专题09 胡不归模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题9 胡不归模型 胡不归模型，常出现带有系数的折线最值问题，通常我们都是将折线转化成为线段，再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解。 2 模型 胡不归模型 2 7 模型.胡不归模型 条件：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线l上运动 问题：如何确定点P，使得的值最小. 解题步骤： 一找：找带有系数k的线段； 二构：在点B异侧，构造以线段为斜边的直角三角形： ①以定点A为顶点作，使得； ②过动点P作垂线构造； 三转化：化折为直，将转化为； 四求解：使得，利用“垂线段最短”转化为求的长度. 例1．如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点， 则的最小值是（　　） A． B． C． D．10 【答案】B． 【解答】解：如图，作于H，于M． ∵， ∴， ∵， 设，， 则有：， ∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，的值最小， ∴的最小值为线段的长， ∴的最小值为． 故选：B． 例2．在菱形中，，，连接，点M为线段上一动点（不与点A，点 C重合），点N在线段上，且，则的最小值为 　 　． 【答案】12． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 连接交于点O，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且仅当三点共线时取等，此时最小值为的长度， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为12． 故答案为：12． 例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．连接，点M是线段上一动点（点M不 与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作 轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当取得最大值时，求的 最小值． 【答案】的最小值． 【解答】解：如图 ∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ∴令解得：，，令，解得：， ∴，，， ∵点D为抛物线的顶点， ∴点D的坐标为， ∴直线的解析式为：， 由题意，可设点，则点， ∴， ∴当时，取到最大值，此时取到最大值，此时， 此时，，，， 在x轴上找一点，连接，过点F作的垂线交于点J点，交y轴于点P， ∴，直线的解析式为：，且点， ∴，直线的解析式为：， ∴点， ∴的最小值即为的长，且， ∴． 1．如图，在中，，，，若D是边上的动点，则的 最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D． 【解答】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 2．如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则 的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C． 【解答】解：过E作于M，过A作于H，交于，如图： ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时E与重合，M与H重合，的最小值为的长度， 在中， ， ∴最小值为， 故选：C． 3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．若P 为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C． 【解答】解：连接，，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 4．如图在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于A、B，于y轴交于C，点P 为y轴上一动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B． 【解答】解：连接，，过点P作于点G，过点B作于H，连接，如图， ∵当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点， C点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 【答案】A． 【解答】解：连接，过C点作于M点，过A点作于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图， 令，得方程， 解得：，， ∴A点坐标为，即， 将配成顶点式得：， ∴B点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 根据抛物线对称轴的性质可知， ∴， 在中， 利用勾股定理得， ∵，， ∴， 同理可证得， ∴，， ∴，即， ∴， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直时，最小， ∴最小值为，如图所示， ∵， ∴， ∴最小值， ∴即． 故选：A． 6．如图，在矩形中，，，点P为边上一点，则的最小值等 于 　 　． 【答案】． 【解答】解：在矩形外作，过点P作，则，过点A作于点F，交于点， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：． 7．如图所示，在等边三角形中，边上的高，E是上一点，现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒3个单位长度，在上的速度是每秒6个单位长度，则点P从B到C的运动过程中最少需 　 　秒． 【答案】5． 【解答】解：如图，作于F交于E，P沿着折线运动的时间最短， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴P沿着折线运动的时间为：， 根据垂线段最短可知，当时，P沿着折线运动的时间最短， ∵，是等边三角形的高， ∴， ∴P沿着折线运动的时间为， ∴P从B到C的运动过程中最少需5秒， 故答案为：5． 8．等边三角形的边长为8，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中边在x轴上，边的高在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵电子虫在y轴上运动的速度是在上运动速度的2倍， ∴， 过A作以为斜边的直角三角形，其中， ∵， ∴最短，即最短， ∴与y轴的交点G，此时电子虫走完全程的时间最短， ∵等边三角形的边长为8， ∴，，， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在正方形中，点M，N分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连结，交于点P．E，F分别是边，的中点，连结，，若正方形的边长为8，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：取中点O，连，取中点G，连，取中点H，连、． ∵正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴， ∵H为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 当H、P、E三点共线时，最短， 故连，最小值即为． ∴． 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E在线段上，且，点F为线段上的一个动点，则的最小值为 　 　． 【答案】4． 【解答】解：过点E作于点G，过点F作于点H，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的最小值为4， 故答案为：4． 11．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使， 连接，点M，N分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过点N作于点F，连接，过点A作于点H， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中， ，， ∴， 由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．如图，矩形的对角线交于点O，，，点P是上的动点，则的最小值是 　 　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点P作于点E， 则， 作点O关于的对称点，交于点F，连接， 则， 过点作于点H，如图， 则， ∴的最小值是， 在中， ，， ∴， 即的最小值是， 故答案为． 13．如图，中，，，于点D，点E是线段的一个动点，则 的最小值是　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，作于F， ∵， ∴， ∵，设，， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当B、E、F三点共线时，， 此时，则根据垂线段最短性质知值最小， 此时． 14．如图，在中，，，，垂足为D，P为线段上的一 个动点，连接，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过A作射线，使，过P作，垂足为Q，过B作，垂足为， 在中，，， ∴，在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长 线上运动时，的最小值为 　 　． 【答案】． 【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，已知等边的边长是12，． （1）　 　； （2）若点P在线段上运动，则的最小值是 　 　． 【答案】（1）6；（2）． 【解答】解：（1）∵是等边三角形，，边长是12， ∴； 故答案为：6； （2）如图，作于点E，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 当时， 的值最小， 故答案为：． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与x 轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称． （1）求一次函数的解析式求出点C的坐标． （2）在x轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）点P的坐标为时，的最小值为． 【解答】解：（1）∵、两点在上， ∴，， ∴，， 把，代入，则有， 解得， ∴一次函数的解析式为． 令，得到， ∴， ∵C，D关于y轴对称， ∴． （2）在y轴上取一点，作于H． 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当A，P，H共线且垂直时，的值最小． ∵直线的解析式为，设于， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， 由，解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为时，的最小值为． 18．如图，在菱形中，，，E是边上一个动点，连接，的垂直 平分线交于点M，交于点N，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】解：（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴点A，点C关于直线轴对称， ∴， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴； （2）过点N作于点G，连接，，过点A作于点H， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．连接，点P是线段上一动点（点 P不与端点B、D重合），过点P作，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作 轴，垂足为F，交于G，点M是线段上一动点，当周长取得最大时，求 的最小值． 【答案】的最小值为． 【解答】解：由已知可求，，，， ∵，轴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴周长， ∴当最大时，周长最大； 设， ∵的直线解析式为， ∴， ∴， ∴当时，有最大值 ∴，， ∴， 过点C作与x轴夹角为的直线，则该直线解析式为， 过点G作该直线的垂线与y轴交于点M，与该直线交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 20．如图抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C， D两点关于抛物线对称轴对称，连接交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．点P为线段上 方抛物线上的一点，连接，．点M是y轴上一点，过点M作轴交抛物线对称轴于点N．当 面积最大时，求的最小值． 【答案】的最小值． 【解答】解：在抛物线中，令，得：，令，得：，， ∴，，，， 设直线解析式为，将，代入得，解得：， ∴直线解析式为， ∴， 过点P作轴于G交于H，作于Q，连接，设，， ， ∵轴 ∴， ∵C、D关于直线对称， ∴， ∴， ∴，即：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，此时，， 过点F作，过N作，∴， ∴，过M作，且， 当P、M、K三点共线时，最小， ∴， ∴，，，， ∴的最小值． 21．如图，抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧）， 与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线交于点D．E点是线段上方抛物线上一点，过点E作直线 平行于y轴，交于点F，若线段长度保持不变，沿直线移动得到，当线段最大时， 求的最小值． 【答案】取得最小值． 【解答】解：因为， ∴，，，抛物线对称轴为直线， 由B、C坐标可求得直线的解析式为， 令，则， ∴． 设，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时． 如图，作平行四边形，则，． 作于G，于H． ∵，所以， ∴， ∴， 当且仅当、、G三点共线时， 取得最小值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．如图，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点Q．在抛物线的对称轴上有一动点M，在x轴上有一动点N，当的值最大时，求 的最小值． 【答案】最小值． 【解答】解：在抛物线中，令，得，∴， 令，得，解得，， ∴，，， 设直线解析式为，则，解得， ∴直线解析式为， 设，则，，， ∴， ∵，∴当时，的值最大，此时，， 由，得抛物线对称轴为：直线， 作点P关于对称轴的对称点，在y轴负半轴上取点，连接交对称轴于S，则， 过作于T，作轴交于点W， 在中，， ∴， ∴线段长度为最小值， ∵，， ∴直线解析式为， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴最小值． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．点D是线段上方抛物线上一动点，连接 、、，过点B作的平行线，交延长线于点F，连接，当的面积最大时， 在抛物线的对称轴上找一点Q，使得的值最小，求出此时Q点的坐标． 【答案】． 【解答】解：在抛物线中，令，得：，令，得：，， ∴，，，， ∴，，，， 设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，过B作于G，则， ∴， ∴， 过点D作轴于L交于H，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值；此时，， 设，则，过点E作，过Q作， 在中，， ∴要使得的值最小，必须D、Q、R三点共线，过D作于T， ∴，， ∴， ∴． 24．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y 轴交于C点，连接． （1）求直线的解析式： （2）如图，点P是线段下方抛物线上任意一点，点F是y轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）直线的解析式为：；（2）的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于C点， ∴C点坐标为， ∵当时，，解得，， 又∵抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧）， ∴、． 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）如图，过P点作轴，交于G点， 设P点坐标为，则G点为， ， ∴当时，最大， ∵，， ∴当最大时，面积最大，此时P点坐标为． 过O点作，过F点作垂足为H， ∴， ∴， ∴当P、F、H三点在一条直线，即时，最小， 过P点作轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值． 25．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C，直线：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）如图2，直线上方的抛物线上有一点P，过点P作于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线于点G，当周长最大时，在y轴上找一点M，在上找一点N，使得 值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值． 【答案】（1）直线的解析式为，点E坐标为；（2）点N坐标为， 的最小值为． 【解答】解：（1）当时，，解得，， 所以点，， 设直线解析式为，将B、C坐标代入得 ，解得， 所以直线的解析式为， 联立方程，解得，， ∴点E坐标为； （2）设，， ， 当周长最大时，线段最长 ，所以有最大值 当时，最大，P点坐标为， 如图，作P点关于y轴的对称点，在下方作，过点作，垂足为Q，交x轴于S，交于N， 作轴，垂足为T，轴，垂足为R， 则， 由题意可知，，， 在中，， ∴， ∴S点坐标为， 设直线解析式为， 将、S坐标代入得，解得 所以直线解析式， 在中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的最小值为． 点N坐标为． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧）， 与y轴交于点C，，． （1）求抛物线解析式及A点坐标； （2）E为线段上（不与O、A重合）一动点，过点E作y轴的平行线交线段于点G，交抛物线于点F，过点F作交于点H．当与面积相等时，有一点K从B点出发，先沿x轴到达D点，再沿到达F点，已知K点在x轴上运动的速度是每秒个单位长度，在上运动的速度是每秒1个单位长度，要使K点按照上述要求从B点到F点所用的时间最短，请简述确定D点位置的过程．求出D点的坐标，并求出最短时间． 【答案】（1）抛物线的解析式为，；（2），最短时间． 【解答】解：（1）∵，在抛物线的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 令得， 解得，， ∴． （2）∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：，，， ∵点E在之间， ∴， ∴，， 在x轴上方作，过点F作于T，交x轴于点D，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设点B到F的时间为t， ， ∴T、D、F共线时t最小， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴t最小． 42 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 胡不归模型 胡不归模型，常出现带有系数的折线最值问题，通常我们都是将折线转化成为线段，再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解。 2 模型 胡不归模型 2 7 模型.胡不归模型 条件：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，点P在直线l上运动 问题：如何确定点P，使得的值最小. 解题步骤： 一找：找带有系数k的线段； 二构：在点B异侧，构造以线段为斜边的直角三角形： ①以定点A为顶点作，使得； ②过动点P作垂线构造； 三转化：化折为直，将转化为； 四求解：使得，利用“垂线段最短”转化为求的长度. 例1．如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点， 则的最小值是（　　） A． B． C． D．10 【答案】B． 【解答】解：如图，作于H，于M． ∵， ∴， ∵， 设，， 则有：， ∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，的值最小， ∴的最小值为线段的长， ∴的最小值为． 故选：B． 例2．在菱形中，，，连接，点M为线段上一动点（不与点A，点 C重合），点N在线段上，且，则的最小值为 　 　． 【答案】12． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 连接交于点O，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且仅当三点共线时取等，此时最小值为的长度， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为12． 故答案为：12． 例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y 轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．连接，点M是线段上一动点（点M不 与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作 轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当取得最大值时，求的 最小值． 【答案】的最小值． 【解答】解：如图 ∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ∴令解得：，，令，解得：， ∴，，， ∵点D为抛物线的顶点， ∴点D的坐标为， ∴直线的解析式为：， 由题意，可设点，则点， ∴， ∴当时，取到最大值，此时取到最大值，此时， 此时，，，， 在x轴上找一点，连接，过点F作的垂线交于点J点，交y轴于点P， ∴，直线的解析式为：，且点， ∴，直线的解析式为：， ∴点， ∴的最小值即为的长，且， ∴． 1．如图，在中，，，，若D是边上的动点，则的 最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则 的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．若P 为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 4．如图在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于A、B，于y轴交于C，点P 为y轴上一动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点， C点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 6．如图，在矩形中，，，点P为边上一点，则的最小值等 于 　 　． 7．如图所示，在等边三角形中，边上的高，E是上一点，现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒3个单位长度，在上的速度是每秒6个单位长度，则点P从B到C的运动过程中最少需 　 　秒． 8．等边三角形的边长为8，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中边在x轴上，边的高在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 　 　． 9．如图，在正方形中，点M，N分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连结，交于点P．E，F分别是边，的中点，连结，，若正方形的边长为8，则的最小值为 　 　． 10．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E在线段上，且，点F为线段上的一个动点，则的最小值为 　 　． 11．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使， 连接，点M，N分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　 　． 12．如图，矩形的对角线交于点O，，，点P是上的动点，则的最小值是 　 　． 13．如图，中，，，于点D，点E是线段的一个动点，则 的最小值是　 　． 14．如图，在中，，，，垂足为D，P为线段上的一 个动点，连接，则的最小值为 　 　． 15．如图，在中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长 线上运动时，的最小值为 　 　． 16．如图，已知等边的边长是12，． （1）　 　； （2）若点P在线段上运动，则的最小值是 　 　． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与x 轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称． （1）求一次函数的解析式求出点C的坐标． （2）在x轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在菱形中，，，E是边上一个动点，连接，的垂直 平分线交于点M，交于点N，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．连接，点P是线段上一动点（点 P不与端点B、D重合），过点P作，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作 轴，垂足为F，交于G，点M是线段上一动点，当周长取得最大时，求 的最小值． 20．如图抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C， D两点关于抛物线对称轴对称，连接交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．点P为线段上 方抛物线上的一点，连接，．点M是y轴上一点，过点M作轴交抛物线对称轴于点N．当 面积最大时，求的最小值． 21．如图，抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧）， 与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线交于点D．E点是线段上方抛物线上一点，过点E作直线 平行于y轴，交于点F，若线段长度保持不变，沿直线移动得到，当线段最大时， 求的最小值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．如图，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点Q．在抛物线的对称轴上有一动点M，在x轴上有一动点N，当的值最大时，求 的最小值． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．点D是线段上方抛物线上一动点，连接 、、，过点B作的平行线，交延长线于点F，连接，当的面积最大时， 在抛物线的对称轴上找一点Q，使得的值最小，求出此时Q点的坐标． 24．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y 轴交于C点，连接． （1）求直线的解析式： （2）如图，点P是线段下方抛物线上任意一点，点F是y轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 25．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C，直线：与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）如图2，直线上方的抛物线上有一点P，过点P作于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线于点G，当周长最大时，在y轴上找一点M，在上找一点N，使得 值最小，请求出此时N点的坐标及的最小值． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧）， 与y轴交于点C，，． （1）求抛物线解析式及A点坐标； （2）E为线段上（不与O、A重合）一动点，过点E作y轴的平行线交线段于点G，交抛物线于点F，过点F作交于点H．当与面积相等时，有一点K从B点出发，先沿x轴到达D点，再沿到达F点，已知K点在x轴上运动的速度是每秒个单位长度，在上运动的速度是每秒1个单位长度，要使K点按照上述要求从B点到F点所用的时间最短，请简述确定D点位置的过程．求出D点的坐标，并求出最短时间． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$