精品解析：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024~2025学年度第二学期高二第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册3.1.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校食堂有5种大荤菜式，8种半荤半素菜式，5种全素菜式，现任意打一种菜，则可以打到的菜式品种有（ ） A. 200种 B. 33种 C. 45种 D. 18种 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 4. 如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ） A. B. C. D. 6. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 10. 已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角正切值的最大值为 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． （1）求； （2）求的面积． 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 如图，在四棱柱中，，点分别为.与AB的中点. （1）证明：平面； （2）当底面且三棱锥体积为时，求平面.与平面的夹角的正弦值. 18. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 （1）求C的标准方程； （2）若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期高二第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册3.1.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义求解即可. 【详解】由已知，或， 所以. 故选：C． 2. 某学校食堂有5种大荤菜式，8种半荤半素菜式，5种全素菜式，现任意打一种菜，则可以打到的菜式品种有（ ） A. 200种 B. 33种 C. 45种 D. 18种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】任意打一种菜，由分类计数原理可知，有种． 故选：D. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】列出关于实数的方程，即可求得实数的值 【详解】由，，，有，解得． 故选：B 4. 如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心的性质可得，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为为的重心，所以， 又点是线段上的一点，且， 所以． 故选：A． 5. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 由统计图分别求出该月温度的中位数，众数，平均数，由此能求出结果． 【详解】解：由统计图得： 该月温度中位数为， 众数， 平均数为． ． 故选：A． 6. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值， 故选：D． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两角和的正切公式得到，再根据二倍角公式以及同角三角函数之间的关系求得结果. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：B. 8. 已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心坐标公式，焦半径公式求解． 【详解】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆中焦距的定义即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 10. 已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由，可得，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以，解得或1． 故选：BC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线距离为， 当点落在上时，，故D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得， 则直线的斜率． 设，，则两式相减，得，化简得，即， 所以该双曲线的离心率． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 所以为钝角，且. 【小问2详解】 由于，，， 所以，则， 所以，由余弦定理得， 即， 所以. 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由点，得线段中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱柱中，，点分别为.与AB的中点. （1）证明：平面； （2）当底面且三棱锥的体积为时，求平面.与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则可得点是的中点，再结合是的中点，，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知的体积可求得，然后以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：连接，因为点是的中点，为平行四边形，则，三点共线， 则点是的中点，且是的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 当底面时， 所以， 因为底面，底面， 所以，， 因为在四棱柱中，，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平而的法向量， ，取，则， 则平面的法向量， 平面的一个法向量为 设平面与平面夹角为，为锐角， 则， 所以. 故平而与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 （1）求C的标准方程； （2）若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）直线恒过定点，坐标为 【解析】 【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可； （2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解. 【小问1详解】 由题意知， 解得， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$