的长约为 【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ． ∴的长约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． (1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． (2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】(1)15m (2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答； （2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； （2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江金华·三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，延长交于点，由题意可知：，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度． 【详解】解：连接，延长交于点， 由题意可知：， 在中， ， ， 点到地面的高度为：， ， ， 故选：A． 2．（2024·浙江温州·三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，，，则此时点A到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，在，先算出，再结合矩形的判定与性质得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点B作 ∵， ∴ ∵， 在中， ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∴ ∴点A到的距离为 故选： B． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点E，解，得到，故； （2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ∵在中，， ∴， ， 由题意得，， ∴点D距离地面的距离与相等，即为； （2）解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设， 由题意得，四边形，为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 由题意得，, ∴， ∴， 解得， 答：的长约为． 4．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·一模）在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，则米，先解得到米，再解得到（米），则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴气球离地面的高度约为， 故选：D． 2．（2024·浙江·二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论． 【详解】解：， ． 在中， ， ． ． 故选：A． 3．（2024·浙江宁波·一模）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，，厘米， ， （厘米）， 故选：C． 二、解答题 4．（2024·浙江丽水·二模）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． (1)求的长； (2)移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 【答案】(1) (2)顶点A上升的高度约为0.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）利用等边三角形的性质可得，然后在利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵米， （米， 的长约为2米； （2）解：当是等边三角形时，， ∵米， （米， 顶点上升的高度（米， 顶点上升的高度约为0.2米． 5．（2024·浙江宁波·一模）2022年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身为1.1米，下半身为0.6米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角．（参考数据：，，，结果精确到0.01米） (1)求此时舞者的垂直高度约为多少米； (2)如图3，下半身与水平面的夹角不变，当与在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？ 【答案】(1)0.94米 (2)舞者的高度增加了0.66米 【分析】（1）过点作于点，作于点，得到，四边形为矩形．根据矩形的性质得到，，求得，解直角三角形即可得到结论； （2）作于点G，先求得，在中，求得米，从而得出 米，最后由求得最后答案， 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过点B作于点F，作于点E， ，四边形为矩形， ，， ， 在中，，米 ， 同理：， 米， 故答案为：0.94米， （2）如图，作于点G， ， 在中，米， 米， 米， 故答案为：舞者的高度增加了0.66米． 6．（2024·浙江宁波·一模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 【答案】(1) (2)所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长光线交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长光线交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 【答案】(1)弹袋B转过的路程为米 (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，求弧长： （1）根据弧长公式求解即可； （2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可． 【详解】（1）解：∵米， ∴弹袋B转过的路程（米）， 答：弹袋B转过的路程为米； （2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E， 在中，∵米， ∴（米）， ， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米． 8．（2024·浙江台州·二模）为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知， ，，求点到地面的距离．结果精确到 ．参考数据：，，，，， 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，根据中位线定理和等腰三角形的性质，即可求出的长，在中，根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ，分别是，的中点， ，， ， ， 为等腰三角形， ， ，， 在中， ， 点到地面的距离为． 9．（2024·浙江舟山·一模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）      (1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） (2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【答案】(1)点距离地面的高度约为米 (2)宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值． （1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出的长，后即可得到本题答案； （2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，   ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米）， ∴（米）， 答：点距离地面的高度约为2.5米； （2）解：根据题意四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米），（米）， ∴（米），， （米）， （米）， ， ∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸， 答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 10．（2024·浙江舟山·三模）综合与实践：利用简易测角仪测量旗杆高度 【测角原理】如图 1 ，简易测角仪由度盘、铅锤和支杆组成，铅垂线始终与地面垂直，零刻度线始终与 度盘顶线垂直，测角仪的使用时，首先把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和 度盘的零刻度线重合，然后转动顶线，使其对准目标点，此时通过指向的度数即可确定仰角的大小． 【数学证明】如图2，直线为水平地面，旗杆为零刻度线方向，请根据材料说明的大小即为仰角的大小． 【理论设计】在图 2 中，若，测角仪的支杆，点O离的距离，请据此表示出 线段的长度（用含的字母表示）． 【实践操作】如图4，由于在实际测量时同学们发现所带皮尺长度不够，因此他们改变了测量方案，测量时，先在点A 处测得仰角为，然后沿直线后退至点 B 处，测得仰角为，其 中支杆的长为1米，请根据测量数据，求出旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】【数学证明】见解析；【理论设计】；【实践操作】旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数进行线段的转换是解题的关键． （1）利用矩形的性质，进行角度的转换，即可解答； （2）利用三角函数表示出，可得，即可解答； （3）设，利用三角函数，列方程，即可求得，即可解答． 【详解】解：（1）由题意可得， 四边形是矩形， ， 由题意可得， ； （2）， ， ， 四边形是矩形 ； （3）设， ， ， ， ，即 解得 ， 答：旗杆的高度约为． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$