专题11.2 不等式的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“不等式的性质”核心知识点，系统梳理性质1（加减不变向）、性质2（乘除正数不变向）、性质3（乘除负数变向）及累加性，构建从性质理解到解不等式，再到判断变形、求字母与代数式范围的递进式学习支架。 资料设计亮点突出，通过即学即练即时巩固性质应用，典例与变式题型培养推理意识，生活情境题（如吉祥物身高比较、母子年龄对话）引导用数学眼光观察现实，综合题（如盐水浓度问题）强化数学语言表达与应用意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，提升运算能力与问题解决能力。

专题11.2 不等式的性质 教学目标 1. 掌握不等式的性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目。 2. 能够利用不等式的性质解简单的不等式。 教学重难点 1. 重点 （1）不等式的性质； （2）利用不等式的性质解简单不等式。 2. 难点 （1）利用不等式的性质判断不等式的变形，特别注意由复杂的式子变向简单的式子的变形； （2）利用不等式的性质求字母或代数式的范围。 知识点01 不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 同一个 数（或式子），不等号的方向 不变 。 即若，则 （） 。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个正数 ，不等号的方向 不变 。 若，则 或 。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） 同一个负数 ，不等号的方向 改变 。 若，则 或 。 4. 不等式的累加性： 若则 ； 【即学即练1】 1．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．a﹣b＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b 【答案】A 【解答】解：A、若a＜b，则a﹣3＜b﹣3，故本选项变形正确； B、若a＜b，则a﹣b＜0，故本选项变形错误； C、若a＜b，则，故本选项变形错误； D、若a＜b，则﹣2a＞﹣2b，故本选项变形错误． 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度．下面两位小朋友的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【答案】A 【解答】解：由题意得，两个吉祥物站在台阶上的高度分别是a+c和b+c， ∵a＞b， 由不等式的性质1，可得a+c＞b+c， 故选：A． 【即学即练3】 3．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 【答案】C 【解答】解：若a+3＞b+3，两边同时减去3得a＞b，则A不符合题意， 若，两边同时乘以（1+c2）得a＞b，则B不符合题意， 若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c＞0，则C符合题意， 若a＞b，则a+3＞a+2＞b+2，则D不符合题意， 故选：C． 【即学即练4】 4．若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是a＞1　 ． 【答案】a＞1 【解答】解：由（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，得 1﹣a＜0． 解得a＞1， 故答案为：a＞1． 【即学即练5】 5．已知实数m，n满足2m﹣n﹣3＝0，1＜3m+2n﹣5＜3，则下列判断有误的是（　　） A． B． C． D．7 【答案】D 【解答】解：A．∵2m﹣n﹣3＝0， ∴n＝2m﹣3， ∵1＜3m+2n﹣5＜3， ∴1＜3m+2（2m﹣3）﹣5＜3， ∴1＜3m+4m﹣6﹣5＜3， ∴1＜7m﹣11＜3， ∴12＜7m＜14， ∴m＜2，故本选项不符合题意； B．∵2m﹣n﹣3＝0， ∴m， ∵1＜3m+2n﹣5＜3， ∴1＜32n﹣5＜3， ∴13， ∴2＜7n﹣1＜6， ∴3＜7n＜7， ∴n＜1，故本选项不符合题意； C．由B、A可得m＜2，n＜1， 两式相加得m+n＜3，故本选项不符合题意； D．由B、A可得m＜2，n＜1， 则2m＜4，3n＜3， ∴2m+3n＜4+3， ∴2m+3n＜7，，故本选项符合题意． 故选：D． 知识点02 用不等式的性质解简单的不等式 1. 用不等式的性质解简单的不等式： 利用不等式的性质1、2、3对不等式两边进行变形，使其逐步化为 的形式。其中为常数。然后由此在数轴上表示不等式的解集。 【即学即练1】 6．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x+5＜8；（2）；（3）6x≥2x﹣3． 【答案】（1）x＜3； （2）x＜﹣12； （3）． 【解答】解：（1）不等式两边同时减去5，x+5﹣5＜8﹣5， ∴x＜3； （2）不等式两边同时乘﹣6， 得2×（﹣6）， ∴x＜﹣12； （3）不等式两边同时减去2x， ∴4x≥﹣3， 不等式两边同时除以4，得． 【即学即练2】 7．不等式﹣2x+3≥5的解集是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1 【答案】A 【解答】解：﹣2x+3≥5， ﹣2x≥5﹣3， ﹣2x≥2， x≤﹣1． 故不等式﹣2x+3≥5的解集是x≤﹣1． 故选：A． 【即学即练3】 8．若a＜0，则关于x的不等式|a|x＞a的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＜1 D．x＞﹣1 【答案】D 【解答】解：∵a＜0， ∴|a|＝﹣a， 不等式化为﹣ax＞a， 解得：x＞﹣1． 故选：D． 题型01 利用性质判断不等式的变形 【典例1】若a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣3a＞﹣3b D． 【答案】C 【解答】解：A．因为a＜b，所以a+3＜b+3，故A不符合题意； B．因为a＜b，所以a﹣3＜b﹣3，故B不符合题意； C．因为a＜b，所以﹣3a＞﹣3b，故C符合题意； D．因为a＜b，所以，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列式子的变形错误的是（　　） A．若a＝b，则2a+b＝2b+a B．若，则a＝b C．若m＞n，则 D．若x＜y，则a2x＜a2y 【答案】D 【解答】解：根据不等式的性质逐项分析判断如下： A、a＝b，两边同时加（a+b）得2a+b＝2b+a，变形正确，不符合题意； B、等式中，分母m不为0，两边同乘m得a＝b，变形正确，不符合题意； C、∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∵m＞n， ∴，变形正确，不符合题意； D、当a＝0时，a2＝0，此时a2x＝a2y＝0 ∴x＜y不能推出a2x＜a2y，变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+m＜b+m B．1﹣2a＞1﹣2b C．a2＜b2 D． 【答案】C 【解答】解：由数轴可得a＜b， 两边同时加上m得a+m＜b+m，则A不符合题意， 两边同时乘以﹣2再同时加上1得1﹣2a＞1﹣2b，则B不符合题意， 当a＝﹣1，b＝1时，a2＝b2，则C符合题意， 两边同时除以3得，则D不符合题意， 故选：C． 【变式3】已知2026﹣5a＞2026﹣5b，则一定有a□b，“□”中应填的符号是（　　） A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 【答案】C 【解答】解：已知2026﹣5a＞2026﹣5b， 两边同时减去2026得﹣5a＞﹣5b， 两边同时除以﹣5得a＜b， 故选：C． 题型02 利用不等式的性质求字母的取值范围 【典例1】若ax＜1的解集是，则a一定是（　　） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数 【答案】C 【解答】解：ax＜1， 当a＞0时，，与题目不相符， 当a＜0时，，与题目相符， 故选：C． 【变式1】若（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1 【答案】C 【解答】解：∵（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 【变式2】不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【答案】B 【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2， ∴不等式变号， ∴2a﹣1＜0， ∴a． 故选：B． 【变式3】若不等式ax+b＜0的解集为x＞﹣1，则a，b应满足的条件为（　　） A．a＜0，且a＝b B．a＞0，且a＝b C．a＜0，且a＝﹣b D．a＞0，且a＝﹣b 【答案】A 【解答】解：不等式ax+b＜0可化为ax＜﹣b， ∵不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣1， ∴a＜0； 而1， ∴b＝a； 所以，a、b应满足的条件为：a＜0，a＝b．不等式ax+b＜0可化为ax＜﹣b， ∵不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣1， ∴a＜0； 而1， ∴b＝a； 所以，a、b应满足的条件为：a＜0，a＝b． 故选：A． 题型03 利用不等式的性质解简单的不等式 【典例1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣1＞3． （2）． 【答案】（1）x＞4；（2）x＜﹣2． 【解答】解：1）根据不等式的基本性质1，两边都加1，得x＞3+1，即x＞4． （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘﹣2，得x＜﹣2． 【变式1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣3x+2＜2x+3． 【答案】（1）x＜﹣75； （2）； 【解答】解：（1）， 不等式两边同时乘以，可得，x＜﹣75， （2）﹣3x+2＜2x+3， 不等式两边同时减2x，可得，﹣3x+2﹣2x＜3， 不等式两边同时减2，可得，﹣5x＜1， 系数化为1，可得，， 【变式2】将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”“x≥a”或“x≤a”的形式： （1）x+3＞6； （2）2x≤8； （3）5x≥4x﹣6； （4）5． 【答案】（1）x＞3；（2）x≤4；（3）x≥﹣6；（4）x＜﹣15． 【解答】解：（1）x+3＞6， 不等式的两边都减去3得： x＞3； （2）2x≤8， 不等式的两边都除以2得： x≤4； （3）5x≥4x﹣6， 不等式的两边都减去4x得： 5x﹣4x≥﹣6， 即x≥﹣6； （4）5， 不等式的两边都乘以﹣3得： x＜﹣15． 题型04 利用不等式的性质求代数式的范围 【典例1】已知实数a，b满足a﹣2b+2＝0，﹣1＜a+2b+1＜2，则下列判断错误的是（　　） A． B． C．﹣7＜3a﹣2b＜﹣4 D．﹣6＜3a+2b＜0 【答案】C 【解答】解：由a﹣2b+2＝0，得， 将1代入﹣1＜a+2b+1＜2得： ﹣1＜a+2（1）+1＜2， 解得：，故A正确，但不符合题意； a﹣2b+2＝0，移项得a＝2b﹣2， 把a＝2b﹣2代入﹣1＜a+2b+1＜2得： ﹣1＜（2b﹣2）+2b+1＜2， 解得：，故B正确，但不符合题意； 将a＝2b﹣2代入3a﹣2b得：3a﹣2b＝4b﹣6， 由b的取值范围：0＜b可得： ﹣6＜3a﹣2b＜﹣3，故选项C错误，符合题意； ∵﹣2＜a， ∴﹣6＜3a，0＜b， ∴， ∴﹣6＜3a+2b＜0，故D正确，但不符合题意， 综上所述，选项C的范围错误，故选：C． 【变式1】已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 【答案】B 【解答】解：对a，c， ∴可得a﹣b+c＝0①，a+b+2c＝0②， ∴①+②得2a+3c＝0， ∴C选项正确； 由①得a＝b﹣c，由②得c， ∴a＝b ∴a＝3b， ∴A选项正确； ∵a+b+c＜1， 把ca，a＝3b代入a+b+c＜1中， 3b+b3b＜1， ∴解得b， ∴D选项正确， ∵b，a＝3b，可得a， ∴B选项错误． 故选：B． 【变式2】已知实数a，b，c满足a≠0，a≥b≥c，a+b+c＝0，则下列判断正确的是（　　） A．ac＞0 B．a+b＜0 C．2a+c≥0 D．a+2c≥0 【答案】C 【解答】解：已知实数a，b，c满足a≠0，a≥b≥c，a+b+c＝0， ∵a≠0，a≥b≥c，a+b+c＝0， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0，故A错误，不符合题意； ∵a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c， ∴a+b＞0，故B错误，不符合题意； ∵a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c， ∵a≥b， ∴2a≥﹣c， ∴2a+c≥0，故C正确，符合题意； ∵a+b+c＝0， ∴a＝﹣b﹣c， 又b≥c， ∴﹣b≤﹣c， ∴a≤﹣2c， ∴a+2c≤0，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】已知三个实数a，b，c满足a﹣3b﹣c＝0，a+3b﹣c＜0． （1）证明：b＜0； （2）若a﹣6b+c＝4，且b＞﹣3，求a+c的取值范围． 【答案】（1）证明见解答； （2）﹣14＜a+c＜4． 【解答】（1）证明：∵a﹣3b﹣c＝0， ∴a﹣c＝3b， ∵a+3b﹣c＜0， ∴3b+3b＜0， ∴b＜0； （2）解：∵b＜0，b＞﹣3， ∴﹣3＜b＜0， ∴﹣18＜6b＜0， ∴﹣14＜4+6b＜4， ∵a﹣6b+c＝4， ∴a+c＝4+6b， ∴﹣14＜a+c＜4． 1．若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣5＜n﹣5 B．am＞an C．﹣8m＞﹣8n D． 【答案】D 【解答】解：A．若m＞n，则m﹣5＞n﹣5，故不符合题意； B．∵a的符号不确定， ∴当a＜0时，am＜an， 当a＝0时，am＝an，故不符合题意； C．若m＞n，则﹣8m＜﹣8n，故不符合题意； D．若m＞n，则，故符合题意． 故选：D． 2．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（　　） A．若x＜y，则x﹣5＜y﹣5 B．若x＜y，则x+5＜y+5 C．若x＜y，则5x＜5y D．若x＜y，则 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，若x＜y，则x+5＜y+5． 故选：B． 3．已知a＜b，c＜0，下列判断正确的是（　　） A． B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．a﹣c＞b﹣c 【答案】C 【解答】解：∵a＜b，c＜0，根据已知条件结合不等式性质对各选项逐一判断如下： A项：不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，可得，故A错误； B项：不等式两边同时加c，不等号方向不变，可得a+c＜b+c，故B错误； C项：不等式两边同时乘负数c，不等号方向改变，可得ac＞bc，故C正确； D项：不等式两边同时减c，不等号方向不变，可得a﹣c＜b﹣c，故D错误． 故选：C． 4．下列解法中，正确的是（　　） A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≥5 B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5 C．2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3 D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3 【答案】D 【解答】解：A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5，故本选项不符合题意； B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得≥5，故本选项不符合题意； C．2x≥﹣6，两边同除以2，得x≥﹣3，故本选项不符合题意； D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3，故本选项符合题意； 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b 【答案】D 【解答】解：A．若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，故选项A错误； B．若a＞b，设a＝﹣3，b＝﹣4，则a2＝（﹣3）×（﹣3）＝9，b2＝（﹣4）×（﹣4）＝16，则a2＜b2，故选项B错误； C．当c＜0时，两边乘c不等号需要改变，则a＜b， 例如：c＝﹣1，a＝2，b＝3，满足，但a＜b，故选项C错误； D．若ac2＞bc2，则a＞b，故选项D正确． 故选：D． 6．设“□”“△”“〇”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（　　） A．口＞〇＞△ B．□＞△＞〇 C．△＞〇＞□ D．△＞□＞〇 【答案】B 【解答】解：由第二个天平可得□＞△， 由第一个天平可知1个△＝2个〇， 则□＞△＞〇， 故选：B． 7．若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对 【答案】B 【解答】解：根据题意可得， a﹣3＜0， 即a＜3． 故选：B． 8．不等式（a﹣2012）x＞a﹣2012的解集是x＜1．则a应满足的条件是（　　） A．a＝2012 B．a＜2012 C．a＞2012 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵不等式（a﹣2012）x＞a﹣2012的解集是x＜1， ∴a﹣2012＜0， ∴a＜2012， 即a应满足的条件是：a＜2012． 故选：B． 9．若两个实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜0，则（　　） A．2a+b＞0 B．0＜a﹣2b＜3 C．0＜2a﹣b＜2 D． 【答案】B 【解答】解：∵0＜a＜1，﹣1＜b＜0， ∴0＜a﹣2b＜3，， 故选：B． 10．已知实数a，b满足，0＜2a+b+2＜2，则下列判断错误的是（　　） A． B．0＜b＜1 C．﹣2＜2a+4b＜3 D．﹣6＜2a﹣4b＜0 【答案】D 【解答】解：由可得， ∵0＜2a+b+2＜2， ∴， 解得0＜b＜1，故B正确，不符合题意； ∴，即，故A正确，不符合题意； ∵，﹣2＜5b﹣2＜3， ∴﹣2＜2a+4b＜3，故C正确，不符合题意； ∵，﹣5＜﹣3b﹣2＜﹣2， ∴﹣5＜2a﹣4b＜﹣2，故D错误，符合题意； 故选：D． 11．若﹣2x＞﹣2y，则x　＜　 y（填：＞、＜、＝）． 【答案】＜． 【解答】解：若﹣2x＞﹣2y，则x＜y， 故答案为：＜． 12．根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为a＜0　 ． 【答案】a＜0． 【解答】解：根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”， ∵将“”变形为“6＜ab”，需要在不等号两边同时乘以a， ∵不等号由“＞”变成“＜”， ∴a＜0， 故答案为：a＜0． 13．已知关于x的不等式（2a+1）x＜﹣3，两边同时除以（2a+1），得，则a的取值范围为a　 ． 【答案】a． 【解答】解：关于x的不等式（2a+1）x＜﹣3，两边同时除以（2a+1），得，则2a+1＜0， 解得a． 故答案为：a． 14．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1　 ． 【答案】﹣2≤t≤﹣1 【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c， ∴3a＝c，2a＝b+4． ∴b＝2a﹣4． ∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4． ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≥12，2c≤18． ∴6a≥12，6a≤18． ∴2≤a≤3． ∴﹣2≤a﹣4≤﹣1． ∴﹣2≤t≤﹣1． 故答案为：﹣2≤t≤﹣1． 15．已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8， ∴z＝x﹣8， ∴x+y+z＝6+（x﹣8）＝x﹣2， 故求x+y+z的最大值即求x的最大值， 由x+y＝6，得y＝6﹣x， 代入x≥﹣3y，得x≥﹣3（6﹣x）， 即 x≥﹣18+3x， 解得x≤9 ∴x的最大值为9， x+y＝6，x﹣z＝8， ∴x＝z+8， ∴z+8+y＝6， ∴z+y＝﹣2 此时x+y+z＝9﹣2＝7， ∴x+y+z≤7， 故最大值为7． 故答案为：7． 16．依据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： （1）x+3＜5； （2）﹣2x＜5； （3）． 【答案】（1）x＜2； （2）； （3）x＜﹣21． 【解答】解：（1）∵x+3＜5， ∴x+3﹣3＜5﹣3， ∴x＜2； （2）∵﹣2x＜5， ∴﹣2÷（﹣2）x＜5÷（﹣2）， ∴； （3）∵， ∴， ∴x＜﹣21． 17．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知x＞y，试比较﹣2025x+2与﹣2025y+2的大小． 解：∵x＞y，① ∴﹣2025x＞﹣2025y．② ∴﹣2025x+2＞﹣2025y+2．③ （1）上述解题过程中，从步骤　②　 开始出现错误（填写序号）； （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）②； （2）见解析． 【解答】解：（1）根据不等式性质3可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）根据不等式的性质由条件x＞y可知： ﹣2025x＜﹣2025y． ∴﹣2025x+2＜﹣2025y+2． 18．已知x＞y． （1）比较3﹣2x与3﹣2y的大小，并说明理由； （2）若5+ax＞5+ay，求a的取值范围． 【答案】（1）3﹣2x＜3﹣2y； （2）a＞0． 【解答】解：（1）∵x＞y， ∴﹣2x＜﹣2y， ∴3﹣2x＜3﹣2y； （2）∵x＞y，5+ax＞5+ay， ∴a＞0． 19．【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法．例如，解答“已知a﹣b＝6，a＞5，b＜3，试确定a+b的范围”．小明的解题过程如图所示． 【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题： （1）已知x﹣y＝5，x＞2，y＜0，求x+y的取值范围． （2）已知x+y＝8，x≥5，y＞1，求x﹣y的取值范围． 【答案】（1）﹣1＜x+y＜5； （2）2≤x﹣y＜6． 【解答】解：（1）因为x﹣y＝5， 则x＝y+5． 因为x＞2， 所以y+5＞2， 解得y＞﹣3， 又因为y＜0， 所以﹣3＜y＜0①， 则2＜y+5＜5． 又因为x＝y+5， 所以2＜x＜5② ①+②得， ﹣1＜x+y＜5； （2）因为x+y＝8， 所以y＝﹣x+8． 因为y＞1， 所以﹣x+8＞1， 解得x＜7． 又因为x≥5， 所以5≤x＜7①， 则1＜8﹣x≤3， 因为y＝8﹣x， 所以1＜y≤3 则﹣3≤﹣y＜﹣1②， ①+②得， 2≤x﹣y＜6． 20．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐（m＞n＞0），则盐水的浓度为．加入a克（a＞0）水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克（a＞0）水”改为“加入a克（a＞0）盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为　　 ，由此得到新的不等式　　 （用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）＜； （2）；； （3）见解析． 【解答】解：（1）， ∵m＞n＞0， ∴， 故答案为：＜； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ， ∵m＞n＞0， ∴m﹣n＞0， ∴， 故答案为：；； （3）∵在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴x＞0，y＞0，z＞0， ∴，，， ∴； ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 不等式的性质 教学目标 1. 掌握不等式的性质，能够熟练应用不等式的性质解决相关题目。 2. 能够利用不等式的性质解简单的不等式。 教学重难点 1. 重点 （1）不等式的性质； （2）利用不等式的性质解简单不等式。 2. 难点 （1）利用不等式的性质判断不等式的变形，特别注意由复杂的式子变向简单的式子的变形； （2）利用不等式的性质求字母或代数式的范围。 知识点01 不等式的性质 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减） 数（或式子），不等号的方向 。 即若，则 。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以） ，不等号的方向 。 若，则 。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以） ，不等号的方向 。 若，则 。 4. 不等式的累加性： 若则 ； 【即学即练1】 1．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．a﹣b＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b 【即学即练2】 2．如图，a、b分别表示两个吉祥物的身高，c表示台阶的高度．下面两位小朋友的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【即学即练3】 3．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 【即学即练4】 4．若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是 　 ． 【即学即练5】 5．已知实数m，n满足2m﹣n﹣3＝0，1＜3m+2n﹣5＜3，则下列判断有误的是（　　） A． B． C． D．7 知识点02 用不等式的性质解简单的不等式 1. 用不等式的性质解简单的不等式： 利用不等式的性质1、2、3对不等式两边进行变形，使其逐步化为 的形式。其中为常数。然后由此在数轴上表示不等式的解集。 【即学即练1】 6．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x+5＜8；（2）；（3）6x≥2x﹣3． 【即学即练2】 7．不等式﹣2x+3≥5的解集是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1 【即学即练3】 8．若a＜0，则关于x的不等式|a|x＞a的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＜1 D．x＞﹣1 题型01 利用性质判断不等式的变形 【典例1】若a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣3a＞﹣3b D． 【变式1】下列式子的变形错误的是（　　） A．若a＝b，则2a+b＝2b+a B．若，则a＝b C．若m＞n，则 D．若x＜y，则a2x＜a2y 【变式2】如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+m＜b+m B．1﹣2a＞1﹣2b C．a2＜b2 D． 【变式3】已知2026﹣5a＞2026﹣5b，则一定有a□b，“□”中应填的符号是（　　） A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 题型02 利用不等式的性质求字母的取值范围 【典例1】若ax＜1的解集是，则a一定是（　　） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数 【变式1】若（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1 【变式2】不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【变式3】若不等式ax+b＜0的解集为x＞﹣1，则a，b应满足的条件为（　　） A．a＜0，且a＝b B．a＞0，且a＝b C．a＜0，且a＝﹣b D．a＞0，且a＝﹣b 题型03 利用不等式的性质解简单的不等式 【典例1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣1＞3． （2）． 【变式1】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣3x+2＜2x+3． 【变式2】将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”“x≥a”或“x≤a”的形式： （1）x+3＞6； （2）2x≤8； （3）5x≥4x﹣6； （4）5． 题型04 利用不等式的性质求代数式的范围 【典例1】已知实数a，b满足a﹣2b+2＝0，﹣1＜a+2b+1＜2，则下列判断错误的是（　　） A． B． C．﹣7＜3a﹣2b＜﹣4 D．﹣6＜3a+2b＜0 【变式1】已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 【变式2】已知实数a，b，c满足a≠0，a≥b≥c，a+b+c＝0，则下列判断正确的是（　　） A．ac＞0 B．a+b＜0 C．2a+c≥0 D．a+2c≥0 【变式3】已知三个实数a，b，c满足a﹣3b﹣c＝0，a+3b﹣c＜0． （1）证明：b＜0； （2）若a﹣6b+c＝4，且b＞﹣3，求a+c的取值范围． 1．若m＞n，则下列不等式正确的是（　　） A．m﹣5＜n﹣5 B．am＞an C．﹣8m＞﹣8n D． 2．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（　　） A．若x＜y，则x﹣5＜y﹣5 B．若x＜y，则x+5＜y+5 C．若x＜y，则5x＜5y D．若x＜y，则 3．已知a＜b，c＜0，下列判断正确的是（　　） A． B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．a﹣c＞b﹣c 4．下列解法中，正确的是（　　） A．﹣x≥﹣5，两边同乘﹣1，得x≥5 B．﹣x≤﹣5，两边同乘﹣1，得x≤5 C．2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3 D．﹣2x≥﹣6，两边同除以﹣2，得x≤3 5．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b 6．设“□”“△”“〇”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（　　） A．口＞〇＞△ B．□＞△＞〇 C．△＞〇＞□ D．△＞□＞〇 7．若不等式（a﹣3）x＜1的解集是x，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≠3 D．以上均不对 8．不等式（a﹣2012）x＞a﹣2012的解集是x＜1．则a应满足的条件是（　　） A．a＝2012 B．a＜2012 C．a＞2012 D．无法确定 9．若两个实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜0，则（　　） A．2a+b＞0 B．0＜a﹣2b＜3 C．0＜2a﹣b＜2 D． 10．已知实数a，b满足，0＜2a+b+2＜2，则下列判断错误的是（　　） A． B．0＜b＜1 C．﹣2＜2a+4b＜3 D．﹣6＜2a﹣4b＜0 11．若﹣2x＞﹣2y，则x　 　 y（填：＞、＜、＝）． 12．根据不等式的基本性质，若“”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为 　 ． 13．已知关于x的不等式（2a+1）x＜﹣3，两边同时除以（2a+1），得，则a的取值范围为 　 ． 14．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　 　 ． 15．已知实数x，y，z满足x+y＝6，x﹣z＝8，若x≥﹣3y，则x+y+z的最大值为　 　 ． 16．依据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： （1）x+3＜5； （2）﹣2x＜5； （3）． 17．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知x＞y，试比较﹣2025x+2与﹣2025y+2的大小． 解：∵x＞y，① ∴﹣2025x＞﹣2025y．② ∴﹣2025x+2＞﹣2025y+2．③ （1）上述解题过程中，从步骤　 　 开始出现错误（填写序号）； （2）请写出正确的解题过程． 18．已知x＞y． （1）比较3﹣2x与3﹣2y的大小，并说明理由； （2）若5+ax＞5+ay，求a的取值范围． 19．【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法．例如，解答“已知a﹣b＝6，a＞5，b＜3，试确定a+b的范围”．小明的解题过程如图所示． 【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题： （1）已知x﹣y＝5，x＞2，y＜0，求x+y的取值范围． （2）已知x+y＝8，x≥5，y＞1，求x﹣y的取值范围． 20．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐（m＞n＞0），则盐水的浓度为．加入a克（a＞0）水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克（a＞0）水”改为“加入a克（a＞0）盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为 　 ，由此得到新的不等式 　 （用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $