精品解析：辽宁省大连市西岗区第三十四中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

“认识自我 优我成长”——九年级数学 满分120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 4 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 九年一班计划举办手抄报展览，确定了“时代”“”“豆包”．三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则b满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 10. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．测得，，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程，的解为______________________________． 12. 如图，绕点A逆时针旋转得到， 若，则___________． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 14. 如图，已知抛物线经过两点．当时，则y的取值范围__________________________； 15. 如图，，，，根据尺规作图痕迹，则的长为___________________． 三．解答题（本题共8小题，共75 分） 16. （1）计算 （2）解分式方程 17. 为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元． （1）每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？ （2）根据学校实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？ 18. 水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 20. 某日，34 中组织学生参观云梯消防车，如图1，其侧面示意图如图 2， 为车身，云梯可绕点O旋转，点 O，C，B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆 底端D为上的固定点，米． 在某种工作状态下，，．求此时： （1）点B到的距离为多少米? （2）的值． （参考数据：，，，结果精确到） 21. 如图，在中，，以为直径分别交，于点，，于点，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 22. 在数学活动课上，周老师给出如下问题：如图1，在 中，，，，，求的长． ① 如图2，小轩同学构造等腰从而求解； ② 如图3，小凡同学构造等腰 ，从而求解： （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 周老师发现，两名同学都采用了构造法，将要求边转化到新构造的三角形当中，周老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答 （2）如图4，在中，，点D，E分别在AB，BC上，，，求证：； （3）如图5，在中，，，，，，求长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点和点，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线的函数表达式； （2）点E是直线上方的抛物线上一点，连接交于点F，连接，，的面积记为，的面积记为，当 时，求点E的坐标； （3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴上方的部分沿x轴向下翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为，点C的对应点为，点G的对应点为，将曲线沿y轴向上平移n个单位长度，曲线与直线的公共点中，在第二象限内是否存在两个公共点P和Q，使得四边形是平行四边形．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “认识自我 优我成长”——九年级数学 满分120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图等知识，逐项判断出各几何体的三视图即可求解． 【详解】解：A. 圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，故不合题意； B. 圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，不合题意； C. 圆锥的主视图、主视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，不合题意； D. 球体的三视图都是圆，符合题意． 故选：D 2. 以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：， 即地面比河面高, 故选：C． 3. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，熟练掌握大小比较是解题的关键．首先计算各数的绝对值，然后比较即可． 【详解】 而 ∴绝对值最大的数为 故选：B 4. 如图，已知与互补，平分，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 九年一班计划举办手抄报展览，确定了“时代”“”“豆包”．三个主题，若小卓随机选择其中一个主题，则他恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据概率的计算公式即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：从“时代”、“”、“豆包”三个主题，随机选择其中一个主题，恰好选中“”的概率是， 故选：C． 7. 若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则b满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，解题的关键是：熟练掌握二次函数根的判别式． 要想求出图象与的交点，需要令时，即一元二次方程有两个不相等的解，即可解决此题． 【详解】解：由题意可知， ， 解得：， 在四个选项中只有，B符合条件， 故选：B． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设牧童有x人，根据“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可． 【详解】解：设牧童有x人， 由题意可得：． 故选A． 9. 如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 10. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．测得，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形．根据等宽结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形，        ，，， ， ， ， ， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程，的解为______________________________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，， 故答案为：，． 12. 如图，绕点A逆时针旋转得到， 若，则___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 根据旋转的性质得到，进而利用求出度数即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 14. 如图，已知抛物线经过两点．当时，则y的取值范围__________________________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据函数图象可知找到函数图象在x轴下方时函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，y的取值范围， 故答案为：． 15. 如图，，，，根据尺规作图痕迹，则的长为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作三角形的高，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．由，，，可得，根据尺规作图痕迹知，，得到，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据尺规作图痕迹知，， ， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共75 分） 16. （1）计算 （2）解分式方程 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，解分式方程： （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元． （1）每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？ 【答案】（1）每个雪圈儿80元，雪地足球50元 （2）34个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设每个雪圈儿的价格为元，每个雪地足球的价格为元，根据购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个雪圈儿，根据购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每个雪圈儿的价格为元，每个雪地足球的价格为元，由题意，得： ，解得：； 答：每个雪圈儿80元，雪地足球50元； 【小问2详解】 设购买个雪圈儿，由题意，得： ， 解得：， 答：最多可以购买34个雪圈儿． 18. 水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生平均成绩/分 A 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？ 【答案】（1）； （2）所抽取的这些学生的平均成绩是分； （3）该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生约有人． 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和扇形统计图的综合运用，样本估计总体等知识点， 由题意，“组”的有人，占调查人数的,可求出调查人数；用总数乘以百分比可求出“组”人数，根据中位数的意义，找出处在第位两个数的平均数即可； 利用加权平均数求这些同学平均成绩即可； 利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到分及以上的学生所占的百分比，再乘以即可. 熟练掌握以上知识并能读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取学生：（人）, 组的人数(人), 本次调查一共随机抽取名学生， 第位两个数都在组，中位数落在组， 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽取这些学生的平均成绩为(分), 答：所抽取的这些学生的平均成绩是分； 【小问3详解】 解：该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数约为：(人), 答：该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生约有人． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象及性质． （1）将点代入可求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式可得，再将和代入可求出一次函数解析式； （2）令一次函数中分别求出点坐标，再设，再利用三角形面积公式即可求出本题答案； （3）观察图象即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：根据题意：将点代入中，得：，， ∴反比例函数解析式：， 再将代入中，得：， ∴， 将和代入中，得： ，解得：， ∴一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴令，则，令，则， ∴，即，，即：， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， ∴或． 【小问3详解】 解：∵， ∴在图象中找出一次函数比反比例函数低的部分， ∴或． 20. 某日，34 中组织学生参观云梯消防车，如图1，其侧面示意图如图 2， 为车身，云梯可绕点O旋转，点 O，C，B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆 底端D为上的固定点，米． 在某种工作状态下，，．求此时： （1）点B到的距离为多少米? （2）的值． （参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1）点B到的距离为米 （2）的值约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）作构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）作，依次求出、、，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 答：点B到的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点F， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴的值约为． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，于点，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得：，，进而得到，推出，结合，即可得证； （2）由，可得，由（1）可得：，，推出，得到，可求出，进而求出，然后根据求出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； 小问2详解】 如图2，，是的直径， ， 由（1）可得：，， ， ， ， ， ， ， ， 即的长是． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识． 22. 在数学活动课上，周老师给出如下问题：如图1，在 中，，，，，求的长． ① 如图2，小轩同学构造等腰从而求解； ② 如图3，小凡同学构造等腰 ，从而求解： （1）请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程； 周老师发现，两名同学都采用了构造法，将要求的边转化到新构造的三角形当中，周老师将图1进行变换并提出了下面的问题，请你解答 （2）如图4，在中，，点D，E分别在AB，BC上，，，求证：； （3）如图5，在中，，，，，，求长． 【答案】（1），过程见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：构造相似三角形． （1）根据等腰得到，，由三角形外角得，，根据三线合一的性质，结合，得到， ，在中根据勾股定理，即可求解； （2）构造等腰，使得，结合可得，，进而得到，根据合比性质得到，由得到，即可得证； （3）作的角平分线交于点，交于点，作，结合，得到，由，得到，根据，得到，进而得到，设，则，，根据，即可求解． 【详解】解：（1）选择小轩同学思路： ∵等腰， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， 选择小凡同学思路： ∵等腰， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中，； （2）构造等腰，使得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，即：， ∴，即：； （3）设、交于点，作的角平分线交于点，交于点，作，垂足为， ∵，平分角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分角， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：，（舍）， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点和点，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线的函数表达式； （2）点E是直线上方的抛物线上一点，连接交于点F，连接，，的面积记为，的面积记为，当 时，求点E的坐标； （3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴上方的部分沿x轴向下翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为，点C的对应点为，点G的对应点为，将曲线沿y轴向上平移n个单位长度，曲线与直线的公共点中，在第二象限内是否存在两个公共点P和Q，使得四边形是平行四边形．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【答案】（1）①；②； （2）点E的坐标为或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解； ②利用待定系数解答，即可求解； （2）过点E作轴交AD于点G，过点B作轴交AD于点H，设点，则点， 可得，然后根据，即可求解； （3）先求出向下翻折部分的图像解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得，再根据平行四边形的性质可得点，然后得到点P在翻折后抛物线剩下部分平移后的图像上，点Q在向下翻折部分平移后的图像上，然后代入表达式即可求解． 【小问1详解】 解：①把点和点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； ②令，则， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴把点和点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点E作轴交AD于点G，过点B作轴交于点H， 当时，， ∴点，即， 设点，则点， ∴， ∵的面积记为，的面积记为，且， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或0， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：， ∴点G的坐标为， 当时，，即点， ∴点，， ∴向下翻折部分的图像解析式为， ∴向下翻折部分平移后的函数解析式为， 翻折后抛物线剩下部分的解析式为，或， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∴， 设点P的坐标为， ∵点，， ∴点向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点， ∵四边形是平行四边形， ∴点， ∴点P在翻折后抛物线剩下部分平移后的图像上，点Q在向下翻折部分平移后的图像上， 如图所示， ∴， 解得：或（舍去，不合题意）． ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$