专题07 分式和分式方程及应用压轴汇编(七大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题07 分式方程及应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用分式的基本性质判断分式值的变化 1 类型二、分式求值通分 2 类型三、根据分式方程解的情况求值 4 类型四、分式方程的工程问题 7 类型五、分式方程的经济问题 10 类型六、分式方程的其他实际问题 13 压轴能力测评（13题） 17 类型一、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【变式1-1】（23-24八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式1-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【变式1-3】（23-24八年级上·北京延庆·期中）如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的倍 C．不改变 D．扩大为原来的倍 类型二、分式求值通分 【典例2】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知， ． 【变式2-2】（2021·山东东营·一模）若，则分式 ﹒ 【变式2-3】（23-24八年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 类型三、根据分式方程解的情况求值 【典例3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【典例3-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式方程有增根，则 ． 【变式3-2】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程无解，则实数 ． 类型四、分式方程的工程问题 【典例4】（2025八年级下·全国·专题练习）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元． (1)求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？ (2)从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由； (3)若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？ 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆云阳·期末）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 【变式4-3】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 类型五、分式方程的经济问题 【典例5】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【变式5-1】（2022·四川成都·二模）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【变式5-2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 类型六、分式方程的其他实际问题 【典例6】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【变式6-1】（23-24九年级下·北京西城·开学考试）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【变式6-2】（23-24八年级上·重庆合川·期末）某大型包裹分拣中心采用人工分拣和机器自动化分拣对包裹进行分拣． (1)已知一条人工分拣流水线5分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线3分钟分拣的包裹总量为210件，一条人工分拣流水线3分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线6分钟分拣的包裹总量为315件．求一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？ (2)随着智能化发展，该包裹分拣中心将人工分拣流水线更换为智能分拣流水线，其每分钟平均分拣的包裹数量是自动分拣流水线的4倍，分拣完1500件包裹，一条智能分拣流水线比一条自动分拣流水线少用25分钟，求一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？ 【变式6-3】（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 3．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 6．（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于x的方程的解是正数，则字母m的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·重庆·期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 8．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若一个各数位上的数字均不为0且互不相同的三位正整数，满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称该三位数为“2倍数”，交换的百位数字和个位数字，得到三位正整数，记，．若是“2倍数”且，则的各个数位上的数字之和为 ；若三位正整数（为整数且，，）是“2倍数”，且与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，则的最小值是 ． 9．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 10．（2023·湖北荆门·一模）已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 13．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式方程及应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用分式的基本性质判断分式值的变化 1 类型二、分式求值通分 2 类型三、根据分式方程解的情况求值 4 类型四、分式方程的工程问题 7 类型五、分式方程的经济问题 10 类型六、分式方程的其他实际问题 13 压轴能力测评（13题） 17 类型一、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 【详解】解：分式中的与都扩大2倍，得 ， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）如果把分式：中的x、y都扩大10倍，那么分式的值是（   ） A．扩大10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化． 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：将分式中的和都扩大倍，得： ， ∴和都扩大倍后，分式的值缩小为原来的， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级上·北京延庆·期中）如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的倍 C．不改变 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】由， ∴扩大为原来的倍， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 类型二、分式求值通分 【典例2】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知， ． 【答案】/-0.125 【分析】根据得出，然后将进行变形，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，由得出，将变形为，是解题的关键． 【变式2-2】（2021·山东东营·一模）若，则分式 ﹒ 【答案】 【分析】将两边都乘，得：①，再将变形为②，将①代入②即可化简计算﹒ 【详解】解：两边都乘，得： ① ② 将①代入②得： 故答案为：﹒ 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【变式2-3】（23-24八年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 类型三、根据分式方程解的情况求值 【典例3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【典例3-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组有且仅有4个整数解确定a的取值范围；解分式方程，根据方程的解是正数列不等式求出a的取值范围，进而求出a的值，然后求和即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∵不等式组有且仅有4个整数解 ∴ ∴ 两边都乘以，得 ∴ ∵分式方程的解为正数 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴且 ∴满足条件的整数a的值有： ∴满足条件的整数a的值的和为 故答案为： 【变式3-1】（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式方程有增根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式方程的增根．将原分式方程去分母，变形为整式方程，用含k的式子表示出方程的解，再根据分式方程有增根得到，即可求出k的值． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 分式方程有增根， ， ， 解得， 故答案为：5． 【变式3-2】（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 【变式3-3】（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 类型四、分式方程的工程问题 【典例4】（2025八年级下·全国·专题练习）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元． (1)求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？ (2)从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由； (3)若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队单独施工完成全部工程各需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要60天； (2)选甲工程队单独施工完成 (3)28天 【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解； （2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000”求出甲乙队每天工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论； （3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程，根据两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000列出不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需天． 根据题意得． 解这个方程得． 经检验是所列方程的解． ∴当时，． 答：甲工程队单独施工完成全部工程需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程需要60天； （2）解：方案为：选甲工程队单独施工完成． 理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为（天）， 设乙队每天工程费用为a元，则甲乙队每天工程费用为元， 由题意得， 解得， ∴甲队完成全部工程费用为（元），乙完成全部工程费用为（元）， 又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用元， ∵， ∴选甲工程队单独施工完成； （3）解：设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工天才能完成全部工程， 由题意得， 解得， 答：甲工程队至少要施工28天． 【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆云阳·期末）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长420千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有255千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的3倍少15千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间多20%，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【答案】(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是千米和千米 (2)该公司完成隧道施工的时间是天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设隧道施工的里程是x千米，则桥梁施工的里程是千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是420千米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设该公司完成隧道施工的时间是y天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，利用工作效率工作总量工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多1千米，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 答：桥梁施工和隧道施工的里程分别是千米和千米； （2）解：设该公司完成隧道施工的时间是天，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：该公司完成隧道施工的时间是天． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 【答案】(1)型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． (2)至多安排型机器工作天． 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，根据型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设型机器人工作天，由题意列出不等式组，为整数，求出的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）解：设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，由题意列方程为： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则， ∴型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． （2）解：设型机器人工作天，型机器人工作天， 由题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴最小为， 将代入中，解得工作天数约为，总费用为： ，符合题意， ∴至多安排型机器工作天． 【变式4-3】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天 (2)组至少增加17人 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验； （2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（天） 答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天； （2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， m最小可取17， 答：组至少增加17人． 类型五、分式方程的经济问题 【典例5】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【答案】(1)安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品 (2)25元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的实际应用． （1）根据“4个A产品和1个B产品配成一套”列方程求解； （2）根据“花3000元购买了一些团圆套装，发现比上次恰好少买了20套”列方程求解． 【详解】（1）解：设应安排x名工人制作A产品， 根据题意，得． 解得：， ， 答：应安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品； （2）解：设一月份每套“团圆”套装的售价是y元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：一月份每套“团圆”套装的售价是25元． 【变式5-1】（2022·四川成都·二模）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 【变式5-2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 类型六、分式方程的其他实际问题 【典例6】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 【变式6-1】（23-24九年级下·北京西城·开学考试）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 【变式6-2】（23-24八年级上·重庆合川·期末）某大型包裹分拣中心采用人工分拣和机器自动化分拣对包裹进行分拣． (1)已知一条人工分拣流水线5分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线3分钟分拣的包裹总量为210件，一条人工分拣流水线3分钟分拣的包裹与一条自动分拣流水线6分钟分拣的包裹总量为315件．求一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？ (2)随着智能化发展，该包裹分拣中心将人工分拣流水线更换为智能分拣流水线，其每分钟平均分拣的包裹数量是自动分拣流水线的4倍，分拣完1500件包裹，一条智能分拣流水线比一条自动分拣流水线少用25分钟，求一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹各多少件？ 【答案】(1)一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为15件，45件 (2)一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为45件，180件 【分析】本题考查了二元一次方程以及分式方程的实际应用： （1）先设一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为x件，y件，再依题意，列式计算，即可作答． （2）设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为a件，则一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为件，再依题意，列式计算，即可作答． 注意分式方程要验根 【详解】（1）解：解：设一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为x件，y件， 由题意得 解方程组，得 答：一条人工分拣流水线与一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为15件，45件． （2）解：设一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为a件，则一条机器自动分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为件，由题意得 解方程，得． 经检验，当时，． 所以，原分式方程的解为，且． 答：一条机器自动分拣流水线与一条智能分拣流水线每分钟平均分拣包裹分别为45件，180件． 【变式6-3】（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 (2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 3．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】分别求出原来平均每天用水吨数和现在平均每天用水吨数，用原来平均每天用水吨数减去现在平均每天用水吨数，即得． 【详解】原来a天用水b吨，原来平均每天用水吨， 现在这些水可多用4天，现在平均每天用水吨， 现在平均每天比原来少用水，（吨）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是熟练列出用水量相同，用水时间不同的平均每天用水量的计算表达式． 4．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可． 【详解】解：∵， 则有： ， ， 则原式 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的分式方程 有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于x的方程的解是正数，则字母m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程的一般步骤：一化整式方程，二解整式方程解出方程，一元一次不等式的与实际问题，理解分式方程的解的意义是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤解出方程，再根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得，， 解得，， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴， 解得，且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·重庆·期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解．先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定的值即可． 【详解】解：解方程得 依题得且为整数，， 且为3的倍数，， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， ，且， 为3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 的值为1或4， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：5． 8．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若一个各数位上的数字均不为0且互不相同的三位正整数，满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称该三位数为“2倍数”，交换的百位数字和个位数字，得到三位正整数，记，．若是“2倍数”且，则的各个数位上的数字之和为 ；若三位正整数（为整数且，，）是“2倍数”，且与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，则的最小值是 ． 【答案】 18 【分析】本题考查了因式分解的应用，分式的运算，整式的运算，新定义等知识． 设M的百位数字、十位数字与个位数字分别为a、b与c，则由题意得，可分别表示出M、、，则由可求得b的值，从而求得；由题意易求得，与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，即是7的整数倍，从而也是7的整数倍，由此确定a与c的值，即可求得的最小值． 【详解】解：设M的百位数字、十位数字与个位数字分别为a、b与c， ∵是“2倍数”， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵，且N是是“2倍数”， ∴，即； ∵， ∴，， ∴； ∵与其各个数位上的数字之和是7的整数倍， ∴是7的整数倍， 即也是7的整数倍； ∵， ∴当，时；当，时；当，时；都是7的整数倍； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的最小值为； 故答案为：18；． 9．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，由分式方程得，由一元一次不等式组得，根据不等式组有解且最多有六个整数解，即可得到，再由为整数，即可得到的值，正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由得， ∵不等式组有解且最多有六个整数解， ∴， ∵为整数， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 10．（2023·湖北荆门·一模）已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先找到规律的值每6个一循环，再求出，由，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， …， ∴的值每6个一循环， ∵ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 13．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个，②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个，其中方案②雪花总数最多，为48个． 【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被16整除，得出、，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个， 根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 把代入并解得：， ∵是整数， 所以m必须能被16整除， ∴，， 对应的采购方案为: ①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个， ②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个， 其中方案②雪花总数最多，为48个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$