热点题型·解答题攻略 专题02 方程、不等式（组）、一次函数的实际应用（5类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

专题02 方程与不等式（组）的实际应用 目录 题型01 一元一次方程的实际应用 1 题型02 二元一次方程组的实际应用 3 题型03 分式方程的实际应用 5 题型04 一元一次不等式（组）的实际应用 7 题型05 一次函数的实际应用 9 中考练场 17 题型01 一元一次方程的实际应用 一元一次方程的实际应用是初中数学代数部分的重要内容，它是将数学知识与实际生活紧密相连的关键环节，在初中数学整体分值占比中，约为 5%-10%。 1.考查重点：考查如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出等量关系并列出一元一次方程求解。 2.高频题型：常见高频题型包括行程问题、工程问题、销售问题、调配问题以及方案选择问题等。 3.高频考点：主要考点集中在根据不同实际情境构建方程，求解方程以及对解的合理性进行检验与解释。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力、分析问题能力、数学建模能力以及计算求解能力。 5.易错点：易错点在于审题不清导致等量关系找错，解方程过程中运算错误，以及对解的实际意义判断失误。 【提分秘籍】 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题：工作总量=工作时间×工作效率。 ③配套问题：实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题：利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3. 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量．求每件产品的生产成本价． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 例3．（2024·辽宁铁岭·一模）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．求原计划每天摊铺沥青多少米． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）某玩具店预计购进A、B两种玩具，其中B种玩具的单价比A种玩具的单价多25元，且购进30个A种玩具和20个B种玩具需花费3000元．求A种玩具的单价． 2．（2024·辽宁大连·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．求甲旅行社一次最多能接待的人数． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，买100本科普书和100本文学书共用2000元．求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？ 4．（2024·辽宁·模拟预测）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 题型02 二元一次方程组的实际应用 二元一次方程组的实际应用是初中数学代数板块中解决复杂实际问题的有力工具，它承接一元一次方程，进一步拓展运用方程思想处理多变量问题的能力。在中考中，这部分内容的分值占比通常在 5% - 10% 。 1.考查重点：核心考查学生依据实际情境，精准分析出两个独立的等量关系，进而构建二元一次方程组并求解。 2.高频题型：行程问题中的相遇与追及、工程合作与分工问题、商品买卖中的价格与利润问题，以及资源分配与方案设计等问题较为常见。 3.高频考点：主要围绕根据不同场景正确列出方程组、熟练运用代入消元法或加减消元法准确求解，同时对解是否符合实际情况进行验证与说明。 4.能力要求：需要学生拥有出色的阅读理解能力，能从冗长文字中提炼关键信息；具备较强逻辑思维，梳理出变量间关系；掌握消元技巧，实现准确计算。 5.易错点：容易因对题目条件理解偏差，错误设定等量关系；在消元求解过程中，因计算粗心产生错误；还可能忽略解在实际问题中的合理性，未对结果进行有效检验。 【提分秘籍】 （1）列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）高频题型包括行程问题、工程问题、利润问题、数字问题、配套问题、年龄问题、比例问题和混合问题，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用方程组知识解决实际问题。 （3）熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁大连·一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．求每本文学名著和人物传记各多少元？ 例2．（2024·辽宁大连·一模）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分．求小明所在班级胜、负的场次各是多少？ 例3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）列方程（组）解应用题：九年级（1）班团支部计划组织部分同学利用课余时间进行社会实践：销售鲜花.经市场调研，他们认为畅销的鲜花有两种：康乃馨和百合，并知道批发价为康乃馨每枝元.百合每枝4元；而市场销售价为康乃馨每枝2元，百合每枝5元．如果用元钱进货，售出全部鲜花之后所得利润为元，求两种鲜花各进货多少枝？ 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·三模）某校计划成立课外兴趣小组，现需购买摄影器材和编程机器人．已知购买2套摄影器材和3个编程机器人所需费用相同，购买4套摄影器材和6个编程机器人需要34800元．购买1套摄影器材和1个编程机器人分别需要多少元？ 2．（2024·辽宁·模拟预测）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出2辆A型车和3辆B型车，销售总额为114万元．求每辆A型车和B型车的售价． 3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球．求篮球和排球的单价分别是多少元？ 4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某水果店以每千克4元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格为每千克3.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．该水果店两次分别购买了多少元的水果？ 题型03 分式方程的实际应用 分式方程的实际应用是初中数学代数知识板块里，用于解决诸如行程、工程、销售等涉及比例关系问题的关键内容，中考分值占比通常在 6%-10%。 1.考查重点：着重考查从实际情境中提炼出分式方程所依赖的等量关系，并通过求解分式方程来得出问题的答案。 2.高频题型：常见的高频题型包括行程问题（如速度变化相关）、工程问题（工作效率变化类）、销售问题（涉及价格比例）以及溶液配比问题等。 3.高频考点：考点主要集中在依据实际背景正确列出分式方程，运用合适的方法求解方程，同时要对所得解进行检验，包括检验是否为增根以及是否符合实际意义。 4.能力要求：学生需要拥有较强的阅读理解能力，能够精准把握实际问题中的数量关系，将其转化为分式方程模型，熟练掌握分式方程的解法并准确计算，还要具备检验解的合理性的意识与能力。 5.易错点：易错点在于对实际问题的理解不深入，致使等量关系找错从而列出错误的分式方程；在求解分式方程时，容易忘记验根，忽略增根的存在，或者在检验解的实际意义时判断失误。 【提分秘籍】 （1）高频题型包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等，这些题型以应用题的形式出现，要求学生灵活运用分式方程知识解决实际问题。 （2）熟记常见题型的解题套路，如工程问题中的“工作量=工作效率×时间”，行程问题中的“路程=速度×时间”等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 例2．（2024·辽宁大连·一模）中山市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前两天完成，求实际平均每天修绿道的长度？ 例3．（2024·辽宁辽阳·三模）因原材料持续涨价，导致某商品售价持续升高．现销售单价是涨价前的2.5倍，500元能购买的该商品数量比涨价前少30件．求该商品涨价后的销售单价． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·一模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶．求甲、乙两车的速度． 2．（2024·辽宁·模拟预测）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售如图所示的两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少36元，用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价． 3．（2024·辽宁丹东·二模）某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的倍．用元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？ 4．（2024·辽宁丹东·二模）某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬，现A型机器人要搬运物品，B型机器人要搬运物品，结果B型机器人比A型机器人提前1小时完成任务，求A型机器人每小时搬运多少千克的物品． 5．（2024·辽宁阜新·一模）年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，其官方吉祥物是一个外形酷似头巾的卡通人物，名字叫做拉伊卜，受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，已知甲车间每天加工的数量是乙车间每天加工数量的倍，两车间各加工个该吉祥物时，甲车间比乙车间少用天．求甲乙两车间每天各加工多少个吉祥物？ 题型04 一元一次不等式（组）的实际应用 不等式（组）的实际应用是初中数学代数部分用于解决现实生活中具有不等关系问题的关键内容，中考分值占比大致在 6%-10%。 1.考查重点：考查如何从实际情境里准确挖掘不等关系，构建不等式（组）模型并求解。 2.高频题型：常见的高频题型有方案设计问题（如资源分配方案）、最值问题（求利润最大、成本最小等）、比较决策问题（不同方案优劣对比）等。 3.高频考点：主要考点为依据实际背景正确列出不等式（组），运用不等式性质求解不等式（组），并根据实际意义对解集进行分析和应用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑思维能力、分析问题能力，能够将实际问题转化为数学模型，熟练运用不等式知识求解并能合理阐释结果。 5.易错点：易错之处在于审题不细致，未能准确找出不等关系，列不等式（组）时不等号方向出错，求解过程违背不等式性质，以及对解集的实际意义解读不准确。 【提分秘籍】 （1）高频题型：包括最值问题（如利润最大、成本最小）、方案设计问题（如购买方案、运输方案）、范围确定问题（如温度范围、时间范围）等。 （2）熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要结合建立函数，方案设计问题需要列出所有可能的不等式组合。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 例2．（2024·辽宁抚顺·二模）小区绿化是城市绿化建设的重要组成部分，是改善生态环境，提高环境质量的重要因素．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为8000m2，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少？ 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）“粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进1台甲种农耕设备和2台乙种农耕设备共需3.9万元；购进2台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需6.6万元． (1)求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元； (2)若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？ 2．（2024·辽宁朝阳·三模）某大型超市用6000元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的千克数是试销时的2倍． (1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ (2)若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于4360元（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？ 3．（2024·辽宁铁岭·二模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，应购买A种型号帐篷至多多少顶？ 4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）新学期开始了，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，某校9.1班想集体购买跳绳和毽子，已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元． (1)求跳绳和毽子的单价各是多少元？ (2)经商谈，商家给予9.1班购买一条跳绳即赠送一个毽子的优惠，如果9.1班需要毽子的数量是跳绳数量的2倍还多8个，且该班级购买跳绳和毽子的总费用不超过260元，那么该班级最多可购买多少条跳绳？ 题型05 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于描述现实世界中变量间呈线性变化关系的重要内容，中考分值占比约为 10%-15%。 1.考查重点：考查如何从实际问题里提炼出变量关系，建立恰当的一次函数模型并借助其性质解决问题。 2.高频题型：常见高频题型有行程问题（速度与时间的函数关系等）、费用问题（如出租车计费、水电费计算等）、方案优化问题（通过比较不同函数方案确定最优解）、最值问题（通过不等式得出自变量范围结合增减性确定）。 3.高频考点：主要考点包括依据实际背景确定函数表达式，分析函数的增减性并利用其求最值，以及结合实际情境对函数图象进行解读。 4能力要求：要求学生拥有较强的抽象概括能力、数学建模能力，能熟练运用一次函数知识分析和处理实际情境中的变量关系。 5.易错点：易错点在于对实际情境中变量的理解偏差，导致函数关系式建立错误，在利用函数性质时忽略实际意义对取值范围的限制。 【提分秘籍】 （1）解决一次函数实际应用题步骤：①透彻理解题意；②构建函数模型；③结合实际求解；④检验与作答。 （2）高频题型：包括行程问题、利润问题、费用问题、图像分析问题等，以应用题的形式出现，也常与不等式应用题结合利用一次函数的增减性解决最值问题，要求学生灵活运用一次函数知识解决实际问题。 （3）熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁锦州·模拟预测）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 共需费用（元） 购买数量（本） 3 4 288 购买数量（本） 5 2 270 素材二： 该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二： ①写出y关于x的关系式． ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？ 例2．（2024·辽宁本溪·二模）垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需的费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． (1)求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ (2)求y与x的函数关系式； (3)若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 例3．（2024·辽宁锦州·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 例4．（2024·辽宁·一模）某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程s（）与爸爸离开出发点的时间t（）的函数图象如图所示．    (1)求爸爸离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 例5．（2024·辽宁·模拟预测）某经销商计划购进某类农产品，现有，两家农产品销售公司进行促销活动，两家公司对该类农产品的标价均为元/袋，促销方式如下：公司一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折优惠；公司全部按折优惠．设经销商需要购买该类农产品袋，在公司购买所需费用为元，在公司购买所需费用为元． (1)若需要购买袋这类农产品，求出在，两家农产品公司购买需要的费用是多少元？ (2)通过计算说明，怎样选择，两家农产品公司的费用较少？ 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）每年4月23日是世界图书日，某校以图书日为契机，开展“创建书香班级”实践体验系列活动．七（1）班决定购买甲、乙两种图书共50册，甲种图书每册12元，乙种图书每册15元．相关资料表明：甲、乙两种图书的借阅率分别为85%、90%． (1)若七（1）班购买这两种图书共用去678元，则甲、乙两种图书各购买多少册？ (2)若要使这批图书的总借阅率不低于87%，则甲种图书最多购买多少册？ (3)在（2）的条件下应如何选购图书，使购买图书的费用最低？并求出最低费用． 2．（2024·辽宁·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象分别为图 2 中的线段． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求线段 所在直线的解析式； (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，并标注出a 所对应的值． 3．（2024·辽宁·模拟预测）去年国庆节小华家和小明家组队自驾沿同一路线去通化参加某活动，大连到通化距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间x之间的函数关系式； (2)两家汽车在第一次相遇后两车之间的距离超过的时间有多长？ 4．（2024·辽宁辽阳·三模）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示． (1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式； (2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨? 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 6．（2024·辽宁本溪·一模）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 a 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3． 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 1．（2024·辽宁·模拟预测）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买10本科技类图书和15本文学类图书需655元；购买20本科技类图书和25本文学类图书需1185元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有100名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过2700元，那么科技类图书最多能买多少本？ 2．（2024·辽宁锦州·二模）某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等． (1)求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？ (2)若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 3．（2024·辽宁·模拟预测）我市在开展“清洁家园”活动中，某区域有一处积水点，为了降低该区域积水的风险，政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务． (1)求实际每天改造排水管道的长度； (2)改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？ 4．（2024·辽宁锦州·二模）为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元． (1)求购买棵红枫和棵香樟各需多少元； (2)通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？ 5．（2024·辽宁·模拟预测）随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． (1)小明同学有两道题没有作答，总分为分，问小明同学一共答对了多少道题？ (2)若规定每道题都必须作答，总分不低于分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”？ 6．（2024·辽宁锦州·二模）某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等． (1)求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？ (2)若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 7．（2024·辽宁盘锦·三模）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 8．（2024·辽宁丹东·二模）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． (1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？ 10．（2025·辽宁沈阳·一模）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 11．（2024·辽宁·模拟预测）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘中物体的质量． 【试验探究】 如图1，小华仿照古人制作秤的方法制作了一个简易“杆秤”．当秤砣移动到秤纽处时，秤盘内不放重物，秤杆左右两边正好平衡．他将质量为x（单位：）的物体放在秤盘内，记录下秤杆平衡时秤砣到秤纽的水平距离y（单位：）．小华若干次称重时所记录的数据如下表所示： x/g 50 100 200 350 450 y/cm 4 8 16 28 36 【实践应用】 (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出表格中各组数值所对应的点． (2)根据（1）中点的分布特点，判断y与x的函数关系，并求y关于x的函数解析式． (3)若该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是，求此时秤盘内物体的质量是多少克． 12．（2025·辽宁沈阳·零模）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 13．（2024·辽宁·模拟预测）大樱桃是大连的特色水果，一直受到顾客的青睐.今年“美早”樱桃上市时，老李考察了市场行情，发现“美早”樱桃的销售金额y(单位：元)与销售量x(单位：)之间的关系如图所示. (1)当时，求 y 关于x 的函数解析式； (2)老李在销售时，采用了如下两种销售模式： 模式一：采用市场销售模式； 模式二：实行自主采摘，自主采摘以下(含 )，价格为元/，超过的部分按七折出售且抹零(即取小于售价的最大整数). 小颖一家准备购买，则如何购买更合算? 14．（2025·辽宁大连·一模）项目化学习 项目主题：确定不同运动效果的心率范围， 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分． 15．（2024·辽宁大连·二模）如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 16．（2024·辽宁锦州·二模）某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的稀盐酸．每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 加入稀盐酸的累计总量（单位：） … 充分反应后剩余固体的质量（单位：） … （ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”） （iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式： （iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量． 阅读以上材料．回答下列问题： (1)完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）： (2)完成小明的研究过程（iii）； (3)设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜． 17．（2024·辽宁沈阳·一模）为防控新型冠状肺炎疫情，某药店制定口罩进货方案如下表： 口罩类别 A种 B种 进价（单位：元） 3元 2元 备注 1．用不超过26000元购进A、B两种口罩共10000个； 2．A种口罩不少于4000个． (1)已知A种口罩售价是B种口罩售价的倍．某顾客购买个A种口罩和个B种口罩，一共付款元，求A、B两种口罩的售价； (2)为共克时艰，让利群众，在（1）的条件下，药店调整了销售方案；A种口罩每个售价降低a元（），B种口罩售价不变，这样所有口罩可以全部售完．问该药店应如何进货才能获得最大利润？ 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式（组）的实际应用 目录 题型01 一元一次方程的实际应用 1 题型02 二元一次方程组的实际应用 6 题型03 分式方程的实际应用 10 题型04 一元一次不等式（组）的实际应用 16 题型05 一次函数的实际应用 23 中考练场 43 题型01 一元一次方程的实际应用 一元一次方程的实际应用是初中数学代数部分的重要内容，它是将数学知识与实际生活紧密相连的关键环节，在初中数学整体分值占比中，约为 5%-10%。 1.考查重点：考查如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出等量关系并列出一元一次方程求解。 2.高频题型：常见高频题型包括行程问题、工程问题、销售问题、调配问题以及方案选择问题等。 3.高频考点：主要考点集中在根据不同实际情境构建方程，求解方程以及对解的合理性进行检验与解释。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力、分析问题能力、数学建模能力以及计算求解能力。 5.易错点：易错点在于审题不清导致等量关系找错，解方程过程中运算错误，以及对解的实际意义判断失误。 【提分秘籍】 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 常见的基本等量关系： ①行程问题基本等量关系： 路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。 顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速） ②工程问题：工作总量=工作时间×工作效率。 ③配套问题：实际生产比＝配套比。 ④商品销售问题：利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100% ⑤图形的周长，面积，体积问题。 3. 常见的建立方程的方法： ①基本等量关系建立方程。 ②同一个量的两种不同表达式相等。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量．求每件产品的生产成本价． 【答案】每件产品的生产成本价为30元 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程是解题的关键．设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据“A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg”列一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 例3．（2024·辽宁铁岭·一模）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．求原计划每天摊铺沥青多少米． 【答案】原计划每天铺设轨道80米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键．设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设轨道80米． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）某玩具店预计购进A、B两种玩具，其中B种玩具的单价比A种玩具的单价多25元，且购进30个A种玩具和20个B种玩具需花费3000元．求A种玩具的单价． 【答案】A种玩具的单价为50元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系． 设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购进30个A种玩具和20个B种玩具需花费3000元”列出方程即可求解； 【详解】设A种玩具的单价为x元． 根据题意，得，   解得 答：A种玩具的单价为50元． 2．（2024·辽宁大连·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．求甲旅行社一次最多能接待的人数． 【答案】人 【分析】当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，买100本科普书和100本文学书共用2000元．求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？ 【答案】去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据买100本科普书和100本文学书共用2000元，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据题意得： ， 解得：， 当时， 答：去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元． 4．（2024·辽宁·模拟预测）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 【答案】甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元，根据购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元，由题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元． 题型02 二元一次方程组的实际应用 二元一次方程组的实际应用是初中数学代数板块中解决复杂实际问题的有力工具，它承接一元一次方程，进一步拓展运用方程思想处理多变量问题的能力。在中考中，这部分内容的分值占比通常在 5% - 10% 。 1.考查重点：核心考查学生依据实际情境，精准分析出两个独立的等量关系，进而构建二元一次方程组并求解。 2.高频题型：行程问题中的相遇与追及、工程合作与分工问题、商品买卖中的价格与利润问题，以及资源分配与方案设计等问题较为常见。 3.高频考点：主要围绕根据不同场景正确列出方程组、熟练运用代入消元法或加减消元法准确求解，同时对解是否符合实际情况进行验证与说明。 4.能力要求：需要学生拥有出色的阅读理解能力，能从冗长文字中提炼关键信息；具备较强逻辑思维，梳理出变量间关系；掌握消元技巧，实现准确计算。 5.易错点：容易因对题目条件理解偏差，错误设定等量关系；在消元求解过程中，因计算粗心产生错误；还可能忽略解在实际问题中的合理性，未对结果进行有效检验。 【提分秘籍】 （1）列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 （2）高频题型包括行程问题、工程问题、利润问题、数字问题、配套问题、年龄问题、比例问题和混合问题，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用方程组知识解决实际问题。 （3）熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁大连·一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．求每本文学名著和人物传记各多少元？ 【答案】每本文学名著25元，每本人物传记20元． 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系．首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案． 【详解】解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． 例2．（2024·辽宁大连·一模）我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分．求小明所在班级胜、负的场次各是多少？ 【答案】小明所在的班级胜4场，负1场 【分析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． 例3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）列方程（组）解应用题：九年级（1）班团支部计划组织部分同学利用课余时间进行社会实践：销售鲜花.经市场调研，他们认为畅销的鲜花有两种：康乃馨和百合，并知道批发价为康乃馨每枝元.百合每枝4元；而市场销售价为康乃馨每枝2元，百合每枝5元．如果用元钱进货，售出全部鲜花之后所得利润为元，求两种鲜花各进货多少枝？ 【答案】康乃馨进货枝，百合进货枝． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键．设康乃馨进货枝，百合进货枝，根据题意得列方程组即可求解． 【详解】解：设康乃馨进货枝，百合进货枝， 根据题意得：， 解得：. 所以康乃馨进货枝，百合进货枝． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·三模）某校计划成立课外兴趣小组，现需购买摄影器材和编程机器人．已知购买2套摄影器材和3个编程机器人所需费用相同，购买4套摄影器材和6个编程机器人需要34800元．购买1套摄影器材和1个编程机器人分别需要多少元？ 【答案】购买1套摄影器材需要元，购买1个编程机器人需要元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、理解题意，正确列出方程组是解此题的关键．设购买1套摄影器材需要元，购买1个编程机器人需要元，根据“购买2套摄影器材和3个编程机器人所需费用相同，购买4套摄影器材和6个编程机器人需要34800元”列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设购买1套摄影器材需要元，购买1个编程机器人需要元， 由题意得：， 解得：， ∴购买1套摄影器材需要元，购买1个编程机器人需要元． 2．（2024·辽宁·模拟预测）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出2辆A型车和3辆B型车，销售总额为114万元．求每辆A型车和B型车的售价． 【答案】每辆A型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出2辆A型车和3辆B型车，销售总额为114万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元， 根据题意得：， 解得：； 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元． 3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）哈市某校计划购买一批篮球和排球，对学生们加强体能训练．已知一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个排球．求篮球和排球的单价分别是多少元？ 【答案】排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据一个篮球的单价比一个排球的单价贵16元以及2个篮球的价格等于3个排球的价格，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设排球的单价为元/个，篮球的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：排球的单价为32元/个，篮球的单价为48元/个． 4．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某水果店以每千克4元的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格为每千克3.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．该水果店两次分别购买了多少元的水果？ 【答案】水果店两次分别购买了800元和1400元的水果 【分析】本题考查了方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．设该水果店两次分别购买了x元和y元的水果．根据“第二次进货价格为每千克3.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍”、“两次购进水果共花去了2200元”列出方程组并解答． 【详解】解：设该水果店两次分别购买了x元和y元的水果． 根据题意，得 ， 解得， 答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果． 题型03 分式方程的实际应用 分式方程的实际应用是初中数学代数知识板块里，用于解决诸如行程、工程、销售等涉及比例关系问题的关键内容，中考分值占比通常在 6%-10%。 1.考查重点：着重考查从实际情境中提炼出分式方程所依赖的等量关系，并通过求解分式方程来得出问题的答案。 2.高频题型：常见的高频题型包括行程问题（如速度变化相关）、工程问题（工作效率变化类）、销售问题（涉及价格比例）以及溶液配比问题等。 3.高频考点：考点主要集中在依据实际背景正确列出分式方程，运用合适的方法求解方程，同时要对所得解进行检验，包括检验是否为增根以及是否符合实际意义。 4.能力要求：学生需要拥有较强的阅读理解能力，能够精准把握实际问题中的数量关系，将其转化为分式方程模型，熟练掌握分式方程的解法并准确计算，还要具备检验解的合理性的意识与能力。 5.易错点：易错点在于对实际问题的理解不深入，致使等量关系找错从而列出错误的分式方程；在求解分式方程时，容易忘记验根，忽略增根的存在，或者在检验解的实际意义时判断失误。 【提分秘籍】 （1）高频题型包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等，这些题型以应用题的形式出现，要求学生灵活运用分式方程知识解决实际问题。 （2）熟记常见题型的解题套路，如工程问题中的“工作量=工作效率×时间”，行程问题中的“路程=速度×时间”等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 【答案】每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据题意，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 例2．（2024·辽宁大连·一模）中山市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前两天完成，求实际平均每天修绿道的长度？ 【答案】实际平均每天修绿道的长度为180米． 【分析】根据提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成，得出等式求出即可．此题主要考查了分式方程的应用，根据已知施工天数得出等式是解题关键． 【详解】解：解：设原计划平均每天修绿道的长度为x米，则 ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合实际， （米）． 答：实际平均每天修绿道的长度为180米． 例3．（2024·辽宁辽阳·三模）因原材料持续涨价，导致某商品售价持续升高．现销售单价是涨价前的2.5倍，500元能购买的该商品数量比涨价前少30件．求该商品涨价后的销售单价． 【答案】该商品涨价后的销售单价是25元/件． 【分析】本题主要考查分式方程的应用根据题意正确列出方程是解题的关键．设该商品涨价前的销售单价是x元/件，则涨价后的单价是元/件，根据销售单价是涨价前的2.5倍，500元能购买的该商品数量比涨价前少30件，建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品涨价前的销售单价是x元/件，则涨价后的单价是元/件， 根据题意得 解得． 经检验是所列方程的解 ∴， 所以该商品涨价后的销售单价是25元/件． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·一模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶．求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意列分式方程是解题的关键．设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时，根据两车相遇时距地，结合“时间路程速度”列分式方程求解即可，注意分式方程的解要代入原分式方程检验； 【详解】解：设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时． 2．（2024·辽宁·模拟预测）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售如图所示的两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少36元，用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价． 【答案】甲种点茶器具套装的单价为160元，乙种点茶器具套装的单价为196元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系，是解题的关键．设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元，由用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．列出方程可求解． 【详解】解：设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元， 答：甲种点茶器具套装的单价为160元，乙种点茶器具套装的单价为196元． 3．（2024·辽宁丹东·二模）某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的倍．用元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？ 【答案】甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键． 设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元． 4．（2024·辽宁丹东·二模）某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬，现A型机器人要搬运物品，B型机器人要搬运物品，结果B型机器人比A型机器人提前1小时完成任务，求A型机器人每小时搬运多少千克的物品． 【答案】A型机器人每小时搬运125千克的物品 【分析】设B型机器人每小时搬运x千克的物品，根据题意，列出分式方程，求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克的物品，则A型机器人每小时搬运千克的物品， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型机器人每小时搬运125千克的物品． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 5．（2024·辽宁阜新·一模）年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，其官方吉祥物是一个外形酷似头巾的卡通人物，名字叫做拉伊卜，受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，已知甲车间每天加工的数量是乙车间每天加工数量的倍，两车间各加工个该吉祥物时，甲车间比乙车间少用天．求甲乙两车间每天各加工多少个吉祥物？ 【答案】甲车间每天加工个吉祥物，乙车间每天加工个吉祥物 【分析】设乙车间每天加工个吉祥物，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设乙车间每天加工个吉祥物，则甲车间每天加工个吉祥物， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ∴甲每天加工的吉祥物为：（个）， 答：甲车间每天加工个吉祥物，乙车间每天加工个吉祥物． 题型04 一元一次不等式（组）的实际应用 不等式（组）的实际应用是初中数学代数部分用于解决现实生活中具有不等关系问题的关键内容，中考分值占比大致在 6%-10%。 1.考查重点：考查如何从实际情境里准确挖掘不等关系，构建不等式（组）模型并求解。 2.高频题型：常见的高频题型有方案设计问题（如资源分配方案）、最值问题（求利润最大、成本最小等）、比较决策问题（不同方案优劣对比）等。 3.高频考点：主要考点为依据实际背景正确列出不等式（组），运用不等式性质求解不等式（组），并根据实际意义对解集进行分析和应用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑思维能力、分析问题能力，能够将实际问题转化为数学模型，熟练运用不等式知识求解并能合理阐释结果。 5.易错点：易错之处在于审题不细致，未能准确找出不等关系，列不等式（组）时不等号方向出错，求解过程违背不等式性质，以及对解集的实际意义解读不准确。 【提分秘籍】 （1）高频题型：包括最值问题（如利润最大、成本最小）、方案设计问题（如购买方案、运输方案）、范围确定问题（如温度范围、时间范围）等。 （2）熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要结合建立函数，方案设计问题需要列出所有可能的不等式组合。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 例2．（2024·辽宁抚顺·二模）小区绿化是城市绿化建设的重要组成部分，是改善生态环境，提高环境质量的重要因素．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为8000m2，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是300，乙工程队每天能完成的绿化面积是200 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即乙工程队每天能完成的绿化面积），再将其代入中，即可求出甲工程队每天能完成的绿化面积； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，根据要使这次的绿化总费用不超过11万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天， 根据题意得：， 解得：， 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）“粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进1台甲种农耕设备和2台乙种农耕设备共需3.9万元；购进2台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需6.6万元． (1)求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元； (2)若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？ 【答案】(1)购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元 (2)最多可以购进甲种农耕设备3台 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用： （1）设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据题意列出二元一次方程组，据此即可作答； （2）设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，列出一元一不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； （2）解：设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为3． 答：最多可以购进甲种农耕设备3台． 2．（2024·辽宁朝阳·三模）某大型超市用6000元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的千克数是试销时的2倍． (1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ (2)若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于4360元（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)试销时该品种苹果的进价是每千克6元． (2)每千克苹果的标价至少是8元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键． （1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据等量关系“本次购进数量试销时的数量”列出分方程求解即可． （2）先求出试销时和第二次进的苹果质量，再根据“两批苹果全部售完后获利不低于4360（不考虑其他因素），且最后的400千克苹果按8折（“8折”即定价的）优惠售出”列出不等式计算即可． 【详解】（1）解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元， 依题意可得：， 解得． 检验，把代入， ∴是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元； （2）解：设每千克苹果标价为m元， 试销苹果质量为（千克）， 第二次苹果质量为（千克）， （元）． 答：每千克苹果的标价至少是8元． 3．（2024·辽宁铁岭·二模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，应购买A种型号帐篷至多多少顶？ 【答案】(1)每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元 (2)应购买A种型号帐篷至多5顶 【分析】本题考查二元一次方程组和一次不等式的应用， （1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，根据购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元列出二元一次方程组求解即可； （2）设A种型号帐篷购买m顶，则B种型号帐篷为顶，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设A种型号帐篷购买m顶，则B种型号帐篷为顶， 由题意得，得， 答：应购买A种型号帐篷至多5顶． 4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）新学期开始了，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，某校9.1班想集体购买跳绳和毽子，已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元． (1)求跳绳和毽子的单价各是多少元？ (2)经商谈，商家给予9.1班购买一条跳绳即赠送一个毽子的优惠，如果9.1班需要毽子的数量是跳绳数量的2倍还多8个，且该班级购买跳绳和毽子的总费用不超过260元，那么该班级最多可购买多少条跳绳？ 【答案】(1)跳绳的单价是10元，毽子的单价是2元 (2)9.1班的跳绳最多买20条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据“已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设9.1班购买条跳绳，则还需购买个毽子，利用总价单价数量，结合总价不超过260元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：跳绳的单价是10元，毽子的单价是2元； （2）设9.1班购买条跳绳，则还需购买个毽子， 由题意得，， 解得， 为正整数， 的最大值为20． 答：9.1班的跳绳最多买20条． 题型05 一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于描述现实世界中变量间呈线性变化关系的重要内容，中考分值占比约为 10%-15%。 1.考查重点：考查如何从实际问题里提炼出变量关系，建立恰当的一次函数模型并借助其性质解决问题。 2.高频题型：常见高频题型有行程问题（速度与时间的函数关系等）、费用问题（如出租车计费、水电费计算等）、方案优化问题（通过比较不同函数方案确定最优解）、最值问题（通过不等式得出自变量范围结合增减性确定）。 3.高频考点：主要考点包括依据实际背景确定函数表达式，分析函数的增减性并利用其求最值，以及结合实际情境对函数图象进行解读。 4能力要求：要求学生拥有较强的抽象概括能力、数学建模能力，能熟练运用一次函数知识分析和处理实际情境中的变量关系。 5.易错点：易错点在于对实际情境中变量的理解偏差，导致函数关系式建立错误，在利用函数性质时忽略实际意义对取值范围的限制。 【提分秘籍】 （1）解决一次函数实际应用题步骤：①透彻理解题意；②构建函数模型；③结合实际求解；④检验与作答。 （2）高频题型：包括行程问题、利润问题、费用问题、图像分析问题等，以应用题的形式出现，也常与不等式应用题结合利用一次函数的增减性解决最值问题，要求学生灵活运用一次函数知识解决实际问题。 （3）熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁锦州·模拟预测）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 共需费用（元） 购买数量（本） 3 4 288 购买数量（本） 5 2 270 素材二： 该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二： ①写出y关于x的关系式． ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】任务一：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元 任务二：①；②当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元，根据“购进3本甲类图书和4本乙类图书共需288元；购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用4500元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为元，根据题意，列出关于函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价为元，乙类图书每本的进价为元， 根据题意，得，解得． 答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元． 任务二：①根据题意，得， ； ②根据题意，得， ， ∴随的增大而减小， ∵，且取整数， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元． 例2．（2024·辽宁本溪·二模）垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需的费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． (1)求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ (2)求y与x的函数关系式； (3)若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 【答案】(1)甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数解析式求解，一元一次不等式通过分类讨论求解是解决问题的关键． （1）设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万，，根据“回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍”列方程，解方程即可； （2）根据完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用A，B俩个垃圾站费用之和列出函数解析式即可； （3）因为清清公司在甲公司清理1立方米的费用减少a元，所以在甲公司费用单价变为元，方法同（2）即可得关系式，但是注意根据a的取值范围进行分类讨论． 【详解】（1）解：设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 此时， 答：甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； （2）解：由题意得： ∴y与x的函数关系式为； （3）解：由题意得， ∵， 解得， ①当时，，y随x的增大而增大， ∴时，y最小， 此时，甲公司在A地清运垃圾12万，在B地清运垃圾5万；乙公司在A地清运垃圾28万，在B地清运垃圾5万； ②当，清运垃圾的总费用与甲乙公司在A地清运的垃圾数量无关，均为2360万元； ③当时，，y随x的增大而减小， ∴时，y有最小值， 此时，甲公司在A地清运垃圾16万，在B地清运垃圾4万；乙公司在A地清运垃圾24万，在B地清运垃圾6万． 例3．（2024·辽宁锦州·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 例4．（2024·辽宁·一模）某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程s（）与爸爸离开出发点的时间t（）的函数图象如图所示．    (1)求爸爸离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 【答案】(1) (2)明明的跑步速度为8 (3)t的值为或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．熟练 掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设爸爸离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式：．将代入，可求，进而可得； （2）当时，．根据明明的跑步速度，求解作答即可． （3）待定系数法求明明跑步离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式为．当爸爸和明明相距，依题意得，计算求解即可；当明明还未出发和爸爸相距千米时，依题意得，计算求解即可；当明明到达目的地后，和爸爸相距千米时，依题意得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设爸爸离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式：． 将代入得，． 解得，． ∴； （2）解：当时，． ∴明明的跑步速度（）． ∴明明的跑步速度为8； （3）解：设明明跑步离开出发点的路程s（）与时间t（）的函数表达式为：． 将，代入得． 解得：． ∴． ∵爸爸和明明相距， ∴，即， ∴或． 解得：或； 当明明还未出发和爸爸相距千米时，依题意得， 解得：t； 当明明到达目的地后，和爸爸相距千米时，依题意得， 解得：t． 综上：t的值为或或或． 例5．（2024·辽宁·模拟预测）某经销商计划购进某类农产品，现有，两家农产品销售公司进行促销活动，两家公司对该类农产品的标价均为元/袋，促销方式如下：公司一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折优惠；公司全部按折优惠．设经销商需要购买该类农产品袋，在公司购买所需费用为元，在公司购买所需费用为元． (1)若需要购买袋这类农产品，求出在，两家农产品公司购买需要的费用是多少元？ (2)通过计算说明，怎样选择，两家农产品公司的费用较少？ 【答案】(1)在，两家公司购买需要的费用分别是元和元 (2)当购买袋数不足时，公司所需费用少；当购买袋数为时，，公司所需费用相同；当购买袋数超过时，公司所需费用少． 【分析】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （）根据、两家农产品销售公司促销方式分别进行计算即可； （）设经销商需要购买该类农产品袋，所花费用分别为元、元， 可得当时，，，显然此时选择公司更优惠，当时，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：（1）公司费用（元）， 公司费用（元）， 答：在，两家公司购买需要的费用分别是元和元． （2）（2）当时，， 当时，， 当时，， 由此可知， 当时，． 当时，若，则， 若，则， 若，则． 综上，当购买袋数不足时，公司所需费用少； 当购买袋数为时，，公司所需费用相同； 当购买袋数超过时，公司所需费用少． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）每年4月23日是世界图书日，某校以图书日为契机，开展“创建书香班级”实践体验系列活动．七（1）班决定购买甲、乙两种图书共50册，甲种图书每册12元，乙种图书每册15元．相关资料表明：甲、乙两种图书的借阅率分别为85%、90%． (1)若七（1）班购买这两种图书共用去678元，则甲、乙两种图书各购买多少册？ (2)若要使这批图书的总借阅率不低于87%，则甲种图书最多购买多少册？ (3)在（2）的条件下应如何选购图书，使购买图书的费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)购买甲种图书24册，乙种图书26册 (2)甲种图书至多购买30册 (3)购买甲种图书30册，乙种图书20册，即可满足这批图书的总借阅率不低于87%，又使购买图书的费用最低，其最低费用为660元 【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组或不等式或一次函数解决问题，属于中考常考题型． （1）设购买甲种图书册，则乙种图书册，列出方程组即可解决问题． （2）根据使这批图书的总借阅率不低于，列出不等式即可解决问题． （3）设购买两种图书的费用之和为，则，利用一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买甲种图书册，则乙种图书册，由题意得： ， 解得， 答：购买甲种图书24册，乙种图书26册． （2）解：设甲种图书购买册，由题意得： ， 解得． 答：甲种图书至多购买30册． （3）设购买两种图书的费用之和为，则 ， 在此函数中，随的增大而减小 所以当时，取得最小值，其最小值为（元） 答：购买甲种图书30册，乙种图书20册，即可满足这批图书的总借阅率不低于，又使购买图书的费用最低，其最低费用为660元． 2．（2024·辽宁·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象分别为图 2 中的线段． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求线段 所在直线的解析式； (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，并标注出a 所对应的值． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求解析式及一元一次方程的应用， 从函数图像获取所需信息成为解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由时间恰好是，列出方程可求解，即可画出函数图像． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的解析式为． （2）解：根据题意，得． 解得：． 画出电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象如下： 3．（2024·辽宁·模拟预测）去年国庆节小华家和小明家组队自驾沿同一路线去通化参加某活动，大连到通化距离约，由于小明家临时有事，比小华家晚出发（从小华家出发时开始计时），小华家和小明家所走路程分别记为和与时间之间的函数关系如图所示．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： (1)由于小华家的汽车在途中发生故障，因而停留了一段时间．求汽车故障排除后小华家所走的路程与时间x之间的函数关系式； (2)两家汽车在第一次相遇后两车之间的距离超过的时间有多长？ 【答案】(1) (2)两车的距离大于的时长为0.125小时 【分析】本题考查一次函数的实际应用（行程问题）： （1）先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C坐标，再利用待定系数法求直线的解析式； （2）计算出点B，点D处两车距离，可得第二次相遇之后两车的距离才有可能大于，根据时间、路程、速度之间关系列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点、点均在直线上， ， 解得， 直线的解析式是， 点在直线上，且点的横坐标为6， 点的纵坐标为， 点的坐标是； 设直线的解析式为， 点、点在直线上， ， 解得， 的解析式是； （2）解：由图象可知：两家第一次相遇后在点或点相距最远， 在点处有， 在点有， 则第二次相遇之后两车的距离才有可能大于， 而，， ，， ， 两车的距离大于的时长为0.125小时． 4．（2024·辽宁辽阳·三模）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示． (1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式； (2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨? 【答案】(1) (2)该户居民本月用水量为6吨． 【分析】此题是一次函数的应用，关键是分析统计图，得出两个不同的直线表示的意义，再结合问题进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先判断出上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设月用水量超过5吨时，y与x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， ∴； （2）解：设月用水量不超过5吨时，y与x的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴用水量不超过5吨时，， 若本月和上月用水量都不超过5吨，那么水费应该多4元， 若本月和上月用水量都超过5吨，那么水费应该多7元， 所以上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨． 设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨， 则， 解得， 该户居民本月用水量为6吨． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． 6．（2024·辽宁本溪·一模）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 a 单层部分长度 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3． 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：图见解析，，；任务2：；任务3：此时双层部分的长度为． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． 任务1：直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值；当时求出的值即可． 任务2：根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； 任务3：当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 将和代入， 得，解得； 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； 任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ； 任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 1．（2024·辽宁·模拟预测）为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买10本科技类图书和15本文学类图书需655元；购买20本科技类图书和25本文学类图书需1185元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有100名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过2700元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本28元，文学类图书每本25元 (2)66本 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用： （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据题意得， ， 解得：， 答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元； （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意得，， 解得：， 又为正整数， 的最大值为66． 答：科技类图书最多能买66本． 2．（2024·辽宁锦州·二模）某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等． (1)求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？ (2)若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】(1)去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本 (2)今年至少要购买150本文学书 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为元/本，根据数量=总价÷单价结合用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）由今年文学书的单价比去年提高了可求出今年文学书的单价，设今年购进y本文学书，则购进科普书本，根据总价=单价×数量结合购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为元/本， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 答：去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本． （2）解：今年文学书的单价为（元/本）． 设今年购进y本文学书，则购进科普书本， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150． 答：今年至少要购买150本文学书． 3．（2024·辽宁·模拟预测）我市在开展“清洁家园”活动中，某区域有一处积水点，为了降低该区域积水的风险，政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务． (1)求实际每天改造排水管道的长度； (2)改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？ 【答案】(1)实际每天改造排水管道96米； (2)接下来每天改造管道时，至少还要增加64米． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造排水管道的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造排水管道的长度； （2）利用工作时间工作总量工作效率，求出改造完排水管道总长的一半所需时间，利用工作总量工作效率工作时间，结合总工期不超过40天，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：实际每天改造排水管道96米； （2）解：改造完排水管道总长的一半所需时间为（天． 设接下来每天改造管道时，还要增加米， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为64． 答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64米． 4．（2024·辽宁锦州·二模）为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元． (1)求购买棵红枫和棵香樟各需多少元； (2)通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？ 【答案】(1)购买棵红枫需元，购买棵香樟需元 (2)至少可以购买棵香樟 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用， （1）设购买棵红枫需元，购买棵香樟需元，根据“购买棵香樟和棵红枫共花费元，购买棵红枫比购买棵香樟多花元”列出方程组，即可求解； （2）设购买香樟棵，根据“计划用不超过元的经费再次购买香樟和红枫共棵”列出不等式，即可求解； 找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买棵红枫需元，购买棵香樟需元， 由题意可得：， 解得：， 答：购买棵红枫需元，购买棵香樟需元； （2）设购买香樟棵， 由题意可得：， 解得：， ∵为正整数， ∴至少可以购买棵香樟． 5．（2024·辽宁·模拟预测）随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． (1)小明同学有两道题没有作答，总分为分，问小明同学一共答对了多少道题？ (2)若规定每道题都必须作答，总分不低于分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”？ 【答案】(1)小明同学一共答对了道题 (2)至少需答对道题才能被评为“航天小达人” 【分析】（1）设小明同学一共答对了道题，则答错了道题，由此列方程即可求解； （2）设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题，由此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小明同学一共答对了道题，则答错了道题， ∴由题意得，解得， ∴小明同学一共答对了道题． （2）解：设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题， ∴由题意得，解得， ∴至少需答对道题才能被评为“航天小达人”． 【点睛】本题主要考查方程与不等式的综合，理解题目中的数量关系，掌握数量关系列方程，不等式解实际问题是解题的关键． 6．（2024·辽宁锦州·二模）某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等． (1)求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？ (2)若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】(1)去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本 (2)今年至少要购买150本文学书 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为元/本，根据数量=总价÷单价结合用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）由今年文学书的单价比去年提高了可求出今年文学书的单价，设今年购进y本文学书，则购进科普书本，根据总价=单价×数量结合购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为元/本， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 答：去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本． （2）解：今年文学书的单价为（元/本）． 设今年购进y本文学书，则购进科普书本， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150． 答：今年至少要购买150本文学书． 7．（2024·辽宁盘锦·三模）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 【答案】(1)小东的商店购进上衣300件，裤子200件 (2)九折 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据“用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元”列出方程组，并求解即可； （2）每件裤子打m折，根据“第二次销售活动获利不少于12300元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小东的商店购进上衣x件，裤子y件， 根据题意得：， 解得：． 答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件； （2）解：设每件裤子打m折， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9． 答：每件裤子至少打九折． 8．（2024·辽宁丹东·二模）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． (1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【答案】(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元； (2)至少购进A种商品100件． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用： （1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． （2）解：设A种商品购进a件，则B种商品件， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A种商品100件． 9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 (2)该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据“进货总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6180元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该商场共有5种进货方案，再求出选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元． 根据题意，得 解得 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元． （2）设购进甲型头盔m个，则购进乙型头盔个． 根据题意，得 解得：． 为整数，可取80、81、82、83、84共5个，所以该商场有5种采购方案． 设总利润为W元， 则． ， 随m的增大而减小， 当时，元． 答：该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元． 10．（2025·辽宁沈阳·一模）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； (2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元， 根据题意得：10， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶， 根据题意得：， 解得：， 设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 11．（2024·辽宁·模拟预测）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘中物体的质量． 【试验探究】 如图1，小华仿照古人制作秤的方法制作了一个简易“杆秤”．当秤砣移动到秤纽处时，秤盘内不放重物，秤杆左右两边正好平衡．他将质量为x（单位：）的物体放在秤盘内，记录下秤杆平衡时秤砣到秤纽的水平距离y（单位：）．小华若干次称重时所记录的数据如下表所示： x/g 50 100 200 350 450 y/cm 4 8 16 28 36 【实践应用】 (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出表格中各组数值所对应的点． (2)根据（1）中点的分布特点，判断y与x的函数关系，并求y关于x的函数解析式． (3)若该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是，求此时秤盘内物体的质量是多少克． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据描点法的基本要求，确定点的位置即可． （2）根据一次函数的性质，利用待定系数法解答即可． （3）根据函数的解析式，求相应的函数值即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】（1） （2）解：根据图象可知是的一次函数． 设一次函数的解析式为． 将代入， 得 解得 一次函数的解析式为． （3）解：由（2）可知一次函数的解析式为． 当时，． 解得． 当该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是40cm时，秤盘内物体的质㩆是． 12．（2025·辽宁沈阳·零模）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 13．（2024·辽宁·模拟预测）大樱桃是大连的特色水果，一直受到顾客的青睐.今年“美早”樱桃上市时，老李考察了市场行情，发现“美早”樱桃的销售金额y(单位：元)与销售量x(单位：)之间的关系如图所示. (1)当时，求 y 关于x 的函数解析式； (2)老李在销售时，采用了如下两种销售模式： 模式一：采用市场销售模式； 模式二：实行自主采摘，自主采摘以下(含 )，价格为元/，超过的部分按七折出售且抹零(即取小于售价的最大整数). 小颖一家准备购买，则如何购买更合算? 【答案】(1) (2)按模式二购买更合算 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据题意利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键. （1）当时，设y关于x 的函数解析式为，根据图象过点和利用待定系数法求出答案即可； （2）分别按照两种模式计算出所需钱数，比较后即可得到答案. 【详解】（1）解：当时，设y关于x 的函数解析式为，将点和代入得到， ， 解得 ∴y关于x 的函数解析式为； （2）按模式一购买：当时，， 按模式二购买：（元）， 即需付款元， ∵， ∴按模式二购买更合算. 14．（2025·辽宁大连·一模）项目化学习 项目主题：确定不同运动效果的心率范围， 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分． 【答案】(1)一次，y关于x的函数表达式为； (2)140，160，114，133 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）分别将和代入（1）中求得的函数关系式，再根据运动效果对应的运动心率占最大心率的百分比计算即可． 【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入, 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 当时，，（次/分），（次/分）， ∴小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分． 故答案为：140，160；114，133． 15．（2024·辽宁大连·二模）如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的解析式为，当时，，可求，然后作答即可； （2）待定系数法求的解析式为；将代入，可求；将代入，可求；根据，计算求解即可． 【详解】（1）解 ：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 解得，， ∴甲手机电量充至时，所需时间为； （2）解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为； 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； ∵， ∴甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差为． 16．（2024·辽宁锦州·二模）某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的稀盐酸．每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 加入稀盐酸的累计总量（单位：） … 充分反应后剩余固体的质量（单位：） … （ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”） （iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式： （iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量． 阅读以上材料．回答下列问题： (1)完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）： (2)完成小明的研究过程（iii）； (3)设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜． 【答案】(1)见解析，一次函数 (2) (3) 【分析】本题考查了跨学科知识综合，图象的画法，一次函数性质． （1）根据描点法画出图象，结合点的走势，函数特点解答即可． （2）设该函数表达式是，选择两个点，待定系数法计算解答即可． （3）当时，即，解答即可． 【详解】（1）描点如下： 结合图象的特点，这一个函数的类型最有可能是一次函数， 故答案为：一次函数． （2）设该函数表达式是，将，代入上式，得， 解得． 故函数表达式是． （3）根据题意，当剩余固体的质量保持不再变化时，剩余固体均为铜，由（2）可得，当时，即， 解得， 所以当加入稀盐酸的总量至少为时，剩余固体均为铜． 17．（2024·辽宁沈阳·一模）为防控新型冠状肺炎疫情，某药店制定口罩进货方案如下表： 口罩类别 A种 B种 进价（单位：元） 3元 2元 备注 1．用不超过26000元购进A、B两种口罩共10000个； 2．A种口罩不少于4000个． (1)已知A种口罩售价是B种口罩售价的倍．某顾客购买个A种口罩和个B种口罩，一共付款元，求A、B两种口罩的售价； (2)为共克时艰，让利群众，在（1）的条件下，药店调整了销售方案；A种口罩每个售价降低a元（），B种口罩售价不变，这样所有口罩可以全部售完．问该药店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)A种口罩的售价为元，B种口罩的售价为元； (2)①当时，A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大；②当时，利润均为元；③当时，A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大． 【分析】本题考查了一次函数和不等式组的应用；（1）设B种口罩的数量的售价为元，则A种口罩的售价为元，，根据购买个A种口罩和个B种口罩，一共付款元即可列出方程求解， （2）设购进A种口罩个，则B种口罩的数量为个，根据商品利润计算总利润，得到利润关于m的一次函数解析式，由a的取值范围分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设B种口罩的数量的售价为元，则A种口罩的售价为元，根据题意得： ， 解得， 则， 答：A种口罩的售价为元，B种口罩的售价为元； （2）设购进A种口罩个，则B种口罩的数量为个，根据题意得： ， 解得， 设全部售完获得利润为y元，根据题意得： ， ∵， ∴有以下三种情形： ①当时，， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴时，y最大值； 故A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大； ②当时，，获得利润均为元； ③当时，， ∴y随m的增大而减小， 又， ∴时，最大值； 故A种口罩购进个，B种口罩购进个，利润最大． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$