2024年全国中考数学真题卷选择压轴题60道（下）

2024年全国中考数学真题卷-选择压轴题60道（下） 一．规律型：数字的变化类（共2小题） 1．（2024•扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（　　） A．676 B．674 C．1348 D．1350 2．（2024•河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025 二．解一元一次不等式组（共1小题） 3．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 三．规律型：点的坐标（共2小题） 4．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1 5．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 四．坐标确定位置（共1小题） 6．（2024•甘肃）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（　　） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 五．函数的图象（共1小题） 7．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 六．动点问题的函数图象（共4小题） 8．（2024•齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024•临夏州）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 11．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 12．（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 八．一次函数的应用（共1小题） 13．（2024•威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（　　） A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟 九．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 15．（2024•苏州）如图，点A为反比例函数y（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2024•滨州）点M（x1，y1）和点N（x2，y2）在反比例函数y为常数）的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 17．（2024•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一十一．二次函数的图象（共1小题） 18．（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 一十二．二次函数的性质（共2小题） 19．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 20．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 一十三．二次函数图象与系数的关系（共6小题） 21．（2024•牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线ycx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 22．（2024•雅安）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（　　） ①2a+b＝0； ②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）； ③a＜0； ④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2024•绥化）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中： ①0； ②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）； ③3a+c＜1； ④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论： ①ab＞0； ②a﹣b＝﹣2； ③当x＞1时，y随x的增大而减小； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是； ⑤b的取值范围为1＜b．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2024•湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 26．（2024•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则a+b+c，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 27．（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 28．（2024•凉山州）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 一十五．抛物线与x轴的交点（共1小题） 29．（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 一十六．二次函数的应用（共1小题） 30．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 一十七．几何体的展开图（共1小题） 31．（2024•江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 一十八．三角形的面积（共1小题） 32．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（　　） A．14 B．11 C．10 D．9 一十九．全等三角形的判定（共1小题） 33．（2024•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D． 二十．全等三角形的判定与性质（共1小题） 34．（2024•安徽）在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题） 35．（2024•乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 二十二．勾股定理的证明（共1小题） 36．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 二十三．平行四边形的性质（共1小题） 37．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 二十四．菱形的性质（共2小题） 38．（2024•绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 39．（2024•甘肃）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二十五．矩形的性质（共3小题） 40．（2024•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2） 41．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（　　） A． B． C． D． 42．（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 二十六．正方形的性质（共2小题） 43．（2024•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论： ①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC；④BNBM；⑤若AHHD，则S△BNDS△AHM．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 44．（2024•陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 二十七．中点四边形（共2小题） 45．（2024•广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．10 46．（2024•山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 二十八．圆内接四边形的性质（共1小题） 47．（2024•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 二十九．三角形的外接圆与外心（共1小题） 48．（2024•河南）如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 三十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 49．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 三十一．圆与圆的位置关系（共1小题） 50．（2024•上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 三十二．扇形面积的计算（共1小题） 51．（2024•河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 三十三．圆锥的计算（共1小题） 52．（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 三十四．作图—复杂作图（共1小题） 53．（2024•北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 三十五．轴对称的性质（共1小题） 54．（2024•福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 三十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 55．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　） A．8cm B． C． D． 三十七．旋转的性质（共2小题） 56．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 57．（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 三十八．中心投影（共1小题） 58．（2024•凉山州）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（　　） A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2 三十九．众数（共1小题） 59．（2024•滨州）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 四十．折线统计图（共1小题） 60．（2024•盐城）甲、乙两家公司2019～2023年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（　　） A．甲始终比乙快 B．甲先比乙慢，后比乙快 C．甲始终比乙慢 D．甲先比乙快，后比乙慢 2024年全国中考数学真题卷选择压轴题60道（下） 参考答案与试题解析 一．选择题（共60小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C D D D C A B A D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 B A A A C C C D C A B 题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 B C C C B D D C B D A 题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 答案 D B D C A C C A D A B 题号 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 答案 C A C C D B C C A B B 题号 56 57 58 59 60 答案 B D D A A 一．规律型：数字的变化类（共2小题） 1．（2024•扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（　　） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 【解答】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数， ∵2024÷3＝674…2， 即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：674×2+2＝1350（个）， 故选：D． 2．（2024•河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025 【答案】D 【分析】设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，则mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，即m＝4n，可确定n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，故可判断C、D选项． 【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2： 则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a， ∴4，即m＝4n， ∴当n＝2，y＝1时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去； 当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3： ∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴a上面的数应为4a，如图4： ∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+20+5＝4100a+1025， ∴D选项符合题意， 当a＝2时，计算的结果大于6000， 故C选项不符合题意， 故选：D． 二．解一元一次不等式组（共1小题） 3．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 三．规律型：点的坐标（共2小题） 4．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据所给函数图象，发现点An纵坐标的变化规律，再根据中心对称图形的性质即可解决问题． 【解答】解：法一：由题知， 点A10的坐标为（1，0）， 则y10＝0． 因为函数图象关于点（1，0）中心对称， 所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0， 将x＝2代入函数解析式得， y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1， 即y20＝1， 所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1． 法二：将x＝0代入函数解析式得y＝﹣1， 记此点为A0（0，﹣1）， 则y0＝﹣1． 结合上述过程可知， y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝y0+y20＝0， 所以y0+y1+y2+…+y20＝0， 则y1+y2+…+y20＝y0+y1+y2+…+y20﹣y0＝0﹣（﹣1）＝1． 故选：D． 5．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 【答案】D 【分析】先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q16的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1个单位，不符合题意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（6，1），那么最后一次若向右平移则为（7，1），向左平移则为（5，1）． 【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意， ∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1）， ∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）， 故选：D． 四．坐标确定位置（共1小题） 6．（2024•甘肃）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（　　） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 【答案】D 【分析】根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可． 【解答】解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看， ∴（12，17）对应的是半亩八十四步， 故选：D． 五．函数的图象（共1小题） 7．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】由图1中点（440，2）可判断选项A；由图2中图象的增减性可判断选项B、C；由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大可判断选项D． 【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意； 由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意； 由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意； 由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 六．动点问题的函数图象（共4小题） 8．（2024•齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法， 面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．再运用以上方法基本上可以快速定位答案． 【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法， 面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数． 运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要分两部分， ①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有AB符合； ②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项A符合． 故选：A． 9．（2024•临夏州）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象与坐标的关系确定CD的长，再根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：由图象得：CD＝2，当BD+BP＝4时，PQ＝CD＝2， 设AD﹣CD＝a，则BD＝4﹣a， 在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2， 即：（4﹣a）2﹣（a+2）2＝22， 解得：a， ∴AD＝a+2， 故选：B． 10．（2024•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作DH⊥AB于H，求出AC2，BD；可得CD，AD＝AC﹣CD，故DH，从而S△ADEAE•DHxx，S△BDEBE•DE（4﹣x）x；证明△BDE∽△CDF，可得（）2，故S△CDFS△BDE（x）x，从而y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDFx，观察各选项可知，A符合题意． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图： ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC2， ∵BD是边AC上的高， ∴BD； ∴CD，AD＝AC﹣CD， ∴DH， ∴S△ADEAE•DHxx，S△BDEBE•DH（4﹣x）x； ∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C， ∴△BDE∽△CDF， ∴（）2＝（）2， ∴S△CDFS△BDE（x）x， ∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF2×4x﹣（x）x， ∵0， ∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，A符合题意； 故选：A． 11．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得菱形的面积为cm2，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O， ∵菱形EFGH，∠E＝60°， ∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°， ∴△HFG是等边三角形， ∵cm，∠E＝60°， ∴∠OEF＝30°， ∴cm， ∴（cm2）， 当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示， 依题意，△MNG为等边三角形， 运动时间为t，则（cm）， ∴（cm2）； 当3＜t≤6时，如图所示， 依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则（cm）， ∴（cm2）， ∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ（cm2）； ∵EG＝6cm＜BC， ∴当6＜t≤8时，cm2； 当8＜t≤11时，同理可得，（cm2）； 当11＜t≤14时，同理可得，（cm2）； 综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 故选：D． 七．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 12．（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合求不等式的解集，逐一判断四个选项即可． 【解答】解：A．不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，故本选项不符合题意； B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意； C．不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，故本选项不符合题意； D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意； 故选：B． 八．一次函数的应用（共1小题） 13．（2024•威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（　　） A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟 【答案】A 【分析】根据函数图象推导出E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，据此判断D；乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与AC的距离，从而判断B，C；设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20，解答即可判断A． 【解答】解：根据函数图象可得AB两地之间的距离为20﹣0＝20（km）， 两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1﹣2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确，不符合题意； 设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h， 根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b， ∵2b+20﹣2a＝40，即b﹣a＝10， 在DE﹣EF时，乙车不动，则甲车的速度是60（km/h），乙车休息前速度为70km/h， ∴甲车速度为60km/h，故C不正确，不符合题意； ∴AC的距离为4×60＝240（千米），故B不正确，不符合题意； 设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20， 解得：x，即小时时，两车相遇，故A正确，符合题意； 故选：A． 九．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， A、当t＜﹣4时，t+4＜0， ∵t＜t+4， ∴y2＜y1＜0，正确，符合题意； B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； D、当t＞0时，t+4＞0， ∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限， ∵t＜t+4， ∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意． 故选：A． 15．（2024•苏州）如图，点A为反比例函数y（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AG⊥x轴，BH⊥x轴，可证明△AGO∽△OHB，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H， ∵点A在函数y图象上，点B在反比例函数y图象上， ∴S△AGO，S△BOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB， ∴△AGO∽△OHB， ∴， ∴． 故选：A． 16．（2024•滨州）点M（x1，y1）和点N（x2，y2）在反比例函数y为常数）的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：反比例函数y中，（k﹣1）2+2＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限， ∵x1＜0＜x2， ∴点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上， ∴y1＜0＜y2， 故选：C． 一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 17．（2024•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【解答】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E， ①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确； ②∵点A与点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△OBE和△OAC中， ， ∴△OBE≌△OAC（AAS）， ∴OE＝OC， ∵EB∥y轴， ∴△OCD∽△ECB， ∵OE＝OC， ∴， ∴D是CB的中点， ∴OD是△BCE的中位线，故选项正确； ③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误； ④S△BODS△BOCS△AOC，故S△BOD正确； 其中正确结论的是①②④，共3个． 故选：C． 一十一．二次函数的图象（共1小题） 18．（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 【答案】C 【分析】根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为直线x＝a，顶点坐标为（a，a﹣a2），再分情况讨论，当a＞0时，当a＜0时，y1，y2的大小情况，即可解题． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线xa，顶点坐标为（a，a﹣a2）， 当a＞0时，0a， ∴a﹣a2＜y1＜a， 当a＜0时，a0， ∴a﹣a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意； 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，可能大于0也可能小于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 一十二．二次函数的性质（共2小题） 19．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【答案】D 【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 20．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）． 因为1﹣（﹣1）＝3﹣1， 所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等． 因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值， 所以t﹣1≤3， 又因为当x＝1时，函数取得最小值， 所以t﹣1≥1， 所以1≤t﹣1≤3， 解得2≤t≤4． 故选：C． 一十三．二次函数图象与系数的关系（共6小题） 21．（2024•牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线ycx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得到抛物线的解析式为y＝ax2+2ax﹣3a，即可得到b＝2a，c＝﹣3a，代入即可判断①；根据﹣3＜﹣3a＜﹣2判断②；把b＝2a代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把b＝2a，c＝﹣3a代入解方程求出m的值判断④． 【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∴abc2＝a•2a•（﹣3a）2＝18a4＞0，故①正确； ∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0， 又∵x1≠x2， ∴x1+x2＝2，故③错误； ∵令y相等，则， ∴，解得x1＝0（舍），， ∴，故④正确； 故选：A． 22．（2024•雅安）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（　　） ①2a+b＝0； ②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）； ③a＜0； ④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，可得，从而可得8a+4b＝0，即2a+b＝0，故可判断①；又抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x1，进而抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c），再结合a，b＝﹣2ac，可得a+b+cc，故可判断②；依据题意可得c＝﹣3a，又b＝﹣2a，abc＞0，进而可得abc＝a•（﹣2a）•（﹣3a）＝6a3＞0，从而可以判断③；由m（am+b）＜4a+2b，故am2+bm+c＜4a+2b+c，即对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值，再结合a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【解答】解：由题意，∵ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3， ∴． ∴②﹣①得，8a+4b＝0． ∴2a+b＝0，故①正确． ∴b＝﹣2a． ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x1． ∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c）． 又b＝﹣2a，a﹣b+c＝0， ∴3a+c＝0，即a． ∴b＝﹣2ac． ∴a+b+cc． ∴顶点坐标为（1，c），故②正确． ∵3a+c＝0， ∴c＝﹣3a． 又b＝﹣2a，abc＞0， ∴abc＝a•（﹣2a）•（﹣3a）＝6a3＞0． ∴a＞0，故③错误． ∵m（am+b）＜4a+2b， ∴am2+bm+c＜4a+2b+c． ∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值． ∵a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∴|m﹣1|＜2﹣1． ∴﹣1＜m﹣1＜1． ∴0＜m＜2，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 23．（2024•绥化）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中： ①0； ②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）； ③3a+c＜1； ④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝2a＜0． 又抛物线交y轴正半轴， ∴当x＝0时，y＝c＞0． ∴0，故①错误． 由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c， ∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c． ∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c． ∴am2+bm≤a﹣b，故②正确． 由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0， 又b＝2a， ∴3a+c＜0＜1，故③正确． 由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴x1+x22＞﹣3，故④错误． 综上，正确的有②③共2个． 故选：B． 24．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论： ①ab＞0； ②a﹣b＝﹣2； ③当x＞1时，y随x的增大而减小； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是； ⑤b的取值范围为1＜b．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2＜x1＜3得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤． 【解答】解：由图象可知，0， ∴ab＜0，故结论①错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）， ∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3， ∴1， ∵抛物线开口向下， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0）， ∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根， ∴﹣1•x1， ∴x1， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是，故结论④正确； ∵a﹣b+2＝0， ∴a＝b﹣2， ∴y＝（b﹣2）x2+bx+2， ∵2＜x1＜3， ∴， 解得1＜b，故结论⑤正确． 故选：C． 25．（2024•湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线顶点为（﹣1，﹣2），故可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2，从而y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2，则b＝2a，c＝a﹣2，结合抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＝a﹣2＞0，则a＞2＞0，故可判断A、B；又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），从而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故可判断C；又b＝2a，c＝a﹣2，可得b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为（﹣1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2． ∴y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2． 又抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴b＝2a，c＝a﹣2． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＝a﹣2＞0． ∴a＞2＞0，故A、B均不正确． 又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确． 由b＝2a，c＝a﹣2， ∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误． 故选：C． 26．（2024•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则a+b+c，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①； 利用对称轴，可判断②； 利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误； 由根的性质即可判断④． 【解答】解：①∵函数图象开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴bc＞0，故①错误； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1， ∴， ∵b＝﹣2a， ∴x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴3a+2c＜0，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，a＞0， ∴y＝a+b+c最小值， ax2+bx≥a+b，故③正确； ④∵﹣2＜c＜﹣1， ∵x1x2＝（﹣1）×3＝﹣3， ∴c＝﹣3a， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴， ∵b＝﹣2a， ∴a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C． 一十四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 27．（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【答案】B 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 28．（2024•凉山州）抛物线y（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，求出（，y3）关于直线x＝1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y（x﹣1）2+c， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（，y3）， ∵﹣20＜1， ∴y1＞y3＞y2， 故选：D． 一十五．抛物线与x轴的交点（共1小题） 29．（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 一十六．二次函数的应用（共1小题） 30．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t＝2和t＝5时h的值是，即可判断③． 【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m）， t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m）， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． 一十七．几何体的展开图（共1小题） 31．（2024•江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【解答】解：如图所示： 选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图， 所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种． 故选：B． 一十八．三角形的面积（共1小题） 32．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（　　） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，利用三角形面积公式和梯形的面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△BCF+S梯形ABFE+S△AOE进行计算． 【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图， ∵O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0）， ∴OE＝1，AE＝2，BF＝3，CF＝2，EF＝2， ∴四边形OABC的面积＝S△AOE+S△BCF+S梯形ABFE 1×23×2 ＝9， 故选：D． 一十九．全等三角形的判定（共1小题） 33．（2024•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，由角平分线的性质推出MC＝CN，判定四边形AMCN是正方形，得到AM＝AN，由圆周角定理得到，推出CD＝BC，即可证明Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），得到ND＝MB，推出AB+AD＝2AM＝2，求出AM＝1，判定△ACM是等腰直角三角形，求出ACAM，由圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝120°，由等腰三角形的性质推出AHAC，∠AOH∠AOC＝60°，由sin∠AOH，求出OA，得到⊙O的半径是． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC， ∵∠BAC＝∠CAD＝45°， ∴AC平分∠BAN， ∴MC＝CN， ∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°， ∴四边形AMCN是正方形， ∴AM＝AN， ∵∠BAC＝∠CAD， ∴， ∴CD＝BC， ∵CN＝CM， ∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL）， ∴ND＝MB， ∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2， ∴AM＝1， ∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°， ∴△ACM是等腰直角三角形， ∴ACAM， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴AHAC，∠AOH∠AOC＝60°， ∵sin∠AOH＝sin60°， ∴OA， ∴⊙O的半径是． 故选：A． 二十．全等三角形的判定与性质（共1小题） 34．（2024•安徽）在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 【答案】D 【分析】将每个选项的条件分别作为已知条件，结合题干，通过证三角形全等，再看能否证明AF⊥CD即可 【解答】选项A：连接AC、AD， ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD，所以选项A不合题意； 选项B：连接BF、EF， ∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF， ∴△BFC≌△EFD（SSS）， ∴∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项B不合题意； 选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项C不合题意； 选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 故答案选：D． 二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题） 35．（2024•乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】菱形有内角为60°必定有等边，又因为P、Q关于点C对称，所以点M一定在CG 上运动，再把B点对称点找到，则M运动路径就是CH这一段，再进行求解即可． 【解答】解：如图过C作CG⊥BC，交AD于点G，作B关于C的对称点Q'，连接BD和AQ'交于点H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CG垂直平分AD， ∵P、Q关于点C对称， ∴M一定在直线CG上， ∵P从点B运动到点C， ∴可以得到点M的运动轨迹就是CH这一段． ∵AB＝1＝CD， ∴CG＝CD•sin60°， ∵△AHD∽△Q'HB， ∴， ∴CHCG， 即点M的运动路径长为． 故选：B． 二十二．勾股定理的证明（共1小题） 36．（2024•眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 二十三．平行四边形的性质（共1小题） 37．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【答案】C 【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2（y+x）2，得到xy＝2． 【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∵AE⊥BC，DH⊥BC， ∴AE＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∵BC＝y， ∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， ∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴22﹣（y﹣x）2（y+x）2， ∴xy＝2． 故选：C． 二十四．菱形的性质（共2小题） 38．（2024•绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC3， ∴AC＝2OC＝6， ∵菱形ABCD的面积＝AE•BCBD×AC＝OB•AC， ∴AE， 故选：A． 39．（2024•甘肃）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，根据菱形的性质，得∠AOB＝∠BOC＝90°，继而得到，当点P运动到BC中点时，PO的长为，解得即可． 【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4， ∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴， 当点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选：C． 二十五．矩形的性质（共3小题） 40．（2024•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2） 【答案】C 【分析】根据题意得到OA＝4，OC＝2，根据矩形的性质得到BC＝OA＝4，根据旋转的性质得到OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，于是得到点B′的坐标为（2，4）． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴OA＝4，OC＝2， ∵四边形ABCO是矩形， ∴BC＝OA＝4， ∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′， ∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4， ∴点B′的坐标为（2，4）． 故选：C． 41．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过G作GH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB＝CD＝4，AD∥BC，得到BE＝EF＝CF＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE＝∠DEC＝45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过G作GH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD∥BC， ∵BC＝6，BE＝EF＝FC， ∴BE＝EF＝CF＝2， ∴BF＝CE＝4， ∴AB＝BF＝CE＝DC＝4， ∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝∠DEC＝45°， ∴△EGF是等腰直角三角形， ∴GH＝EH， ∴BH＝3， ∴BG， ∴sin∠GBF， 故选：A． 42．（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解． 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB，BC＝1， ∴AC2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1， 故选：D． 二十六．正方形的性质（共2小题） 43．（2024•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论： ①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC；④BNBM；⑤若AHHD，则S△BNDS△AHM．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】连接DG，可得，AC垂直平分BD，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据AC垂直平分BD，结合互余可证明DG＝FG，即有DG＝FG＝BG，则可判断②正确；证明△ABM∽△DBN，即有，可判断④；根据相似有 ，根据 可得3AH＝AD，再证明△AHM﹣△CBM，可得，即可判断⑤；根据点H是AD的中点，设AD＝2，即求出 ，同理可证明△AHM∽△CBM，可得 ，即可得 ，进而可判断③． 【解答】解：连接DG，如图， ∵四边形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC垂直平分BD， ∴∠CDP＝90°， ∵DF平分∠CDP， ∴， ∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF， ∴点B、H、D、F四点共圆， ∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF， ∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正确， ∵AC垂直平分BD， ∴BG＝DG， ∴∠BDG＝∠DBG， ∵∠BDF＝90°， ∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG， ∴∠GDF＝∠DFG， ∴DG＝FG， ∴DG＝FG＝BG， ∴点G是BF的中点，故②正确， ∵∠BHF＝90°＝∠BAH， ∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH， ∴∠DHF＝∠ABH， ∵∠DHF＝∠DBF， ∴∠ABH＝∠DBF， 又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，AD∥BC， ∴△ABM∽△DBN， ∴， ∴，故④正确， ∴， 若，则， ∴3AH＝AD， ∴，即， ∵AD∥DC， ∴△AHM∽△CBM， ∴， ∵， ∴S△ABM＝3S△AHM， ∴， ∴S△BND＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤错误， 如图，③若点H是AD的中点， 设AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2， ∴， ∴， 同理可证明△AHM∽△CBM， ∴， ， ∵， ∴， ∵BC＝2， 在Rt△BNC 中， ，故③正确，则正确的有：①②③④， 故选：A． 44．（2024•陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，由DG＝6﹣2＝4，即可得DH＝4÷（1+3）×3＝3． 【解答】解：由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2， 得AD∥GF， 得△ADH∽△FGH， 得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1， 由DG＝6﹣2＝4， 得DH＝4÷（1+3）×3＝3． 故选：B． 二十七．中点四边形（共2小题） 45．（2024•广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得四边形MNPQ的边长，从而即可求得四边形MNPQ的面积． 点评 【解答】解：∵HM，EN，PF，QG分别为△ADQ，△BAM，△CNB，△DPC 的中位线， ∴M，N，P，Q分别为AQ，BM，CN，DP 的中点， ∴易得MN＝PN＝PQ＝QM，∴．四边形MNPQ为正方形， 正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5， 由勾股定理得，DF， 由题意得△DQG∽△DFC， ∴DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得 DQ＝2QG， ∵E，F，G，H分别为各边中点． ∴DQ＝PQ ∴四边形MNPQ的面积， 故选：C． 46．（2024•山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 连接BD，AC， ∵点H和点E分别是AD和AB的中点， ∴HE是△ABD的中位线， ∴HE． 同理可得，GF， ∴HE＝GF，HE∥GF， ∴四边形HEFG是平行四边形． ∵HE，HG，且AC＝BD， ∴HE＝HG， ∴平行四边形HEFG是菱形， ∴EG与HF互相垂直平分． 故选：A． 二十八．圆内接四边形的性质（共1小题） 47．（2024•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 【答案】C 【分析】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠BEC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°． 故选：C． 二十九．三角形的外接圆与外心（共1小题） 48．（2024•河南）如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 【答案】C 【分析】由题知阴影部分为扇形BDC的面积，求出半径DB的长度和圆心角∠BDC的度数即可求解． 【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°， ∵D是弧BC中点， ∴OD⊥BC，BH＝CHBC＝2，∠BOD＝60°， ∴OB4， ∵OB＝OD，∠BOD＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴BD＝OB＝4， ∴S， 故选：C． 三十．三角形的内切圆与内心（共1小题） 49．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 【答案】D 【分析】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r和r，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案． 【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5． 选项A：d＝a+b﹣c＝2， 选项B：d2， 选项C：d2， 选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项． 故答案选：D． 方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F． 易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r， ∵AF+BF＝AB， ∴b﹣r+a﹣r＝c， ∴r， ∴d＝a+b﹣c．故选项A正确． ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴abarbrcr， ∴ab＝r（a+b+c）， ∴r，即d．故选项B正确． ∵由前面可知d＝a+b﹣c， ∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2， ∵a2+b2＝c2， ∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b）， ∴d，故选项C正确． 排除法可知选项D错误． 故答案选：D． 三十一．圆与圆的位置关系（共1小题） 50．（2024•上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案． 【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切， ∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2， ∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示： ∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为， ∵， ∴圆P与圆B相交， 故选：B． 三十二．扇形面积的计算（共1小题） 51．（2024•河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设扇面的宽度为r，根据扇形面积公式分别表示出来，再求出m与n的函数关系式，从而判断其图象即可． 【解答】解：设扇面的宽度为r． 根据题意，得Sπr2，Snπr2， 则m， ∵m与n之间为正比例关系，n≥0， ∴m与n关系的图象位于第一象限的， ∴C符合题意． 故答案为：C． 三十三．圆锥的计算（共1小题） 52．（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 【答案】C 【分析】根据“圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2”得出结论即可． 【解答】解：圆锥的侧面积2π×30×40＝1200π（平方厘米）． 故选：C． 三十四．作图—复杂作图（共1小题） 53．（2024•北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案． 【解答】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD， ∴△C′O′D′≌△COD（SSS）， ∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：A． 三十五．轴对称的性质（共1小题） 54．（2024•福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，所以∠AOB＝∠COD，再由等腰三角形三线合一的性质可知∠AOE＝∠BOD∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD，故∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，再由OE⊥OF即可判断A；由轴对称的性质可判断B；由全等三角形的性质可判断出C；根据A中的结论可判断D． 【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB＝∠COD， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴∠DOF+∠BOF＝90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC+∠COD＝90°①， ∵OE⊥OF， ∴∠COF+∠EOC＝90°， ∵∠COF＝∠AOE， ∴∠AOE+∠EOC＝90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB+∠BOC＝90°②， ①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°， 即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确． 故选：B． 三十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 55．（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　） A．8cm B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM＝∠D′AN，进而得出EA＝AN，设EA＝AN＝x cm，则EM＝（12﹣x）cm，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，列出方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝10cm， 由折叠可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN， ∴四边形AMND是矩形， ∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm， ∴∠DAN＝∠ANM， ∴∠ANM＝∠D′AN， ∴EA＝EN， 设EA＝EN＝x cm，则EM＝（12﹣x）cm， 在Rt△AME中，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2， 即52+（12﹣x）2＝x2， 解得：， 即， 故选：B． 三十七．旋转的性质（共2小题） 56．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】通过△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③． 【解答】解：延长BD和DB，连接OH， ∵菱形ABCD，∠BAD＝60°， ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°， ∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转 90° 得到菱形 A'B'C'D'， ∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且 OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'， ∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°， ∵∠D′HA＝∠DHC′， ∴△AD'H≌△C'DH（AAS）， ∴D′H＝DH，C′H＝AH， 同理可证 D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG， ∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°， ∴△A'BE≌△C'DH（ASA）， ∴DH＝BE， ∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG， ∴该八边形各边长都相等，故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确； 根据题意，得∠ED'H＝120°， ∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°， ∴∠D'HD＝150°， ∴该八边形各内角不相等，故②错误； ∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH， ∴△D'OH≌△DOH（SSS）， ∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°， ∴OD≠OH， ∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误； 故选：B． 57．（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 【答案】D 【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示： ∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°， ∵∠B＝30°， ∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°， ∴BF⊥CE，故D选项正确； 设∠ACH＝x°， ∴∠ACB＝60°﹣x°， ∵∠B＝30°， ∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°， ∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°， ∵x°不一定等于30°， ∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°， ∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确； ∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°， ∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确； ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴AB＝ED＝EF+FD， ∴BA＞EF，故C选项不正确； 故选：D． 三十八．中心投影（共1小题） 58．（2024•凉山州）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（　　） A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2 【答案】D 【分析】由题意可知△A1B1C1与△ABC是位似图形，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案． 【解答】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：， ∴△A1B1C1的面积是60375（cm2）， 故选：D． 三十九．众数（共1小题） 59．（2024•滨州）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】根据众数、平均数及中位数的定义，结合表格数据进行判断即可． 【解答】解：这些运动员成绩的平均数是（1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1）≈1.67， 第8位同学的成绩是1.70，故中位数是1.70； 数据1.75出现的次数最多，故众数是1.75． ∴上述结论中正确的是②③， 故选：A． 四十．折线统计图（共1小题） 60．（2024•盐城）甲、乙两家公司2019～2023年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（　　） A．甲始终比乙快 B．甲先比乙慢，后比乙快 C．甲始终比乙慢 D．甲先比乙快，后比乙慢 【答案】A 【分析】从甲、乙两个公司，相同时间内利润的变化量，做出比较得出结论，不要受直观感觉影响． 【解答】解：甲家公司的利润增长较快， 理由是：甲公司从2019﹣2023年，利润增长了210﹣100＝110（万元），增长率为100%＝110%， 乙公司从2019﹣2023年利润增长了160﹣120＝40（万元），增长率为，100%≈33.3%， 因此甲公司利润始终比乙增长快． 故选：A． 考点卡片 1．数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． 2．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 3．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 4．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 5．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 6．规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 7．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 8．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 9．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 10．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 11．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 13．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 14．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 15．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 17．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 18．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 19．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 20．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 21．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 22．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 23．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 24．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 25．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 26．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 27．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 28．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 29．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 30．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 31．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 32．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 33．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 34．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 35．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 36．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 37．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 38．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 39．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 40．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 41．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 42．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 43．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 44．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 45．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 46．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 47．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 48．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 49．中点四边形 瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的． 50．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 51．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 52．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 53．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 54．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 55．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 56．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 57．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 58．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 59．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 60．轨迹 轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等． 61．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 62．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 63．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 64．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 65．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 66．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 67．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 68．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 69．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 70．加权平均数 （1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数． （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 71．中位数 （1）中位数： 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． （3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 72．众数 （1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．． 73．圆的性质 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线．圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心． 74．折线统计图 折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/19 23:40:39；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$