专题01 特殊三角形最值问题的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题01 特殊三角形最值问题的三种考法 【知识点梳理】 【将军饮马模型】 一、两点一线 1． 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 2． 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段. 构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示： 二、一定两动 1． 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 【瓜豆模型】 引例如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 分析当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 模型总结 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 【胡不归模型】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 【考法一、将军饮马模型】 例1．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 例2．如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 变式1．如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为（），线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 变式3．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【考法二、瓜豆模型】 例．如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 变式1．如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式2．如图，等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 变式3．如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【考法三、胡不归模型】 例1．如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为 ． 例2．（1）问题探究 ①如图1，在直角中，，P是边上一点，连接，则的最小值为 ． ②如图2，在等腰直角中，，求边的长度（用含a的代数式表示）． （2）问题解决 如图3，在等腰直角中，，D是边的中点，若P是边上一点，试求：的最小值． 变式1．【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． (1)求点M坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． (3)如图3，，点为轴上一动点，最小值为______． 【课后练习】 1．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 2．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 4．如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式 ． 5．如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 7．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ． 8．（1）如图1所示，已知直角梯形中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边、、之间的数量关系： （2）如图2，等腰三角形中，是底边上的中点，，，、分别是线段和上的两个动点，求：的最小值． 9．已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长（直接写出结果即可）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊三角形最值问题的三种考法 【知识点梳理】 【将军饮马模型】 一、两点一线 1． 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 2． 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段. 构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示： 二、一定两动 1． 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 【瓜豆模型】 引例如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 分析当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形． 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段． 模型总结 必要条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角） P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN） 【胡不归模型】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记， 即求BC+kAC的最小值． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 【考法一、将军饮马模型】 例1．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是确定当点三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 如图所示，连接，当点三点共线时，的值最小，即的值最小，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B ． 例2．如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，证明，得出，证明，得出，说明，得出当最小时，最小，根据当、、三点共线时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示： ，，， ， 又，， 垂直平分， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当、、三点共线时，最小，且最小值为， 的最小值为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定，垂直平分线的性质等知识点，作出恰当的辅助线，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 变式1．如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为（），线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 【答案】(1)8 (2) (3)，或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了线段的垂直平分线的判定和性质，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用辅助线构建直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）如图1，过点作轴于，则，根据等边三角形的性质和含角的性质即可解答； （2）如图2，根据证明即可解答； （3）如图3，延长交轴于，先证明与关于对称，与轴交于点，此时的值最小，确定点在轴上，根据含角的直角三角形的性质得：，列方程可得的值，最后证明是等腰直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于，则， 点的横坐标为， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，点的横坐标为， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知：， ， 即； （3）解：如图3，延长交轴于， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 与关于对称， 与轴交于点，此时的值最小， 由（2）知：，， ，，， ， ，， 在中，， ， ， ， ，轴， 轴是的垂直平分线， ， 在的垂直平分线上，即在轴上， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为或． 变式3．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【考法二、瓜豆模型】 例．如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 变式1．如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质．过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 变式2．如图，等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先证明，推出，说明点一定在一条直线上运动，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称可知，，易得，当最小时，最小，根据当、、在同一直线上时，最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值为定值，点一定在一条直线上运动， 作点关于的对称点，连接、、、，如下图， 根据轴对称可知，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵当、、在同一直线上时，最小， ∴的最小值为线段的长， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定、作出适当的辅助线是解答此题的关键． 变式3．如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，连接并延长，过点D作于点M，于点N． ∵，∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴平分，∴， ∴点D的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短，∴当时，取最小值，此时， ∵， ∴的最小值为，故答案为：． 【考法三、胡不归模型】 例1．如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形与轴对称的性质的综合应用，能够巧妙的构造辅助线求线段最小值是本题的关键． 先利用轴对称的性质构造三角形，并根据‘垂线段最短’作出最短距离的线段，利用三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接BE． 过点作于点． ，即． 垂直平分． ． ． 在中， ． 的值最小值即为的值最小值． 当、、三点共线时，的值最小值． 故过点作于点， 即为的值最小值． ， 即， 解得：． ，． 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 例2．（1）问题探究 ①如图1，在直角中，，P是边上一点，连接，则的最小值为 ． ②如图2，在等腰直角中，，求边的长度（用含a的代数式表示）． （2）问题解决 如图3，在等腰直角中，，D是边的中点，若P是边上一点，试求：的最小值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①如图1中，作于．等面积法求出，根据垂线段最短即可解决问题． ②利用勾股定理即可解决问题． （2）如图3中，作于于交于．因为，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长． 【详解】解：（1）①如图1中，作于． 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． ②如图2中， ， ， ， 或（舍去）， ． （2）如图3中，作于于F交于T． 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，二次根式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题． 变式1．【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴ ∴的最小值是3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点． (1)求点M坐标和直线的函数表达式； (2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点，交于点F． ①当时，的面积为_________． ②当时，的值为________． ③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时的值为_______． (3)如图3，，点为轴上一动点，最小值为______． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2)①；②或；③或； (3)． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； ②在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； ③当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，则， ∴轴， ∴， 由（2）②可得， ∴， 解得； 当时，如图所示，过点N作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：或； （3）解：如图所示，作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接， ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【课后练习】 1．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质．根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此求解即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 3．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 4．如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决最短路径问题、垂线段的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 如图：作点E关于的对称点，又，则点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上，连接，进而说明当时最小，连接交于则关于的对称点在上，再根据直角三角形的性质说明，再根据轴对称的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图：作点E关于的对称点，连接， ∵， ∴点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上， ∴，， ∴， 由垂直线段最短可知：当时，最小，即最小， 如图：连接交于，则关于的对称点在上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于的对称点， ∴， ∴， ∴当取最小值时，写出与满足的关系式． 故答案为：． 5．如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识， （1）依题意过点作于D，，根据含度角的直角三角形的性质得出，即存在长度等于的线段 （2）如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）存在长度等于的线段； 如图所示，过P点作于D， ∵在中， ∴ 故答案为：存在． （2）如图所示，在中，， 过P点作于D，延长至E，使，连接， ∴ 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， 故的最小值为； 故答案为：． 6．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可． 【详解】解：连接，， ∵沿折叠C和E重合， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴C和E关于对称， ∴，， ∴的周长， ∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是． 故答案为：6． 7．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，垂线段最短等知识．解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 如图，取的中点Q，连接，证明，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图， 取的中点Q，连接． 则． ∵， ∴，． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴当时，最小． ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（1）如图1所示，已知直角梯形中，A是上一点，，，，且，，试说明直角三角形的三边、、之间的数量关系： （2）如图2，等腰三角形中，是底边上的中点，，，、分别是线段和上的两个动点，求：的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得，利用即可证明，然后根据梯形的面积公式以及，可得两种含有a，b的代数式的的表示方法，进而得出a、b、c的数量关系； （2）过点B作于点F，交于E，此时，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面积法可求出的值，即得最小值． 【详解】解∶(1)∵四边形BCDE是直角梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， （2）过点B作于点F，交于E，此时，即的最小值， ， ∵，点D为底边的中点， ， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及面积的计算，勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 9．已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． (1)如图①，当为边的中点时，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，在中，由三角形内角和定理即可求解； （2）根据等边三角形的性质可证，得到，由此即可求解； （3）如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，设与延长线交于点，根据对称的性质可得，此时取得最小值，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当点是中点时，， ∴， ∴， 设交于点， 在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，设与延长线交于点， ∵对称， ∴，， ∴，此时取得最小值，延长交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是边长为6的等边三角形，为边的中点， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，对称的性质，最短路径的计算，掌握等边三角形的性质，对称-最短路径的计算方法是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$