热点题型·专题05 概率与统计综合（3类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题05 概率与统计综合 目录 热点题型归纳 1 题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表）） 1 题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度） 13 题型03 概率的计算 26 中考练场 33 题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表）） 数据的收集与整理（统计与统计图（表））是初中数学统计与概率板块的重要内容，它主要围绕如何收集数据、整理数据以及通过图表直观呈现数据信息展开，在中考数学中分值占比约 5%-10% 。 1.考查重点：重点考查数据收集方法的选择，以及对各类统计图表（如条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等）特征和数据的解读。 2.能力要求：要求学生具备数据处理能力，能从图表中准确提取关键信息，进行合理的计算与推理，同时具备数据分析观念和统计意识。 【提分秘籍】 1. 调查数据的方法与过程： ①问卷调查法-----收集数据；②列统计表-----整理数据；③画统计图-----描述数据。 2. 全面调查与抽样调查： ①全面调查：调查全体对象。②抽样调查：调查部分对象。 3. 总体、个体、样本以及样本容量： ①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体； ③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本； ④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量。 4. 用样本估计总体： ①样本平均数：即抽出的样本中所有个体的平均数。②总体平均数：总体中所有个体的平均数。 通常情况下用一个具有代表性的样本的平均数估算总体平均数。 5. 数据描述的方法： 条形统计图，折线统计图，扇形统计图以及直方图。 6. 频数与频率： ①频数：落在每一个小组的数据个数叫做每一组的频数。②频率：频数与总数的比值叫做频率。 7. 相关计算： ①各部分具体数量等于总体数量乘以各部分所占百分比。 ②各部分在扇形中所占圆心角度数等于360°乘以百分比。 8. 画直方图的步骤： 第一步：计算数据的极差。即一组数据中的最大值减去最小值。 第二步：决定组数与组距。①组数：通常自己决定，合理组数即可。②组距：组距≥。 第三步：决定分组分点。第四步：画频数分布表。第五步：画频数分布直方图。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（    ） （A）科普讲座   （B）科幻电影   （C）AI应用   （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（    ） （E）辅助学习   （F）虚拟体验   （G）智能生活   （H）其他    根据以上信息．解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 【答案】(1)32 (2)324 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键． （1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘以更关注“辅助学习”的人数所占的百分比即可求解； （2）用1200乘以样本中该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）（人） ∴本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人； （2）（人） ∴估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数有324人． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图       请根据图中信息解答下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． (2)请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） (3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】(1)200人，40 (2)见解析 (3)360人 【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比； （2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可； （3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）被抽查的学生人数是（人）         ∵，                             ∴扇形统计图中m的值是40． （2）∵（人）， ∴补全的条形统计图如图所示                            （3）∵（人），                         ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人． 【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算． 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）【数据的收集与整理】 根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局） 【数据分析】 (1)请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系； (2)已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值； (3)将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图．根据统计图分析：    ①对图中信息作出评判（写出两条）； ②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议． 【答案】(1)人口自然增长率出生率死亡率 (2) (3)①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长（答案不唯一）； ②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意，可得人口自然增长率等于出生率减死亡率； （2）根据样本容量总体抽样比例求出的值即可； （3）①根据统计图进行解答，合理即可； ②根据目前人口自然增长率的趋势，提出合理建议，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，人口自然增长率出生率死亡率； （2）解：由题意，可得， 解得； （3）解：①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长； ②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育． 【点睛】本题考查了总体，合体，样本，样本容量，折线统计图，用调查作决策，看懂折线图，并熟知上述概念之间的联系是解题的关键． 例4．（2023·浙江杭州·中考真题）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．    (1)在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图． (3)已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数． 【答案】(1)200名 (2)见解析 (3)600名 【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）先求出B类学生人数为：(名)，再补画长形图即可； （3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解． 【详解】（1）解：(名)， 答：这次抽样调查中，共调查了200名学生； （2）解：B类学生人数为：(名)， 补全条形统计图如图所示：    （3）解：(名)， 答：估计B类的学生人数600名． 【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键． 例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球    B．乒乓球    C．足球    D．排球    E．羽毛球 调查结果       建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生？ (2)估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】(1)100 (2)360 (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数； （2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可； （3）从图中观察或计算得出，合理即可． 【详解】（1）被抽查学生数：， 答：本次调查共抽查了100名学生． （2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：， ∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：， ∴（人）． 答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360． （3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某数学兴趣小组在学习了统计相关知识以后，以“我最敬佩的职业”为主题的进行了一次调查活动，就“在医生，军人，科研工作者，教师，演员这五类职业中，你最敬佩哪一类？（必选且只选一类）”这个问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)本次调查共抽取了多少学生； (2)补全条形统计图，并求出圆心角α的度数； (3)若该中学共有1440名学生，请你估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有多少人． 【答案】(1)本次调查学生人数为72名 (2)见解析， (3)估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180人 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用军人的人数除以其占比即可求出总人数； （2）先求出科研工作者的人数，然后补全统计图，用360度乘以医生的占比即可求出其圆心角度数； （3）用1440乘以样本中科研工作者的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：名， ∴本次调查共抽取了72名学生； （2）解：科研工作者人数人 补全条形图： ； （3）解：（人） ∴该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180名． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）某校为了解本校九年级女姓体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试这些同学的测试结果分为“优秀”“良好“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 等级 跳绳个数x 人数 优秀 13 良好 a 及格 b 不及格 5    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共测试了______名女生，______； (2)等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为______度； (3)若该年级有500名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数． 【答案】(1)50，20 (2) (3)估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数为330人 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角． （1）根据等级在“优秀”的人数为与所占百分比，即可求得总人数，将等级在“良好”的百分比乘以总人数，即可求出a的值； （2）求出等级为“及格”所占的百分比，再乘以即可求得圆心角； （3）样本中1分钟“跳绳”个数不少于150个的女生所占百分比乘以总体数量即可解答． 【详解】（1）解：结合两幅统计图可得，等级在“优秀”的人数为：13人，占比为， ∴总人数为：（人）， 则等级在“良好”的人数（人）； 故答案为：50，20； （2）解：等级在“及格”的人数， 所占百分比为， ∴等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：86.4； （3）解：样本中1分钟“跳绳”个数不少于150个的女生所占百分比为：， 当该年级有500名女生时，此时该年级女生中1分钟“跳绳” 个数不少于150个的女生人数是：（人）． 3．（2024·浙江·模拟预测）某校安排九年级学生“迎亚运趣味体育比赛”，为了解学生最喜欢的趣味体育项目，就以下四个项目做了一次抽样调查． 项目 极限滑草 蹦蹦床 弯道超车 碰碰球 编号 A B C D 根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题： 项目 百分比 A 45% B m% C 15% D n% (1)求本次参与调查的学生的总人数及，的值． (2)求统计图中扇形 的圆心角度数． (3)该校九年级共有学生人，估算该校最喜欢蹦蹦床的人数． 【答案】(1)本次参与调查的学生的总人数为人，，的值分别为， (2)统计图中扇形 的圆心角度数为： (3)该校九年级共有学生人，最喜欢蹦蹦床的人数约为人 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （）由项目人数及其所占百分比即可求出总人数，用项目人数除以调查总人数得百分比可求值，由分别减项目、项目、项目所占百分比得项目的百分比即可求出值； （）用乘以项目人数所占比例即可求出扇形统计图中项目的圆心角度数； （）用总人数乘以“蹦蹦床”的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：本次参与调查的学生的总人数为： （人）， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：统计图中扇形 的圆心角度数为： ； （3）解：（人）， 答：该校九年级共有学生人，最喜欢蹦蹦床的人数约为人． 4．（2024·浙江湖州·模拟预测）某初中学校了解学生的创新意识，组织了全校学生参加创新能力大赛，从中抽取了部分学生成绩，分为5组：A组50~60：B组60~70；C组70~80；D组80~90；E组90~100统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图． (1)抽取学生的总人数是__________人，扇形C的圆心角是__________； (2)补全频数分布直方图； (3)该校共有1100名学生，若成绩在70分以下（不含70分）的学生创新意识不强，有待进一步培养，则该校创新意识不强的学生约有多少人？ 【答案】(1)300，144； (2)图见解析； (3)264人． 【分析】本题考查了用样本估计总体，频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）由D组频数及其所占比例可得总人数，用乘以C组人数所占比例可得； （2）用总人数分别乘以A、B组的百分比求得其人数，再用总人数减去A、B、C、D的人数求得E组的人数可得； （3）用总人数乘以样本中A、B组的百分比之和可得． 【详解】（1）解：抽取学生的总人数为：（人）， 扇形C的圆心角是： ， 故答案为：，； （2）解：A组人数为：人， B组人数为：（人）， 则E组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： （3）解：该校创新意识不强的学生约有： （人）． 5．（2024·浙江·模拟预测）某校正在举行“传承吴越文化，弘扬勾践精神”主题活动，为获悉同学们对于吴越文化的了解程度，学校随机问卷调查了若干名学生，设置：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，要求每名学生只选其中一项，并根据调查结果绘制了如下两种不完整的统计图． (1)求此次调查的学生人数，并求出图2中“了解”对应的扇形圆心角度数； (2)若全校共有1000名学生，调查结果为“非常了解”的学生有机会参加“吴越文化”知识竞赛，但最后只有的人参加．请你估计全校共有多少学生参加了“吴越文化”知识竞赛． 【答案】(1)200， (2)估计全校共有90名学生参加了“吴越文化”知识竞赛 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）利用“了解很少”的学生人数以占比求得此次调查的学生人数，即可求出“了解”的占比，再用乘“了解”的占比，即可求解； （2）先求得全校“非常了解”的学生人数，再乘以即可求解． 【详解】（1）解：此次调查的学生人数为（人）， 则“了解”对应的扇形圆心角度数为； （2）解：（名） 答：估计全校共有90名学生参加了“吴越文化”知识竞赛． 题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度） 数据分析（数据的集中趋势与波动程度）是初中数学统计与概率领域的核心内容，旨在通过对数据的深入剖析，揭示数据分布的特征，在中考数学中分值占比通常在 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对平均数、中位数、众数等反映数据集中趋势的统计量，以及方差、标准差等体现数据波动程度指标的理解与计算。 2.高频题型：高频题型包括根据给定数据计算集中趋势和波动程度的统计量；依据统计量对数据特征进行描述与分析；通过比较不同数据组的统计量作出合理决策。 3.高频考点：考点聚焦于平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的计算与应用，方差、标准差的概念及计算，以及利用这些统计量解决实际问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的运算能力，能够准确计算各类统计量；具备数据分析和逻辑推理能力，能依据统计量对数据进行合理评价与解读。 5.易错点：易错点在于加权平均数中权重的确定失误；计算中位数时数据排序错误；对众数可能不唯一的情况考虑不周全；计算方差时公式运用出错，以及在利用统计量进行决策时，忽略实际背景导致错误判断。 【提分秘籍】 1. 平均数： ①算术平均数：对于个数，则表示这一组数据的平均数。 ②加权平均数：对于个数的权重分别是，则表示这一组数数据的加权平均数。权重的表示一般用比的形式或者百分比占比的形式。 2. 中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3. 众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的平均数。 4. 极差： 一组数据的最大值减去最小值。 5. 方差： 若一组数是，他们的平均数是，则这组数据的方差为：。方差表示这组数据的波动情况，方差越大，数据越波动，方差越小，数据越稳定。 6. 根据已知数据的平均数与方差求关联数据的平均数与方差： 若一组数据的平均数是，方差是。则： ①数据的平均数为，方差为。 ②数据的平均数为，方差为。 ③数据的平均数为，方差为。 7. 标准差： 一组数均的方差的算术平方根就是这组数据的标准差。即。 【典例分析】 例1．1．（2024·浙江·中考真题）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键． 【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8， ∴中位数为8， 故选B． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 例3．（2023·浙江台州·中考真题）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2． 表1：前测数据 测试分数x 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2：后测数据 测试分数x 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A，B两班的学生人数分别是多少？ (2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据． (3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价． 【答案】(1)A，B两班的学生人数分别是50人，46人 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数； （2）先求解两个班成绩的平均数，再判断中位数落在哪个范围，以及15分以上的百分率，再比较即可； （3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，计算15人数的增长百分率，再从这三个分面比较即可． 【详解】（1）解： A班的人数：（人） B班的人数：（人） 答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人． （2）， ， 从平均数看，B班成绩好于A班成绩． 从中位数看，A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，B班成绩好于A班成绩． 从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩． （3）前测结果中： 从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A班中位数在这一范围，B班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，平均数，中位数的含义，增长率的含义，选择合适的统计量作分析，熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键． 例4．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 227.5 227.5    (1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 【答案】(1)平均里程：200km；中位数：，众数： (2)见解析 【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可； （2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析． 【详解】（1）解：由统计图可知： A型号汽车的平均里程：， A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数， 出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为． （2）选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车． 【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键． 例5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：      (1)数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． (2)合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 【答案】(1)①3015辆，②68.3分 (2)选B款，理由见解析 【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可； ②根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据加权平均数的意义求解即可． 【详解】（1）①由中位数的概念可得， B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆； ②分． ∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为分； （2）给出的权重时， （分）， （分）， （分）， 结合2023年3月的销售量， ∴可以选B款． 【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·模拟预测）为了解两个学校学生的跳绳情况，教育发展中心在每个学校各随机抽取了50名学生进行测试，记录每分钟跳绳成绩（满分10分）． 整理数据如下： 成绩（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A校人数（个） 13 9 10 8 6 3 0 0 1 0 0 B校人数（个） 15 10 7 8 5 4 0 1 0 0 0 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 A校 a 8 10 2.08 B校 8.1 b 10 3.12 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，_______； (2)A学校有学生1000人，B学校有学生800人，估计哪所学校满分人数多？ (3)小明说“A校的方差小于B校的方差，所以A校的跳绳成绩更好”，小明用方差评价成绩水平，你认为合理吗？______（填“合理”，“不合理”）你认为哪所学校的跳绳成绩较好，请说明理由． 【答案】(1) (2)A校满分人数多 (3)不合理，B校跳绳成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查平均数、、中位数的定义及由样本估计总体、用平均数、中位数和方差做决策等，熟知相关知识点是正确解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）由样本估计总体可得； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：（分）， 抽取了50名学生进行测试， 中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据分别是9、8， 中位数为：（分）， 故答案为：； （2）解： A校满分的人数：（人）， B校满分的人数：（人）， ， 校满分人数多 （3）解：不合理，因为B校平均数，中位数都比A校高，众数人数比A校多，并且B校的低分人数比A校少，所以B校成绩更好． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数和方差，方差的意义，熟练掌握平均数和方差的公式是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线即可； （3）根据方差公式进行计算即可 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得，； 由图得 根据中位数定义得， （2）解：如图： （3）解：甲射击成绩的平均数为：8 甲的方差为：; 乙的平均数为 乙的方差为： 3．（2024·浙江金华·二模）网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查． 【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下： A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6． 【整理数据】绘制统计表和统计图 A公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数（个） 3 4 2 1 【分析数据】 平均月收入（千元） 中位数 众数 方差 A公司 a 5 5 5 B公司 6 b 6 1.2 根据上述信息，回答下列问题： (1)______，______，______． (2)请求出扇形统计图中圆心角n的度数． (3)小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由． 【答案】(1)6，6，40 (2) (3)选“B公司”，因为平均数一样，“B公司”的中位数、众数大于“A公司”的，且“B公司”的方差小，更稳定 【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式． （1）根据平均数的计算公式可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“B公司”，平均月收入6千元的人数除以被调查的总人数即可得m； （2）用乘“B公司”平均月收入7千元所占比例可得圆心角n的度数； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【详解】（1）解：“A公司”的平均月收入； “B公司”网约车司机收入由大到小排序为：4，5，5，6，6，6，6，7，7，8，故中位数， “B公司”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为，则； （2）解：“B公司”网约车公司司机收入7000元人数为2人，故圆心角n的度数为：； （3）解：选“B公司”，理由如下： 因为平均数一样，“B公司”的中位数、众数大于“A公司”的中位数、众数，且“B公司”的方差小，更稳定． 4．（2024·浙江·模拟预测）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真 情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． A：捐款5元 B：捐款10元 C：捐款15元 D：捐款20元 E：捐款25元 (1)求本次抽查的学生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形C的圆心角的大小． (3)若该校九年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 【答案】(1)50，补全统计图详见解答； (2) (3)8040元． 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，样本平均数，样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）用样本总人数乘以“捐款为15元”的学生所占的百分比求解即可； （3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）， “捐款为15元”的学生有（人）， 补全条形统计图如下： （2）扇形C的圆心角的大小； （3）样本平均数为（元/人）， 所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元）， 答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元． 5．（2024·浙江金华·模拟预测）4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了整理，分析．下面给出了部分信息． ①初一、初二年级学生得分的折线图如下： ②初三年级学生得分：10，8，7，8，10，6，7，9，10，10； ③初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)分别记初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛成绩的方差为，，由折线统计图可知， （填不等号）． (2)统计表中 ， ． (3)根据以上数据，你认为哪个年级对航天知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】(1)＜ (2) (3)初三年级对航天知识的掌握情况更好，理由见解析 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、中位数、众数和方差等知识点，理解相关统计量的意义和计算方法是解题的关键． （1）根据方差的意义即可解答； （2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值； （3）分别根据平均数、中位数、众数进行分析判断即可． 【详解】（1）解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一，即． 故答案为：＜； （2）解：由题意得：， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，故中位数， 故答案为：； （3）解：初三年级对航天知识的掌握情况更好，理由如下： 初三年级学生得分的平均数大于初一、初二年级学生得分的平均数． 题型03 概率的计算 概率的计算是初中数学统计与概率部分的核心内容，主要研究随机事件发生可能性的量化，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查对古典概型（有限等可能事件）、几何概型等不同类型概率模型的理解，以及相应概率计算公式的运用。 2.高频题型：高频题型包含利用列举法（列表法、树状图法）计算简单事件的概率；结合实际情境判断概率模型并计算概率；根据概率大小进行决策或设计游戏规则。 3.高频考点：考点集中在简单事件概率的定义与计算，通过列举所有等可能结果求概率，概率与频率的关系，以及利用概率知识解决实际生活中的各类问题。 4.能力要求：要求学生具备清晰的逻辑思维能力，能准确分析事件的等可能性；具备良好的阅读理解能力，能从实际问题中抽象出概率模型并求解；还要有一定的创新思维，能依据概率设计合理方案。 5.易错点：易错点在于列举等可能结果时出现遗漏或重复；混淆不同概率模型，错误套用公式；对复杂事件中各事件间关系把握不准，导致概率计算错误；在实际问题中，对隐含条件挖掘不足，影响概率求解。 【提分秘籍】 1. 事件： ①确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件。 ②随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 2. 事件的可能性（概率）大小： 事件的可能性大小用概率来表示。表示为。 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率为。 3. 概率的定义与计算公式： ①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为= ②概率公式：随机事件A的概率。 4. 几何概率： 在几何中概率的求解皆用部分面积比总面积，或部分长度比总长度，或部分角度比整个大角角度。 5. 古典概型： ①定义：若在一次实验中，可能出现的结果有有限多个，且每一个结果出现的可能性大小相同，那么这样的实验称古典概型。 ②概率求法：一般地，在一次实验中，有种可能出现的结果，并且他们发生的可能性大小相同，事件A包含了其中的种结果，那么事件A发生的概率为。 6. 列表法： 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。 7. 树状法： 当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。 8. 游戏的公平性： 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平。 9. 用频率估算概率： 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。 实验的次数越多，则估算结果越精确。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 【答案】/ 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 例2．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意画出树状图，利用树状图计算概率即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下， 由树状图可知，共有4中等可能的结果，其中小赵和小黄选择同一航班有2中结果， 故他们选择同一航班的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 【变式演练】 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 【答案】/ 【点睛】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有4个红球和6个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率， 故答案为：． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键，根据题意先求得白球有个，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵共有10个小球，任意摸出一球是白球的概率为， ∴白球有（个）， 若袋子中再加入2个红球， ∴摸出一球是白球的概率为为； 故答案为：． 3．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 【答案】(1)画树状图见解析， (2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，即可求解， （2）根据数状图，所有可能出现的结果有9种，符合条件的有2种，再根据概率公式即可求解， 【详解】（1）解：画树状图如下： （2）解：由（1）得：所有可能出现的结果为 ； 其中落在的有， ∴点落在双曲线上的概率为. 4．（2024·浙江温州·模拟预测）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，以及利用树状图法求概率，解题的关键在于根据题意得出比赛情况． （1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； （2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题； 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下： 由图知，总的情况有种，其中甲得1分的情况有种， “第一轮比赛后，甲得1分”的概率为． （2）解：根据题意可得两轮比赛情况（甲，乙）如下： 第一轮 第二轮 由上可知，总的情况有种，其中乙得2分的情况有种， “两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为． 5．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 【答案】(1) (2)48人 (3) 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用列表或树状图法求概率，解题的关键是数形结合，熟练掌握统计图的特点，根据题意画出树状图． （1）先求出喜欢A的人数，然后求出喜欢C的人数，再用乘以C所占的百分比即可求解； （2）用总人数乘以D所占的百分比估计总体即可； （3）先画出树状图，然后再利用概率的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：喜欢课程的人数为（人）， 喜欢C课程的人数为（人）， ∴． （2）解：（人）， ∴最喜欢D课程的人数约为48人． （3）解：画树状图如图， ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种， ∴甲、乙被选到的概率为． 一、单选题 1．（2025·浙江温州·模拟预测）某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（   ） A．6 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答．．此题考查了平均数、中位数，掌握中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，求出x的值是本题的关键． 【详解】解：当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（为整数，故舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 故选D． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）在某次十佳歌手比赛中，六位评委给选手小曹打分，得到互不相等的六个分数．若去掉一个最低分，平均分为；去掉一个最高分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平均数的大小判断，分别确定各种情况的平均值是解答此题的关键．根据题意，可以判断、、的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得： 去掉一个最低分，平均分为最大， 去掉一个最高分，平均分为最小， 其次就是同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为， 即， 故选：A． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光，同时闭合两个开关，使小灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为：． 故选：B． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图是某城市道路的部分通行路线示意图，某车辆从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方线路的可能性相同，则该车辆从H口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为， 故选：C． 5．（2024·浙江温州·模拟预测）为了解某班级学生的跳绳成绩，体育老师从该班学生中随机抽取6名学生进行测试，得到6名学生一分钟跳绳次数分别为181，165，174，168，170，180．这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．173，171 B．173，172 C．172，172 D．173，173 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和算术平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：本组数据从小到大排列为： 165，168，170，174，180，181， 这组数据的平均数为：， 这组数据的中位数为：， 故选：B． 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A． B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 ∴添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、解答题 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）为了增强学生体质，丰富课余生活，某学校开设了．篮球飞人、．排球英雄、．足球小将、．乒乓飞舞四门体育拓展课程．要求学生全员参加且每人只能参加一项．为估计学生报名情况，随机调查部分学生，将结果绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中信息解答下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)求在扇形统计图中“课程”所对应扇形圆心角的度数，并把条形统计图补充完整； (3)若学校共有名学生，请根据以上信息估计报名“．篮球飞人”课程的学生大约有多少人？ 【答案】(1)本次调查的学生人数为60人 (2)，补全图形见详解 (3)报名“篮球飞人”课程的学生大约有240人 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据样本百分比估算总体数量，圆心角度数的计算方法是解题的关键． （1）根据D项目的人数与百分比即可求解； （2）先计算出B课程的人数，再计算圆心角度，进而可补全条形统计图； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：（人）， ∴本次调查的学生人数为60人； （2）解：课程的人数为（人）， ∴课程所对圆心角的度数为， 补全图形如下， （3）解：（人）， ∴报名“篮球飞人”课程的学生大约有人． 8．（2024·浙江温州·模拟预测）某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，A班、B班各派出5名选手组成代表队参加比赛．两班派出选手的比赛成绩如图所示．    根据图中信息，整理分析数据得到如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 85 85 B校 85 a b (1) ______， ______； (2)计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定； (3)请你从平均数、众数、中位数、方差等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛． 【答案】(1)80；100 (2)A校派出的代表队选手成绩较为稳定 (3)数据分析见解析（答案不唯一合理即可） 【分析】此题考查的是条形统计图和统计表及用各统计量作决策，掌握各统计量的定义、公式及意义是解题关键． （1）根据中位数的定义和众数的定义即可求出a和b的值； （2）根据方差公式求出两个队的方差，然后得出结论即可； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义即可得出结论． 【详解】（1）解：由条形统计图可知：B班5名选手的成绩从小到大排列后分别为：70、75、80、100、100， ∴B班5名选手的成绩的中位数为80，众数为100 ∴，； （2）解：A班的方差为：， B班的方差为：， ∴， ∴学校派出A班的代表队选手成绩较为稳定． （3）解：因为两个班的平均数相同，A班的中位线大于B班的中位线，且A班的方差小于B班的方差，所以选A班级去参加区级比赛较好． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）． 某中学名男生的身高频数统计表 组别 分组 频数 (1)请判断这名男生的身高中位数落在哪一组； (2)这名男生中身高及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？ 【答案】(1)这名男生的身高中位数落在第四组 (2)人，占所有人数的 【分析】本题考查了频数统计表的理解与分析，中位数的确定和比例计算； （1）根据中位数的定义结合频数统计表，即可求解； （2）根据频数统计表求得及以上的人数，进而求得占比，即可求解． 【详解】（1）解：通过频数统计表，前三个组（）的频数之和是， 即前三个组包含22名男生， 则第25和第26名男生的身高落在第四个组（）内 ∴这名男生的身高中位数落在第四组 （2）根据表中数据，两组的频数分别是和 因此，身高175cm及以上的男生人数为，占所有人数的． 10．（2024·浙江·一模）悦悦有一个削笔器，通过调节5个档位，这个削笔器可以削出粗细不等的笔尖，削普通铅笔通常选择第①，②，③档，削彩色铅笔通常选择第③，④，⑤档． (1)任意选择一档削铅笔，恰好选到第②档的概率是多少？ (2)按照通常选择的方案，求悦悦削一支普通铅笔和一支彩色铅笔，恰好选择了同一档的概率是多少．（请列表或画树状图分析） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算方法和列表或画树状图法计算概率； （1）根据概率的定义计算即可； （2）先画出树状图求出所有可能得结果，然后根据概率公式计算即可； 熟练掌握列表或树状图的画法是解题的关键． 【详解】（1）解：任意选择一档削铅笔，可能的结果有：①，②，③，④，⑤ 故恰好选到第②档的概率是； （2）如图， 按照通常选择的方案，悦悦削一支普通铅笔和一支彩色铅笔选择的档位可能有：①③，①④，①⑤，②③，②④，②⑤，③③，③④，③⑤ 恰好选择了同一档的结果是：③③ 恰好选择了同一档的概率是： 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下： 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 a b 2 1 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为7.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？ (2)求a，b的值． (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1)人 (2)， (3)是，理由见解析 【分析】本题考查扇形统计图，中位数，平均数，明确相关概念的定义； （1）将七年级活动成绩为分的比例乘以即可得到成绩为分的学生数； （2）根据七年级名学生活动成绩的中位数为分，可知成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，由此可确定的值； （3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可． 【详解】（1）解： (人)， 答：七年级活动成绩为7分的学生数是人； （2）七年级名学生活动成绩的中位数为分， 成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分， 即，. （3）是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率为， 七年级的平均成绩为 (分)， 八年级的平均成绩为 (分)， ∵，， ∴本次活动中优秀率高的年级平均成绩也高． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； (1)本次抽取的学生共有______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是______分，中位数是______分； (3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有______人． 【答案】(1)40，36，图见解析 (2)70，70 (3)280人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，中位数与众数，用样本估计总体： （1）用C等级的人数除以C等级人数占比即可得总人数，A等级人数除以总人数可得A等级所占比例，再乘以360度即可得其圆心角度数，总人数减去其他等级人数即可得B等级人数，从而补全条形统计图； （2）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可； （3）用该校学生总人数乘以A等级人数所占比例，即估算该校A等级学生人数． 【详解】（1）解：本次抽取的学生共有（人）， 扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是， 抽取B等级学生（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：70分的人数最多，因此众数为70分； 将40个人的成绩按顺序排列，第20、21位均在C组，因此中位数为70分； 故答案为：70，70； （3）解：（人） 答：该校书写能力等级达到优秀的学生大约有280人． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图如下（A组：，B组：，C组：，组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：73，77，73，78，72，75，77，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如表： 学校 平均数 中位数 甲 75.6 n 乙 76.1 77.5 (1)以上成绩统计图表中___________，___________． (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，比较p，q的大小，并说明理由． (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 【答案】(1)22.5，74 (2) (3)乙校学生的“思维创新能力”更强，理由见解析 【分析】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据题意求出即可求解； （3）根据中位数、平均数即可解答． 【详解】（1）解：甲班C组人数所占的百分比为， ∴， ∴， 甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75， 所以甲校学生成绩的中位数， 故答案为：22.5，74； （2）解：抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为75.6， ∴． ∵乙校的学生中，成绩的平均分为76.1，中位数为77.5，且， ∴． ∴ 故答案为：； （3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强， 理由如下： ∵在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大． 建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，77，78； c．七、八年级成绩的平均数、中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　　人，表中m的值为　　　； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 【答案】(1)23，77 (2)甲学生 (3)224人 【分析】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． （1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得，根据中位数的定义求解可得； （2）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （3）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数分的人数所占比例可得． 【详解】（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人， 七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据分别为77、77， ∴， 故答案为：23，77； （2）解：甲学生在该年级的排名更靠前， ∵七年级学生甲的成绩大于中位数77分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后， ∴甲学生在该年级的排名更靠前； （3）解：估计七年级成绩超过平均数分的人数为：（人）． 15．（2024·浙江嘉兴·一模）某中学为了解学生对“核心价值观”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下： I．成绩频数分布表： 成绩 (分) 频数 II．成绩在这一组的是(单位：分)：，，，，，，，，，，， 根据以上信息，回答下列问题： (1)这次成绩的中位数是多少？不低于分的有多少人？ (2)这次成绩的平均分是分，秀秀的成绩是分．小周说：“秀秀的成绩高于平均分，所以秀秀的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小周的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“核心价值观”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】(1)这次成绩的中位数是分，不低于分的有人 (2)不正确，理由见解析 (3)对该校学生“核心价值观”的掌握达到分及以上的大约为 【分析】本题考查了中位数，频数分布表，样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）根据中位数的定义即可求出这次成绩的中位数，根据题意及表中的数据即可得到不低于分的人数； （2）根据中位数的意义即可判断； （3）根据表中的数据作出合理评价即可． 【详解】（1）解：这次成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为（分）， 这次成绩的中位数是分， 不低于分的有：（人）； （2）不正确，理由如下： 秀秀的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数比较， 秀秀的成绩是分，这次成绩的中位数是分， 秀秀的成绩低于一半学生的成绩； （3）， 对该校学生“核心价值观”的掌握达到分及以上的大约为． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率与统计综合 目录 热点题型归纳 1 题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表）） 1 题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度） 8 题型03 概率的计算 15 中考练场 18 题型01 数据的收集与整理（统计与统计图（表）） 数据的收集与整理（统计与统计图（表））是初中数学统计与概率板块的重要内容，它主要围绕如何收集数据、整理数据以及通过图表直观呈现数据信息展开，在中考数学中分值占比约 5%-10% 。 1.考查重点：重点考查数据收集方法的选择，以及对各类统计图表（如条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等）特征和数据的解读。 2.能力要求：要求学生具备数据处理能力，能从图表中准确提取关键信息，进行合理的计算与推理，同时具备数据分析观念和统计意识。 【提分秘籍】 1. 调查数据的方法与过程： ①问卷调查法-----收集数据；②列统计表-----整理数据；③画统计图-----描述数据。 2. 全面调查与抽样调查： ①全面调查：调查全体对象。②抽样调查：调查部分对象。 3. 总体、个体、样本以及样本容量： ①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体； ③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本； ④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量。 4. 用样本估计总体： ①样本平均数：即抽出的样本中所有个体的平均数。②总体平均数：总体中所有个体的平均数。 通常情况下用一个具有代表性的样本的平均数估算总体平均数。 5. 数据描述的方法： 条形统计图，折线统计图，扇形统计图以及直方图。 6. 频数与频率： ①频数：落在每一个小组的数据个数叫做每一组的频数。②频率：频数与总数的比值叫做频率。 7. 相关计算： ①各部分具体数量等于总体数量乘以各部分所占百分比。 ②各部分在扇形中所占圆心角度数等于360°乘以百分比。 8. 画直方图的步骤： 第一步：计算数据的极差。即一组数据中的最大值减去最小值。 第二步：决定组数与组距。①组数：通常自己决定，合理组数即可。②组距：组距≥。 第三步：决定分组分点。第四步：画频数分布表。第五步：画频数分布直方图。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（    ） （A）科普讲座   （B）科幻电影   （C）AI应用   （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（    ） （E）辅助学习   （F）虚拟体验   （G）智能生活   （H）其他    根据以上信息．解答下列问题： (1)本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ (2)学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 例2．（2023·浙江湖州·中考真题）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图       请根据图中信息解答下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． (2)请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） (3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）【数据的收集与整理】 根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局） 【数据分析】 (1)请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系； (2)已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值； (3)将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图．根据统计图分析：    ①对图中信息作出评判（写出两条）； ②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议． 例4．（2023·浙江杭州·中考真题）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．    (1)在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图． (3)已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数． 例5．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球    B．乒乓球    C．足球    D．排球    E．羽毛球 调查结果       建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生？ (2)估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． (3)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【变式演练】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）某数学兴趣小组在学习了统计相关知识以后，以“我最敬佩的职业”为主题的进行了一次调查活动，就“在医生，军人，科研工作者，教师，演员这五类职业中，你最敬佩哪一类？（必选且只选一类）”这个问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)本次调查共抽取了多少学生； (2)补全条形统计图，并求出圆心角α的度数； (3)若该中学共有1440名学生，请你估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有多少人． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）某校为了解本校九年级女姓体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试这些同学的测试结果分为“优秀”“良好“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 等级 跳绳个数x 人数 优秀 13 良好 a 及格 b 不及格 5    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共测试了______名女生，______； (2)等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为______度； (3)若该年级有500名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数． 3．（2024·浙江·模拟预测）某校安排九年级学生“迎亚运趣味体育比赛”，为了解学生最喜欢的趣味体育项目，就以下四个项目做了一次抽样调查． 项目 极限滑草 蹦蹦床 弯道超车 碰碰球 编号 A B C D 根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题： 项目 百分比 A 45% B m% C 15% D n% (1)求本次参与调查的学生的总人数及，的值． (2)求统计图中扇形 的圆心角度数． (3)该校九年级共有学生人，估算该校最喜欢蹦蹦床的人数． 4．（2024·浙江湖州·模拟预测）某初中学校了解学生的创新意识，组织了全校学生参加创新能力大赛，从中抽取了部分学生成绩，分为5组：A组50~60：B组60~70；C组70~80；D组80~90；E组90~100统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图． (1)抽取学生的总人数是__________人，扇形C的圆心角是__________； (2)补全频数分布直方图； (3)该校共有1100名学生，若成绩在70分以下（不含70分）的学生创新意识不强，有待进一步培养，则该校创新意识不强的学生约有多少人？ 5．（2024·浙江·模拟预测）某校正在举行“传承吴越文化，弘扬勾践精神”主题活动，为获悉同学们对于吴越文化的了解程度，学校随机问卷调查了若干名学生，设置：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，要求每名学生只选其中一项，并根据调查结果绘制了如下两种不完整的统计图． (1)求此次调查的学生人数，并求出图2中“了解”对应的扇形圆心角度数； (2)若全校共有1000名学生，调查结果为“非常了解”的学生有机会参加“吴越文化”知识竞赛，但最后只有的人参加．请你估计全校共有多少学生参加了“吴越文化”知识竞赛． 题型02 数据分析（数据的集中趋势与波动程度） 数据分析（数据的集中趋势与波动程度）是初中数学统计与概率领域的核心内容，旨在通过对数据的深入剖析，揭示数据分布的特征，在中考数学中分值占比通常在 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对平均数、中位数、众数等反映数据集中趋势的统计量，以及方差、标准差等体现数据波动程度指标的理解与计算。 2.高频题型：高频题型包括根据给定数据计算集中趋势和波动程度的统计量；依据统计量对数据特征进行描述与分析；通过比较不同数据组的统计量作出合理决策。 3.高频考点：考点聚焦于平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的计算与应用，方差、标准差的概念及计算，以及利用这些统计量解决实际问题。 4.能力要求：要求学生具备较强的运算能力，能够准确计算各类统计量；具备数据分析和逻辑推理能力，能依据统计量对数据进行合理评价与解读。 5.易错点：易错点在于加权平均数中权重的确定失误；计算中位数时数据排序错误；对众数可能不唯一的情况考虑不周全；计算方差时公式运用出错，以及在利用统计量进行决策时，忽略实际背景导致错误判断。 【提分秘籍】 1. 平均数： ①算术平均数：对于个数，则表示这一组数据的平均数。 ②加权平均数：对于个数的权重分别是，则表示这一组数数据的加权平均数。权重的表示一般用比的形式或者百分比占比的形式。 2. 中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3. 众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的平均数。 4. 极差： 一组数据的最大值减去最小值。 5. 方差： 若一组数是，他们的平均数是，则这组数据的方差为：。方差表示这组数据的波动情况，方差越大，数据越波动，方差越小，数据越稳定。 6. 根据已知数据的平均数与方差求关联数据的平均数与方差： 若一组数据的平均数是，方差是。则： ①数据的平均数为，方差为。 ②数据的平均数为，方差为。 ③数据的平均数为，方差为。 7. 标准差： 一组数均的方差的算术平方根就是这组数据的标准差。即。 【典例分析】 例1．1．（2024·浙江·中考真题）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 例3．（2023·浙江台州·中考真题）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2． 表1：前测数据 测试分数x 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2：后测数据 测试分数x 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A，B两班的学生人数分别是多少？ (2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据． (3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价． 例4．（2023·浙江温州·中考真题）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） B 216 215 220 C 225 227.5 227.5    (1)阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数． (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议． 例5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：      (1)数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． (2)合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 【变式演练】 1．（2024·浙江台州·模拟预测）为了解两个学校学生的跳绳情况，教育发展中心在每个学校各随机抽取了50名学生进行测试，记录每分钟跳绳成绩（满分10分）． 整理数据如下： 成绩（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A校人数（个） 13 9 10 8 6 3 0 0 1 0 0 B校人数（个） 15 10 7 8 5 4 0 1 0 0 0 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 A校 a 8 10 2.08 B校 8.1 b 10 3.12 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，_______； (2)A学校有学生1000人，B学校有学生800人，估计哪所学校满分人数多？ (3)小明说“A校的方差小于B校的方差，所以A校的跳绳成绩更好”，小明用方差评价成绩水平，你认为合理吗？______（填“合理”，“不合理”）你认为哪所学校的跳绳成绩较好，请说明理由． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在某次训练中5次射击成绩（单位：环）统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8 7 a 9 8 乙 9 8 9 10 b 若数据a是甲成绩的平均数，数据b是乙成绩的中位数，根据表中数据，解答下列问题． (1)写出a和b的值． (2)根据这两人的成绩，在如图的统计图中画出表示两人成绩的折线． (3)分别计算甲、乙两人射击成绩的方差． 3．（2024·浙江金华·二模）网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查． 【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下： A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6． 【整理数据】绘制统计表和统计图 A公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数（个） 3 4 2 1 【分析数据】 平均月收入（千元） 中位数 众数 方差 A公司 a 5 5 5 B公司 6 b 6 1.2 根据上述信息，回答下列问题： (1)______，______，______． (2)请求出扇形统计图中圆心角n的度数． (3)小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由． 4．（2024·浙江·模拟预测）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真 情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． A：捐款5元 B：捐款10元 C：捐款15元 D：捐款20元 E：捐款25元 (1)求本次抽查的学生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形C的圆心角的大小． (3)若该校九年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 5．（2024·浙江金华·模拟预测）4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了整理，分析．下面给出了部分信息． ①初一、初二年级学生得分的折线图如下： ②初三年级学生得分：10，8，7，8，10，6，7，9，10，10； ③初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)分别记初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛成绩的方差为，，由折线统计图可知， （填不等号）． (2)统计表中 ， ． (3)根据以上数据，你认为哪个年级对航天知识的掌握情况更好？请说明理由． 题型03 概率的计算 概率的计算是初中数学统计与概率部分的核心内容，主要研究随机事件发生可能性的量化，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查对古典概型（有限等可能事件）、几何概型等不同类型概率模型的理解，以及相应概率计算公式的运用。 2.高频题型：高频题型包含利用列举法（列表法、树状图法）计算简单事件的概率；结合实际情境判断概率模型并计算概率；根据概率大小进行决策或设计游戏规则。 3.高频考点：考点集中在简单事件概率的定义与计算，通过列举所有等可能结果求概率，概率与频率的关系，以及利用概率知识解决实际生活中的各类问题。 4.能力要求：要求学生具备清晰的逻辑思维能力，能准确分析事件的等可能性；具备良好的阅读理解能力，能从实际问题中抽象出概率模型并求解；还要有一定的创新思维，能依据概率设计合理方案。 5.易错点：易错点在于列举等可能结果时出现遗漏或重复；混淆不同概率模型，错误套用公式；对复杂事件中各事件间关系把握不准，导致概率计算错误；在实际问题中，对隐含条件挖掘不足，影响概率求解。 【提分秘籍】 1. 事件： ①确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件。 ②随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 2. 事件的可能性（概率）大小： 事件的可能性大小用概率来表示。表示为。 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率为。 3. 概率的定义与计算公式： ①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为= ②概率公式：随机事件A的概率。 4. 几何概率： 在几何中概率的求解皆用部分面积比总面积，或部分长度比总长度，或部分角度比整个大角角度。 5. 古典概型： ①定义：若在一次实验中，可能出现的结果有有限多个，且每一个结果出现的可能性大小相同，那么这样的实验称古典概型。 ②概率求法：一般地，在一次实验中，有种可能出现的结果，并且他们发生的可能性大小相同，事件A包含了其中的种结果，那么事件A发生的概率为。 6. 列表法： 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。 7. 树状法： 当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。 8. 游戏的公平性： 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平。 9. 用频率估算概率： 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。 实验的次数越多，则估算结果越精确。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 例2．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 例3．（2023·浙江衢州·中考真题）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于 ． 【变式演练】 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为 ． 3．（2025·浙江宁波·一模）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字、、3．从袋中任意摸出一小球，然后放回，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球． (1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果． (2)将第一次摸出的数字作为点的横坐标x，第二次摸出的数字作为点的纵坐标y，求点落在双曲线上的概率． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分． (1)求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率． (2)求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率． 5．（2024·浙江杭州·二模）某学校给初一全体学生开设了，，，四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． (2)依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ (3)现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 一、单选题 1．（2025·浙江温州·模拟预测）某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（   ） A．6 B．7 C．9 D．11 2．（2024·浙江嘉兴·一模）在某次十佳歌手比赛中，六位评委给选手小曹打分，得到互不相等的六个分数．若去掉一个最低分，平均分为；去掉一个最高分，平均分为；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光，同时闭合两个开关，使小灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·浙江·模拟预测）如图是某城市道路的部分通行路线示意图，某车辆从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方线路的可能性相同，则该车辆从H口驶出的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江温州·模拟预测）为了解某班级学生的跳绳成绩，体育老师从该班学生中随机抽取6名学生进行测试，得到6名学生一分钟跳绳次数分别为181，165，174，168，170，180．这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．173，171 B．173，172 C．172，172 D．173，173 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A． B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 二、解答题 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）为了增强学生体质，丰富课余生活，某学校开设了．篮球飞人、．排球英雄、．足球小将、．乒乓飞舞四门体育拓展课程．要求学生全员参加且每人只能参加一项．为估计学生报名情况，随机调查部分学生，将结果绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中信息解答下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)求在扇形统计图中“课程”所对应扇形圆心角的度数，并把条形统计图补充完整； (3)若学校共有名学生，请根据以上信息估计报名“．篮球飞人”课程的学生大约有多少人？ 8．（2024·浙江温州·模拟预测）某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，A班、B班各派出5名选手组成代表队参加比赛．两班派出选手的比赛成绩如图所示．    根据图中信息，整理分析数据得到如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 A校 85 85 85 B校 85 a b (1) ______， ______； (2)计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定； (3)请你从平均数、众数、中位数、方差等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）． 某中学名男生的身高频数统计表 组别 分组 频数 (1)请判断这名男生的身高中位数落在哪一组； (2)这名男生中身高及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？ 10．（2024·浙江·一模）悦悦有一个削笔器，通过调节5个档位，这个削笔器可以削出粗细不等的笔尖，削普通铅笔通常选择第①，②，③档，削彩色铅笔通常选择第③，④，⑤档． (1)任意选择一档削铅笔，恰好选到第②档的概率是多少？ (2)按照通常选择的方案，求悦悦削一支普通铅笔和一支彩色铅笔，恰好选择了同一档的概率是多少．（请列表或画树状图分析） 11．（2024·浙江杭州·模拟预测）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下： 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 a b 2 1 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为7.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？ (2)求a，b的值． (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； (1)本次抽取的学生共有______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是______分，中位数是______分； (3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有______人． 13．（2024·浙江杭州·模拟预测）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图如下（A组：，B组：，C组：，组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：73，77，73，78，72，75，77，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如表： 学校 平均数 中位数 甲 75.6 n 乙 76.1 77.5 (1)以上成绩统计图表中___________，___________． (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，比较p，q的大小，并说明理由． (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图； b．七年级成绩在这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，77，78； c．七、八年级成绩的平均数、中位数如表： 年级 平均数 中位数 七 m 八 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　　人，表中m的值为　　　； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级50名测试学生中的排名谁更靠前； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 15．（2024·浙江嘉兴·一模）某中学为了解学生对“核心价值观”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下： I．成绩频数分布表： 成绩 (分) 频数 II．成绩在这一组的是(单位：分)：，，，，，，，，，，， 根据以上信息，回答下列问题： (1)这次成绩的中位数是多少？不低于分的有多少人？ (2)这次成绩的平均分是分，秀秀的成绩是分．小周说：“秀秀的成绩高于平均分，所以秀秀的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小周的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“核心价值观”的掌握情况作出合理的评价． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$