专题10 因式分解培优的三种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题10 因式分解培优的四种考法全攻略 【考法一、高次因式分解】 例．多项式可分解为 ． 变式1．分解因式：． 变式2．分解因式： 变式3．分解因式：． 变式4．分解因式：． 变式5．在实数范围内分解因式：． 【考法二、添项、拆项法因式分解】 例．分解因式：． 变式1．分解因式：． 变式2．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．已知为正整数，且为完全平方数，则 ． 【考法三、轮换对称因式分解】 例．因式分解： (1) (2) 变式1．分解因式：． 变式2．分解因式：． 变式3．分解因式：． 【考法四、整体法因式分解】 例．如果因式分解的结果为 ． 变式1．分解因式． 变式2．分解因式：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 因式分解培优的四种考法全攻略 【考法一、高次因式分解】 例．多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 变式1．分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 变式2．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把原式分为两组，再分别提取公因式，化为，再提取公因式即可． 【详解】解： 变式3．分解因式：． 【答案】 【详解】解  因的系数为1，的整系数一次因式应为的形式，其中为的因数：．又，所以没有因式．由综合除法可知，，但 所以． 变式4．分解因式：． 【答案】 【详解】解法一  原式 ． 解法二  原式 ． 变式5．在实数范围内分解因式：． 【答案】 【详解】（解法一）原式． （解法二）用综合除法： 所以，原式． 【考法二、添项、拆项法因式分解】 例．分解因式：． 【答案】 【详解】解法一  添加，再减去同一项得： 原式 ． 变式1．分解因式：． 【答案】 【详解】解  为了能使用公式，我们将中间项拆成，于是 原式 ． 变式2．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，∴，，∴． 变式3．已知为正整数，且为完全平方数，则 ． 【答案】8 【详解】易知，均不符合题意，所以，此时一定有 ， ， 而为完全平方数，所以一定有， 整理得，解得（负根舍去）． 【考法三、轮换对称因式分解】 例．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得， 解得，， 所以． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键． 变式1．分解因式：． 【答案】． 【详解】解  设． 因为，所以是轮换对称多项式．又时， ， 所以有因式． 又是轮换对称多项式，故有因式． 因与分别是齐五次与齐三次轮换对称多项式，所以的另一个因式应是齐二次轮换对称多项式：， 即 ． 令及，分别得到 即 解得，故 ． 变式2．分解因式：． 【答案】 【详解】解  设，当时，有，所以有因式． 又因为关于对称，故还有因式，即有因式，并且与都是齐三次式（各项都是3次的多项式），所以 ，其中为常数． 上式中令得，即， 所以． 变式3．分解因式：． 【答案】 【详解】解法一  原式是关于的对称多项式．可设，则 原式 ． 解法二  当时，原式，故原式有因式．又原式是关于的对称多项式，故原式又有因式，且可设 ， 令，得，得． 令，得，即． 令，得，即． 令，得，即． 从上面式子可解出，于是 原式 ． 【考法四、整体法因式分解】 例．如果因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 变式1．分解因式． 【答案】 【详解】设，则原式． 变式2．分解因式：． 【答案】 【详解】解  令，则 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$