专题07 二元一次方程组章末压轴汇编（九大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题07 二元一次方程组章末压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、已知二元一次方程组的解求参数 1 类型二、二元一次方程组的特殊解法 2 类型三、二元一次方程组的错题复原问题 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 类型五、方程组相同解问题 5 类型六、销售利润问题 6 类型七、分配问题 8 类型八、几何问题 9 类型九、其他问题 9 压轴能力测评（16题） 11 考点1：二元一次方程组的解法相关 解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法 不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。 考点2：二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一次方程来解。 类型一、已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）已知方程组的解为，则A，B的值分别为（   ） A．2，3 B．1，3 C．5，1 D．2，4 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 类型二、二元一次方程组的特殊解法 【典例2-1】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【典例2-2】（22-23八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【变式2-1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 类型三、二元一次方程组的错题复原问题 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【变式3-2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组的解． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例4】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【变式4-2】（22-23七年级下·广东东莞·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 类型五、方程组相同解问题 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【变式5-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 类型六、销售利润问题 【典例6】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式6-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 【变式6-3】（22-23七年级下·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 类型七、分配问题 【典例7】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【变式7-1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【变式7-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案? (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 类型八、几何问题 【典例8】（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）现有八个大小相同的小长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是 ．    【变式8-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ． 类型九、其他问题 【典例9】（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） (1)若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； (2)若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； (3)测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 【变式9-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【变式9-2】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 2．（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（   ） A．2， B．，1 C．，2 D．1， 4．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，将块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 二、填空题 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 三、解答题 14．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二元一次方程组章末压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、已知二元一次方程组的解求参数 1 类型二、二元一次方程组的特殊解法 3 类型三、二元一次方程组的错题复原问题 4 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 10 类型五、方程组相同解问题 12 类型六、销售利润问题 14 类型七、分配问题 18 类型八、几何问题 21 类型九、其他问题 23 压轴能力测评（16题） 27 考点1：二元一次方程组的解法相关 解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法 不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。 考点2：二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一次方程来解。 类型一、已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． （1）将代入方程组计算即可得； （2）将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 所以． （2）解：由（1）已得：， 则． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）已知方程组的解为，则A，B的值分别为（   ） A．2，3 B．1，3 C．5，1 D．2，4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键．把代入②可得，把代入①得：，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴， 把代入①得：， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，将代入二元一次方程组得到的值，再代入式子求解即可． 【详解】解：将代入中，得： 根据，解得 根据，解得： 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组两个方程左右两边都相等的未知数的值，据此把代入中，求出y的值，再把x、y的值代入中求出p的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 类型二、二元一次方程组的特殊解法 【典例2-1】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为 ； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，，则原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解得，即，即可求解； （3）原方程组可化为，设，，则原方程组可化为，根据的解为，得，即可求解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 故答案为：． （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得，即， 解得． （3）解：原方程组可化为， 设，，则原方程组可化为， 根据题意，得，即， 解得． 【典例2-2】（22-23八年级上·河南郑州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】B 【分析】利用方程①减去方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）方程组的解是．那么方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是 ∴中 ∴方程组的解是． 故选：C． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意可得，求解即可． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：A    ． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 类型三、二元一次方程组的错题复原问题 【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解. 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解． 【详解】解：由题意可知是的解， 于是可得，解得， 同理可得， 故原方程组为， 由①，得③， 把③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为． 【变式3-2】（2025七年级下·全国·专题练习）小明在解方程组时，由于粗心，看错了方程组中的n，他得到的解为小红也粗心，看错了方程组中的m，她得到的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义，解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键． 把代入方程组的第一个方程，把代入方程组的第二个方程，即可得到一个关于m，n的方程组，求出m，n的值，然后把m，n的值代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】根据题意得： 解得： 原方程组是： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例4】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：， 两个方程相加得：，即； 由于，即， 解得：； 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式4-2】（22-23七年级下·广东东莞·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．两式相加得到，再根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相加，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 类型五、方程组相同解问题 【典例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，代数式求值，解题的关键是正确求出方程组的解． （1）根据二元一次方程组的解法即可求出答案． （2）将代入，然后根据a,b的值即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， 它们的相同解是； （2）把代入 得 解得 所以． 类型六、销售利润问题 【典例6】（2025·宁夏·模拟预测）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 (3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 【变式6-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 【答案】(1)帽子件，手套件； (2)元． 【分析】（1）设第一次学校购买件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可； （2）设第二次学校购买了件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次学校购买件帽子，件手套， 由题意得， 解得， 答：第一次学校购买帽子件，手套件． （2）解：设第二次学校购买了件帽子，件手套， 由题意得， 解得， （元）， 该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 答：该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键正确理解题意并列出二元一次方程组． 【变式6-3】（22-23七年级下·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【详解】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 类型七、分配问题 【典例7】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 【变式7-1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组． 【变式7-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案? (3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资 (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车 (3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答； （3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资， 依题意得： 解得：     答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资． （2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意得：300a+400b=3100， ∴． 又∵a，b均为非负整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆小货车，1辆大货车； 方案2：租用5辆小货车，4辆大货车； 方案3：租用1辆小货车，7辆大货车． （3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）； 方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）； 方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）． ∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． 类型八、几何问题 【典例8】（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在如图所示的长方形中放入六个长，宽都相同的小长方形．若，，则图中阴影部分的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（几何问题），读懂题意，根据题中的几何关系正确列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意得，解方程组即可求出、的值，然后根据“”即可求出图中阴影部分的面积之和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 故选：． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）现有八个大小相同的小长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是 ．    【答案】60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵图2中中间的正方形面积为4， ∴图2中中间的正方形的边长为2， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴每个小长方形的面积为， 故答案为：60． 【变式8-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】44 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ， ． 故答案为：44． 类型九、其他问题 【典例9】（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） (1)若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； (2)若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； (3)测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 【答案】(1) (2) (3)20克 【分析】本题主要考查二元一次方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“左盘物体质量右盘物体质量”进行计算即可得出结论； （2）根据题意得，结合m，n为整数可求出m，n的值，即可得出的值； （3）设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克，根据右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体n，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体n，发现点P移动到时，天平平衡可列出方程组，求出方程组的解即可 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：3； （2）解：根据题意得，， ， ∵m，n为整数， ∴，， ∴； （3）解：设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克， 化简得： 解得： 答：一个小球的质量为20克. 【变式9-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】(1)；5 (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 (3)130 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值，进而求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解； （3）设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为，由题意可得：，由，即可求解． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：，即：． 故答案为：，5； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元； （3）解：设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为， 由题意可得：， 由，可得：，解得：， 即：桌子的高度为， 故答案为：130． 【变式9-2】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 2．（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出，如果每包饼干元，每瓶矿泉水元，那么他们买了______包饼干、______瓶矿泉水（     ） 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水 支出金额单位：元 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设他们买了包饼干，瓶矿泉水，利用，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均数正整数，即可出结论． 【详解】解：设他们买了包饼干，瓶矿泉水， 根据题意得：， 又，均为正整数， ， 他们买了包饼干，瓶矿泉水． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（   ） A．2， B．，1 C．，2 D．1， 【答案】A 【分析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组；把两组解分别代入方程中，得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故选：A 4．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，将块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设每块小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据图中关系和拼成一个周长为厘米的大长方形地板砖，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设每块小长方形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 解得：， ， 即每块小长方形地板砖的面积为， 故选：C． 5．（23-24七年级下·福建福州·期中）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键． 【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， 又∵， 解得：，， 把，代入得，， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，利用方程①加上方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， 得， 将代入上式，得：， 解得：， 故选：B． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低”，可得关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可求出每块墙砖的面积． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 故选：B． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊运算，熟悉掌握如何联立系数是解题的关键． 由两方程组的系数相同，联立两方程组后运算求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵的解为，且与的系数相同， ∴联立与的可得： ，解得： 故选：B． 10．（22-23八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 二、填空题 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知关于的方程组，若，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 14．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， 故答案为：． （2）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 【答案】这种书的厚度为，竖放时的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设这种书的厚度为，竖放时的高度为，然后根据题干信息找到等量关系，列出方程组，即可求解； 【详解】解：设这种书的厚度为，竖放时的高度为， 根据题意，得， 解得， 答：这种书的厚度为，坚放时的高度为． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$