第12章 复数单元测试卷（能力篇）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以. 故选：B 2．已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由，得，即， 因此， 所以在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 3．复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为. 所以复数对应点的坐标为：. 故选：A 5．已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【解析】设，则，而， ∴，解得， ∴，故. 故选：B. 6．已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 8．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 【答案】B 【解析】根据题意，有， 于是中有6个不同的数． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 10．已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 【答案】ABD 【解析】因为，其三个不同的复数根为：，，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的实部分别是0，1，1，三个实部之和为2，故B正确； 因为三个根的虚部分别是1，，，三个虚部之积为，故C错误； 根据模长定义，，故D正确. 故选：ABD 11．在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且， 所以， 所以是， 所以，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数的虚部为 . 【答案】 【解析】，即虚部为. 故答案为： 13．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 【答案】2 【解析】由题设， 当，即时，的最大值为2. 故答案为：2 14．设函数（z为复数）满足．若，则 ． 【答案】1 【解析】因为， 所以， 所以． 又， 所以， 即， 即． 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【解析】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得，              整理得，而，                 因此, 解得所以 16．（15分） 已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得, 所以, 若复数是实数，可得， 解得； （3）易知， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得. 即实数的取值范围为. 17．（15分） 设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【解析】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 18．（17分） 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【解析】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 19．（17分） 代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【解析】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 6．已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 8．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 11．在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数的虚部为 . 13．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 14．设函数（z为复数）满足．若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 16．（15分） 已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 17．（15分） 设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 18．（17分） 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 19．（17分） 代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$