专题13 变量之间的关系压轴题全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题13 变量之间的关系压轴题全攻略 【例题精讲】 例1.（表格法）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 例2．（图像法-行程问题）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)朱老师的速度为______秒；小明的速度为______米/秒； (3)求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围． 例3．（图像法-面积问题）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 例4．（图像法-动点问题）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 变式1．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 变式2．在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 变式3．如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【课后练习】 1．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ； (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ； (4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 2．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 3．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)图中自变量是____________，因变量是____________； (2)小明家到滨海公园的路程为______________km； (3)小明从家出发____________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过_____________小时追上小明． 4．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示． (1)A，B两地之间的距离为　　千米； (2)图中点M代表的实际意义是什么？ (3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米． 5．动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 6．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 7．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 8．某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从M城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达N城后停止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关系，请结合图象回答下列问题：    (1)甲车返回M城的速度为___________千米/小时； (2)当甲车从N城返回M城的途中与乙车相遇时，相遇处离M城的距离为多少千米？ (3)在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间为何时？ 9．在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 10．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 11．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 12．周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 变量之间的关系压轴题全攻略 【例题精讲】 例1.（表格法）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y (2)56.3 (3)13分钟 (4)见解析 【分析】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键． （1）利用表格中数据得出答案； （2）利用表格中数据得出答案； （3）利用表格中数据得出答案； （4）先根据表格可知：当时，y的值最大是59.9，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，从而得出答案． 【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受能力y． 故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y （2）解：观察表格可知，当时，， ∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3． （3）解：∵当时，y的值最大是59.9， ∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （4）解：当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大； 当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小． 例2．（图像法-行程问题）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息：    (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)朱老师的速度为______秒；小明的速度为______米/秒； (3)求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)小明出发的时间t；距起点的距离s；(2)2；6；(3) 【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量； （2）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度； （3）设小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可得出函数关系式，再令求出t的值，从而找出取值范围，此题得解． 【详解】（1）解：观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s． 故答案为：小明出发的时间t；距起点的距离s． （2）解：朱老师的速度为：（米/秒）； 小明的速度为：（米/秒）． 故答案为：2；6． （3）解：设小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为， 将代入中 ，解得：， ∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为， 当时，有， 解得：， ∴小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 例3．（图像法-面积问题）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 例4．（图像法-动点问题）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 变式1．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 变式2．在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 变式3．如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【答案】(1)312 (2)减小，； (3) (4)阴影部分面积不可以达到， 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，函数关系； （1）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式列式即可； （4）根据题意求得阴影部分的最小值，比较大小，即可求解． 【详解】（1）∵剪去的四个等腰直角三角形全等， ∴剪去的四个等腰直角三角形的面积相等， 根据题意：可知阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 即：三角形的直角边长为2时，； 故答案为：312； （2）三角形的直角边长为4.5时，由表格可得； 三角形的直角边长为7时，； 即： ∴阴影部分的面积减小 故答案为：减小，； （3）阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 据此列式可得：， 即所求关系为：． （4）阴影部分面积不可以达到，理由如下， ∵阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， ∵ 当时，阴影部分面积最小， ∴阴影部分面积不可以达到 【课后练习】 1．“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ； (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为 ； (4)某日的气温为，欢欢同学看到烟花燃放后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) (4) 【分析】本题考查变量之间的关系，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出变量之间的关系是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出变量之间的关系； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 故答案为：； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得， ， 故答案为：； （4）当时， ， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 2．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【答案】(1) (2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用， （1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可； （2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴； （2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元， ∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元． 3．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)图中自变量是____________，因变量是____________； (2)小明家到滨海公园的路程为______________km； (3)小明从家出发____________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过_____________小时追上小明． 【答案】(1)时间t； 离家路程s (2)30 (3)2.5； 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据即可得到路程； （3）根据图象直接可得到爸爸驾车出发的时间；先算出小明坐公交车到滨海公园的平均速度和爸爸驾车的平均速度，设爸爸出发后xh追上小明，根据在x这段时间内，爸爸通过的路程比小明乘公交车通过的路程多12km列出方程，解方程即可． 【详解】（1）由图可得，自变量是时间t，因变量是离家路程s； 故答案为：时间t；离家的路程s． （2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km； 故答案为：30． （3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发； 爸爸驾车的平均速度为， 小明乘公交车的平均速度为：， 设爸爸出发后xh追上小明，根据题意得： ，解得：． 故答案为：2.5；h． 【点睛】本题考查了路程时间的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚图象的意义是解答此题的关键． 4．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示． (1)A，B两地之间的距离为　　千米； (2)图中点M代表的实际意义是什么？ (3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米． 【答案】(1)150 (2)点M代表的实际意义是乙到达C的时间 (3)甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米 【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解； （2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间； （3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求． 【详解】（1）解：由图象可知AC=60，BC=90， ∴A、B两地距离为60+90=150km； ∴A、B两地距离为150千米； 故答案为：150． （2）解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间． （3）解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90， ∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)， 乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)， 设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得 (60+75)x=150 解得x=； 由图像知已到达C的距离为90千米，那么 他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)． ∴他们的相遇点与点C的距离为千米． 【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解． 5．动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【答案】(1)H的运动时间，的面积 (2)4，14，10 (3)或 【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案； （2）由题意可知，点在上运动时的面积不变，在结合图象即可求得答案； （3）分两种情况，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量为：H的运动时间，因变量为：的面积， 故答案为：H的运动时间，的面积； （2）∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点在上运动时的面积不变， ∴，，则， ∴，， 故答案为：4，14，10； （3）当在上时，的面积为：， 当的面积为时，可分两种情况： 当在上时，，则， ∴， 当在上时，，则， ∴， 综上，当的面积为时，求点F的运动时间为或． 【点睛】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算． 6．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 【答案】(1)6，2 (2)小明和妈妈相遇时距起点的距离 (3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米 【分析】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可； （2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离； （3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且、时，分别讨论计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米， 小明前70秒的速度是（米秒）． 妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米， 妈妈的速度是（米秒）． 故答案为：6，2． （2）解：两图象的交点处表示两人相遇， 表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离． 故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离． （3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． 当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． ①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得 ，解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得 ，解得． ③当时，两人第三次相距60米时，得 ，解得． 综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米． 【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键． 7．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40，10； (2)1； (3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【分析】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【详解】（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇， ， 解得． 所以摩托车出发后1小时，它们相遇； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：，解得 ②相遇后：， 解得： ③摩托车到达终点后，，解得； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键. 8．某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从M城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达N城后停止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关系，请结合图象回答下列问题：    (1)甲车返回M城的速度为___________千米/小时； (2)当甲车从N城返回M城的途中与乙车相遇时，相遇处离M城的距离为多少千米？ (3)在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间为何时？ 【答案】(1)90 (2)75千米 (3)小时或小时 【分析】本题主要考查函数的图象、一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意并从函数图像上得到所需信息成为解题的关键． （1）根据图像可得当小时时，离M城的距离是90千米，当小时时，离M城的距离是0千米，即可求得甲车返回M城的速度； （2）利用待定系数法求得甲车从N城返回M城的函数解析式和乙车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可得出相遇时间，进而可得相遇处离M城的距离； （3）分甲车到达M地前，甲车到达M城后与乙车相遇前两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据图像可得当小时时，离M城的距离是90千米，当小时时，离甲地的距离是0千米， ∴甲车返回M城的速度为(千米/小时) ． 故答案为：90． （2）解：设货车离M城的距离y(千米)与甲车行驶时间的函数解析式是,则,解得：， 所以函数解析式是； 设甲车在返回M城过程中离M城的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)的解析式是， 则，解得：， 所以函数解析式是, 联立，解得：． 则甲车从N地返回M地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是千米． （3）解：设两车出发a小时相距10千米，甲到达N地前，解得：； 甲车到达N城后与乙车相遇前:，解得：． 答:在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间或． 9．在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 【答案】(1)1，，10 (2)5，3 (3)兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象上获取信息等知识，理解图象的转折点是解题的关键； （1）根据点的意义，可得乌龟的速度，当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，根据路程除以时间得到兔子休息后的速度，根据总时间乘以乌龟的速度得到路程，即可求解； （2）根据图象可得当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，即可求解； （3）根据图象可得，兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米； （4）先求得兔子休息前的速度为米/分，进而求得所用时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意兔子比乌龟晚出发；由图象可得乌龟的速度为：米/分； 当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点， ∴比赛全程为：米，兔子在休息后的速度为米/分， 故答案为：1，，10． （2）解：依题意，当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完， ∴骄傲的兔子在离开起点米时停下休息，休息了分钟 故答案为：，． （3）解：图中点A的实际意义：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米． （4）解：依题意，兔子休息前的速度为米/分∴兔子需要的时间为分钟， ∵兔子比乌龟晚出发2分钟， ∴兔子需要分钟完成比赛，分钟 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 10．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 11．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】(1)1.5 (2)60，80，110 (3)270 (4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 12．周末小林和爸爸到西安某一绿道骑单车．两人从绿道同一地点出发，小林先骑，爸爸从去追赶小林时开始计时，在超过小林后，发现小林没有跟来，就减速骑行，结果两人同时到达目的地．小林和爸爸离出发点的距离s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象解答下列问题：    (1)小林的速度是 ，爸爸减速前的速度是 ． (2)爸爸骑行 与小林相遇． (3)在两人到达目的地之前，爸爸骑行多少时间两人相距1？ 【答案】(1)18；. (2)小时 (3)小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 【分析】（1）由图象可得：小林先走了3千米，然后利用速度等于路程除以时间可求出小林的骑行速度，爸爸减速前的速度，即可求解； （2）小林的爸爸骑行与小林相遇时两人离开出发点路程相等列方程即可求解； （3）分减速前、减速后两种情况讨论，根据路程差为分别列出方程，即可求解． 本题考查了函数的关系式运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题． 【详解】（1）解：由图象可得：小林先走了3千米， 小林的骑行速度是千米/小时， 爸爸减速前的速度是千米/小时， （2）根据题意，小林的爸爸骑行与小林相遇， ∴，解得， 所以，小林的爸爸骑行小时与小林相遇； （3）根据题意，分为两种情况： 小林的爸爸减速前： ， 解得： 或 ； 小林的爸爸减速后：减速后的速度是千米/小时； ∴爸爸减速后离出发点的距离（千米）与时间（小时）之间的关系式为 ， ∴ ， 解得： 或 ， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴在两人到达目的地之前，小林的爸爸骑行小时或小时两人相距1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$